一類單種群擴散模型的正概周期解的定性分析

李曉艷，姚頻，田麗娜

（蘭州城市學院a.數(shù)學學院；b.附屬中學，蘭州730070）

一類單種群擴散模型的正概周期解的定性分析

李曉艷a，姚頻b，田麗娜a

（蘭州城市學院a.數(shù)學學院；b.附屬中學，蘭州730070）

討論了一類具有時滯的單種群擴散模型，得到了正概周期解的存在條件，借助構(gòu)造Liapunov函數(shù)，找到了正概周期解全局穩(wěn)定的充分條件。

單種群；擴散；正概周期解

用數(shù)學模型的方法來研究種群生態(tài)學問題是常見的方法，它能夠應用數(shù)學的技巧和方法來解釋一些自然界所存在的現(xiàn)象。對于整個生態(tài)系統(tǒng)而言，只研究其中的單一種群是應該首先考慮的。在現(xiàn)實生活中，有些單種群物種會在若干個不同環(huán)境之間移動，這樣就造成了種群間的擴散，由于具有斑塊擴散的單種群模型的周期解問題的結(jié)論較多，而概周期現(xiàn)象是一類比周期現(xiàn)象更普遍的現(xiàn)象，因此研究概周期問題的重要性不言而喻［1-3］。

討論模型

其中x1，x2分別表示種群X在斑塊1和斑塊2的種群密度，以下均假設ai（t），bi（t），Ci（t），Di（t）（i=1，2）均是連續(xù)非負的函數(shù)且ai（t），bi（t）嚴格正，并且τi（t）≥0，i=1，2，3。

1 系統(tǒng)的持久性

定理2若系統(tǒng)方程式（1）滿足以下假設（A1）bi（t）＞Ci（t），t∈R，i=1，2，則系統(tǒng)方程式（1）的解在中最終有界。

由bi（t）＞Ci（t），觀察等式右邊，前后兩項均為二次項系數(shù)為負的二次代數(shù)式，故易知存在L1，L2，使得f（x1）= x1［η+a1（t）-b1（t）x1（t）+C1（t）x1（t-τ1（t））］≤L1，f（x2）=x2［η+a2（t）-b2（t）x2（t）+C2（t）x2（t-τ2（t））］≤L2，即。

定理3若假設（A2）；成立，則系統(tǒng)方程式（1）是可持續(xù)的。

故系統(tǒng)方程式（1）是可持續(xù)的，并且Ω=｛（x1，x2）|xi≥ mi＞0，，x1+x2＜M｝是方程式（1）的一致最終有界區(qū)域。

2 概周期解存在性和全局穩(wěn)定性

以下均假設系統(tǒng)方程式（1）中ai（t），bi（t），Ci（t），Di（t）（i=1，2），τi（t），i=1，2，3.均是連續(xù)非負的概周期函數(shù)，且ai（t），bi（t）嚴格正。下面考慮方程式（1）的概周期解存在性和全局穩(wěn)定性。

考慮方程式（1）的伴隨系統(tǒng)

引理1［1］設D是的一個開集，函數(shù)V（t，x，y）定義在R+×D×D上滿足

1）a‖x-y‖≤V（t，x，y）≤b‖x-y‖，其中a（r）和b（r）為連續(xù)、遞增的正定函數(shù)；

2）‖V（t，x1，y1）-V（t，x2，y2）‖≤k｛‖x1-x2‖+‖y1-y2‖｝，k＞0是一個常數(shù)；

4）若滿足t≥t0＞0的解位于緊集S中，S?D；

則系統(tǒng)方程式（2）在D中有唯一概周期解P（t）；若P（t）位于緊集S中，則該概周期解是一致漸近穩(wěn)定的。

假設（A3）

定理1若概周期系統(tǒng)方程式（2）滿足假設（A2）和（A3），則系統(tǒng)存在唯一的正概周期解，且此解是全局漸近穩(wěn)定的［4-8］。

證明：由定理2知緊集Ω是系統(tǒng)方程式（1）的最終有界區(qū)域。定義Xi（t）=lnxi（t），Yi（t）=lnyi（t）；X（t）=（X1（t），X2（t）），Y（t）=（Y1（t），Y2（t）），x（t），y（t）是伴隨系統(tǒng)方程式（2）在Ω×Ω上的解。

［1］Song X Y，Li Y F.Dynamic behaviors of the periodic predator-prey model with modified Leslie-Gower Holling-type II schemes and impulsive effect［J］.Nonlinear Analysis:Real World Applications，2008（10）:64-79.

［2］陳超，紀昆.具有Holling III類功能性反應的多種群競爭捕食系統(tǒng)的概周期解［J］.應用數(shù)學學報，2006，29（4）: 756-765.［3］薛煒.污染環(huán)境中Gompertz食餌—捕食者系統(tǒng)的全局吸引性［J］.甘肅科學學報，2013，25（3）:12-15.

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［6］陸征一，周義倉.數(shù)學生物學進展［M］.北京:科學出版社，2006.

［7］馬知恩.種群生態(tài)學的數(shù)學建模與研究［M］.合肥:安徽教育出版社，2000.

［8］馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京:科學出版社，2001.

（責任編輯楊繼森）

A Qualitative Analysis of Diffusive Single-Species of Positive Almost Periodic Solution

LI Xiao-yana，YAO Pinb，TIAN Li-naa
（a.Institute of Mathematics；b.Attached Middle School，Lanzhou City University，Lanzhou 730070，China）

A diffusive single-species with time delays was investigated.The positive almost periodic solution was found.By means of constructing Liapunov function，the sufficient condition which guarantees the global asymptotic stability was obtained.

single-species；diffusion；positive almost periodic solution

李曉艷，姚頻，田麗娜.一類單種群擴散模型的正概周期解的定性分析［J］.四川兵工學報，2015（11）：136-137.

format：LI Xiao-yan，YAO Pin，TIAN Li-na.A Qualitative Analysis of Diffusive Single-Species of Positive Almost Periodic Solution［J］.Journal of Sichuan Ordnance，2015（11）：136-137.

O175.13

A

1006-0707（2015）11-0136-03

10.11809/scbgxb2015.11.036

2015-06-22

國家自然科學基金（11261027）；2014隴原青年創(chuàng)新人才扶持計劃項目

李曉艷（1980—），女，碩士，講師，主要從事生物數(shù)學研究。