具奇異非線(xiàn)性項(xiàng)p－Laplace方程Dirichlet問(wèn)題解的存在唯一性

陳雨彤， 魏公明

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

長(zhǎng)期以來(lái)，非線(xiàn)性橢圓問(wèn)題一直受到人們的廣泛關(guān)注，其原因是許多數(shù)學(xué)物理問(wèn)題，如源于非線(xiàn)性源的非線(xiàn)性擴(kuò)散理論、量子場(chǎng)論、統(tǒng)計(jì)力學(xué)以及星系的重力平衡理論與非線(xiàn)性橢圓問(wèn)題有極大的聯(lián)系.而且數(shù)學(xué)內(nèi)部的許多分支，如幾何學(xué)中的Yamabe問(wèn)題和等周不等式、調(diào)和分析中的 Hardy－Littlewood－Sobolev不等式、Yang－Mills泛函的非極小解的存在性與非線(xiàn)性橢圓問(wèn)題有著深刻的聯(lián)系.國(guó)內(nèi)外關(guān)于非線(xiàn)性橢圓型方程可解性的研究較廣泛，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法主要有不動(dòng)點(diǎn)定理、上下解方法、拓?fù)涠壤碚?、隱函數(shù)（組）定理、橢圓正則化方法、緊微法、變分法等.

具奇異非線(xiàn)性項(xiàng)橢圓型方程Dirichlet問(wèn)題是偏微分方程領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容.許多學(xué)者對(duì)奇異非線(xiàn)性橢圓型方程Dirichlet問(wèn)題解的存在性和唯一性作了深入的研究.Crandall等［1］研究了下列非線(xiàn)性邊界值問(wèn)題

得到了方程解的存在性，得到式（1）的古典解u∈C2（ ）Ω ∩C Ω（ ）— 存在且唯一，且在Ω 中u＞0.Fulks等［2］得到了下列問(wèn)題的解的存在性

的解的存在性.Cocite等［4］得到了下列問(wèn)題的解的存在性

然而，近年來(lái)非線(xiàn)性邊界值問(wèn)題已被廣泛研究，對(duì)于p－Laplace算子的非線(xiàn)性邊界值問(wèn)題的研究已有許多結(jié)果，如文獻(xiàn)［5—8］.文獻(xiàn)［9—10］具有相同的特點(diǎn)，即在u＝0處非線(xiàn)性項(xiàng)是奇異的，邊值問(wèn)題的解在所定義的區(qū)域中是嚴(yán)格正的，即u＞0.

本文研究下列形式的非線(xiàn)性橢圓邊界值問(wèn)題

式中，Ω 是?n中的有界光滑開(kāi)區(qū)域，?Ω 是Ω 的邊界，且?Ω 是C1階的，p＞1.

本文主要研究式（5）的解的存在性，給出下列假設(shè)：

本文的主要結(jié)果為：

定理1 假設(shè)條件（g1）和（g2）成立，則式（5）存在唯一解且在Ω 中u＞0.

1 重要命題和引理

在本節(jié)，將給出一些為了證明定理1而需要的命題和引理.

定義1 u∈W1，p（ ）Ω 是式（5）的弱解，若對(duì)任意的η∈C∞0（ ）Ω 有

Sobolev嵌入定理［11］設(shè)Ω??n是有界光滑開(kāi)區(qū)域其中

定義2［12］函數(shù)是式（5）的一個(gè)上解，如果

成立.

定義3［12］函數(shù)是式（5）的一個(gè)下解，如果

成立.

最大值原理［13］若滿(mǎn)足在Ω 中－Δpu≥0，在?Ω 上u＝0，則在Ω 中u≥0.

強(qiáng)最大值原理［13］若在Ω 中－Δpu≥0，在?Ω上u ＝0，且在Ω 中u ≠0，則對(duì)任意的x∈Ω，u（x）＞0且

弱 比 較 原 理［13］如 果 對(duì) 于 任 何u1，u2∈由u2（x∈?Ω）可以推出

為了得到式（5）的解，研究下列問(wèn)題

其中ε＞0，則在下面的證明中將會(huì)得到當(dāng)ε→0＋時(shí)，uε收斂于式（5）的解u.

引理1 假設(shè)條件（g1）和（g2）成立，當(dāng)x∈Ω時(shí)，存在ε0＞0，當(dāng)0＜ε＜ε0時(shí)則

a.式（6）存在唯一正解uε；

b.當(dāng)0＜ε≤δ＜ε0時(shí)，uε≥uδ，且ε＋uε≤δ＋uδ，其中uε，uδ是式（6）的任意兩個(gè)解.

證明 因?yàn)楫?dāng)0＜ε＜ε0時(shí)而對(duì)且η≥0，有可知0是式（6）的下解.

假設(shè)式（7）存在兩個(gè)解ω1，ω2，當(dāng)x∈A ?Ω 時(shí)，ω1（x）＜ω2（x），則當(dāng)x∈?A 時(shí)，ω1＝ω2＝0，由弱比較原理可知，當(dāng)x∈A時(shí)，ω1≥ω2，故A 為空集.同理可證ω1≤ω2，故ω1＝ω2，因此ωε是式（7）的唯一解.再由強(qiáng)最大值原理可知，當(dāng)x∈Ω 時(shí)

可知ωε是式（6）的上解.

假 設(shè) 當(dāng) x ∈A ?Ω 時(shí)，uε＞ωε，則即－Δpuε≤－Δpωε；當(dāng)x∈?A 時(shí)，uε＝ωε＝0，由弱比較原理知，當(dāng)x∈A 時(shí)，uε≤ωε，故A 為空集.明顯地，0不是式（6）的解，故Ω 中0＜uε≤ωε.因此式（6）的解存在.

接下來(lái)證明不等式當(dāng)0＜ε≤δ≤ε0時(shí)，

式中，uε，uδ是任意兩個(gè)解，令或＝（δ＋uδ）－（ε＋uε）.要證式（8）成立，即證≥0.

由式（8）可知

式中，當(dāng)ε→0＋，δ→0＋時(shí)，可知uε＝uδ，故證得解的唯一性.

令h ＝（h1，…，hn）是 一個(gè) 非 零 向 量，

h是任意足夠小的向量，則u∈W2，p（Ω），且

該引理的證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)［14］中的引理3.3.

2 定理1的證明

在本節(jié)中，運(yùn)用最大值原理、弱比較原理、引理1和引理2來(lái)完成定理1的證明.

由引理2，假設(shè)σ1是Ω 中的任意開(kāi)區(qū)域，使得則存在C，使得

下面證明解的唯一性，假設(shè)u，v 是兩個(gè)解，當(dāng)x∈A?Ω 時(shí)，，則v），即當(dāng)x∈A 時(shí)，－Δpu≥－Δpv；當(dāng)x∈?A 時(shí)，u＝v＝0，由 弱 最 大 值 原 理 得 到 當(dāng)x ∈A 時(shí)，.由對(duì)稱(chēng)性可證得，則u＝v.定理1證畢.

3 更一般的非線(xiàn)性邊界值問(wèn)題

將式（5）拓展，研究更一般的非線(xiàn)性邊界值問(wèn)題

其中λ≥0，Ω 是?n中的有界光滑開(kāi)區(qū)域，h∈.

假設(shè)（g1）和（g2）成立，且

假設(shè)?Ω 是C1階的，令

令μ 是

對(duì)于0＜ε＜ελ，令當(dāng)x∈Aε時(shí)，對(duì)且η≥0有

引理5 給予λ∈［0，λ（ g ，h ）），對(duì)所有的ε∈分別是式（13）的上下解，并且在Ω 中幾乎處處成立，那么式（13）在區(qū)間

內(nèi)存在最大值u＊和最小值u＊，即式（13）的每一個(gè)屬于的解uε都滿(mǎn)足u＊（x）≤uε（x）≤u＊（x）在Ω 內(nèi)幾乎處處成立.

該引理的證明參考文獻(xiàn)［12］的294—295頁(yè).

下面來(lái)證明定理2.

可知－Δpuε1＝－Δp（10 0＋uε2）＝－Δpuε2，而 式（14）與式（15）的右邊不相等，故矛盾.因此，對(duì)?η＞0，?δ＞0，當(dāng)時(shí)，由柯西收斂準(zhǔn)則可知收斂.由于收斂，對(duì)任意的η＞0，當(dāng)時(shí)，｜uε（x＋h）－uε（x）｜＜η，由于h 足夠小，而由前面的引 理2 知uε∈W2，p（Ω ） ，可 選α∈（0 ，1） ，p＞n／（1－α），由Sobolev 嵌 入 定 理 知在C1，α（Ω ） 是 緊 的，因 此 存 在當(dāng)εm→0時(shí)，uεm在中收斂，令是其極限.同樣的，存在，當(dāng)εm→0 時(shí)，在中收斂，即存在，使得.因此可得在W1，p（Ω ） 中分別收斂于u，.

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