基于短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的瞬時(shí)頻率估計(jì)誤差分析

鄧兵，欒俊寶，唐光勝

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，山東煙臺(tái)264001；2.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001；3.91599部隊(duì)，山東萊陽(yáng)265200）

基于短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的瞬時(shí)頻率估計(jì)誤差分析

鄧兵1，欒俊寶2，唐光勝3

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，山東煙臺(tái)264001；2.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001；3.91599部隊(duì)，山東萊陽(yáng)265200）

信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)作為雷達(dá)信號(hào)處理的一項(xiàng)重要內(nèi)容，對(duì)于目標(biāo)的檢測(cè)和識(shí)別起著重要作用。利用短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具有更好時(shí)頻分辨力的特點(diǎn)，分析了利用短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)三次相位非線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)的精度與窗函數(shù)、窗長(zhǎng)間的關(guān)系。結(jié)果表明：當(dāng)采用高斯窗時(shí)能夠獲得最高估計(jì)精度，且最佳窗長(zhǎng)L與時(shí)寬和帶寬積σtσf和信號(hào)調(diào)頻率變化率k滿足通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論。

信息處理技術(shù)；參數(shù)估計(jì)；短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；瞬時(shí)頻率；誤差分析

0 引言

隨著信號(hào)處理技術(shù)的日趨復(fù)雜，所研究信號(hào)的復(fù)雜程度也越來(lái)越高，對(duì)信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)作為雷達(dá)信號(hào)處理的一項(xiàng)重要內(nèi)容，對(duì)于目標(biāo)的檢測(cè)和識(shí)別起著重要作用。非線性調(diào)頻信號(hào)作為雷達(dá)信號(hào)的一種，由于其頻率變化的復(fù)雜性，對(duì)于其瞬時(shí)頻率的估計(jì)也較為復(fù)雜［1-4］。

傳統(tǒng)的平穩(wěn)分析方法，如傅里葉變換只局限于信號(hào)單一時(shí)域或者頻域信息的研究，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，當(dāng)不同信號(hào)分量之間、信號(hào)與噪聲之間存在較強(qiáng)耦合時(shí)，此類時(shí)頻分析手段則達(dá)不到很好的效果，在此基礎(chǔ)上，研究學(xué)者開(kāi)始關(guān)注二維時(shí)頻分布。當(dāng)分段采用傅里葉變換進(jìn)行分析時(shí)，則出現(xiàn)了短時(shí)傅里葉變換（STFT）的方法［5］。STFT屬于線性變換，對(duì)于多分量的復(fù)雜信號(hào)在信號(hào)不重疊時(shí)幾乎沒(méi)有交叉項(xiàng)干擾，運(yùn)算復(fù)雜度較低，因此廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域［6］，但對(duì)于瞬時(shí)頻率變化較大的信號(hào)，其能量聚集性較差，無(wú)法準(zhǔn)確表現(xiàn)出信號(hào)的時(shí)頻變化規(guī)律。Wigner-Ville分布（WVD）作為一種雙線性變換，對(duì)于瞬時(shí)頻率變化不大的信號(hào)具有很高的時(shí)頻聚集性和良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算性質(zhì)，也得到了專家學(xué)者的關(guān)注［7-8］。但其在多分量信號(hào)處理時(shí)存在交叉項(xiàng)干擾問(wèn)題，并且運(yùn)算復(fù)雜度較高。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FRFT）作為一種新興的時(shí)頻分析工具［9-10］，是傅里葉變換的一種廣義形式。相比傅里葉變換，其增加了一個(gè)自由度，能夠同時(shí)反映信號(hào)在時(shí)域和頻域的信息，在匹配的FRFT階次下，線性調(diào)頻信號(hào)能夠聚集為能量較高的沖擊信號(hào)。利用FRFT的這一良好特性，在FRFT的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)目標(biāo)信號(hào)加入一個(gè)滑動(dòng)的窗函數(shù)，即可得到短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（STFRFT）［11-14］。這一方法將非線性調(diào)頻信號(hào)截取成與窗長(zhǎng)相等的小段信號(hào)，每一段信號(hào)則可以近似地看作線性調(diào)頻信號(hào)。對(duì)每一段信號(hào)分別進(jìn)行分析，可以得出信號(hào)分?jǐn)?shù)域頻率隨時(shí)間的變換規(guī)律，這對(duì)于時(shí)變參數(shù)的估計(jì)具有很好的效果。

在使用STFRFT來(lái)進(jìn)行非線性調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，窗函數(shù)及窗長(zhǎng)的選擇直接影響到估計(jì)的精度，本文重點(diǎn)分析了二者對(duì)瞬時(shí)頻率估計(jì)精度的影響。

1 短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

STFRFT的定義源于STFT。一個(gè)連續(xù)信號(hào)的STFT定義［10］為

式中:s（t）為待測(cè)信號(hào)；g（t）為窗函數(shù)；f為待測(cè)信號(hào)頻率。

圖1（a）所示為STFT對(duì)調(diào)頻信號(hào)的時(shí)頻分辨能力。STFT的分辨單元由多個(gè)平行于時(shí)間、頻率的矩形框組成，從圖1（a）中可以看出，STFT對(duì)于調(diào)頻信號(hào)在時(shí)域、頻域上的分辨能力并不是很高，其分辨單元并不能很好地?cái)M合原信號(hào)的特點(diǎn)。如圖1（b）所示，為了獲得最佳的信號(hào)表示，將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一定的角度形成新的（u，v）坐標(biāo)系，此時(shí)線性調(diào)頻信號(hào)在形成的新坐標(biāo)系下能夠獲得很好的能量聚集，相應(yīng)的分辨率也將會(huì)提高，為了獲得這一新的坐標(biāo)系，用到了FRFT。

圖1 STFT與STFRFT對(duì)調(diào)頻信號(hào)分辨能力對(duì)比Fig.1 Resolving ability comparison of STFRFT and STFRFT for FM signal

FRFT作為傳統(tǒng)傅里葉變換的一種廣義形式，實(shí)質(zhì)上可以理解為對(duì)時(shí)-頻平面進(jìn)行二維旋轉(zhuǎn)而形成分?jǐn)?shù)階傅里葉域的方法。一個(gè)連續(xù)信號(hào)s（t）的FRFT為

式中:α為變換角度；Kα（t，u）是FRFT核函數(shù)，

由上述理論對(duì)STFT進(jìn)行推廣可以得出信號(hào)s（t）的STFRFT定義［15］:

2 非線性調(diào)頻信號(hào)瞬時(shí)頻率估計(jì)誤差

同STFT一樣，STFRFT也是一種非常有效的時(shí)頻分析工具。利用STFRFT除了能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)短時(shí)窗內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)之外，還能夠通過(guò)對(duì)變換階次的二維搜索，對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)的調(diào)頻率進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以用其實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)。

如圖2所示，對(duì)于一個(gè)非線性調(diào)頻信號(hào)在經(jīng)過(guò)STFRFT時(shí)，如果窗函數(shù)及窗長(zhǎng)的選擇足夠合理，可以認(rèn)為其在短時(shí)窗內(nèi)是近似線性調(diào)頻信號(hào)，那么利用FRFT在線性調(diào)頻信號(hào)處理上的諸多優(yōu)勢(shì)［16］，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)。

圖2 STFRFT對(duì)非線性調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)Fig.2 Instantaneous frequency estimation of non-LFM signal through STFRFT

工程應(yīng)用中，3次相位信號(hào)是一類常見(jiàn)的非線性調(diào)頻信號(hào)，因此，本文主要對(duì)3次相位信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)進(jìn)行研究，以下所討論的誤差均為絕對(duì)誤差。

設(shè)3次相位信號(hào)為

式中:f0為信號(hào)初始頻率；μ為2次相位項(xiàng)系數(shù)，即調(diào)頻率；k為3次相位項(xiàng)系數(shù)，即調(diào)頻變化率。其時(shí)頻關(guān)系表達(dá)式為f=f0+μt+kt2，以STFRFT對(duì)信號(hào)作瞬時(shí)頻率估計(jì)，短時(shí)窗內(nèi)的瞬時(shí)頻率估計(jì)表達(dá)式為為初始頻率f0的估計(jì)值，為調(diào)頻率的估計(jì)值，相應(yīng)的瞬時(shí)頻率估計(jì)誤差為

在信號(hào)時(shí)長(zhǎng)T內(nèi)，其誤差可用E來(lái)表示。

Δf的最大取值等于頻率分辨率大小，則（7）式中ΔfL可用時(shí)寬和帶寬積σtσf來(lái)表示，即

對(duì)E進(jìn)行求導(dǎo)可得

令（9）式等于0，化簡(jiǎn)后可得到

此時(shí)瞬時(shí)頻率估計(jì)誤差E取得最小值。從（10）式可以得知，最佳窗長(zhǎng)L的取值與k和σtσf有關(guān)。k的取值越大，σtσf取值越小，L的取值就越小。影響k的取值因素主要是3次相位信號(hào)的3次項(xiàng)系數(shù)，而σtσf的大小則取決于短時(shí)窗函數(shù)的選擇。

3 最佳窗函數(shù)

一個(gè)好的窗函數(shù)能夠在很大程度上減小時(shí)寬和帶寬積，從而提高信號(hào)參數(shù)估計(jì)與檢測(cè)性能［17］，本節(jié)主要分析具有最小時(shí)寬和帶寬積的STFRFT的最佳窗函數(shù)選擇。

如圖3所示，將整個(gè)時(shí)頻平面分割成若干時(shí)頻網(wǎng)格，則每一個(gè)小格可以看作是一個(gè)時(shí)頻分辨單元，這些時(shí)頻分辨單元構(gòu)成了時(shí)頻原子字典。

圖3 STFRFT的時(shí)頻分辨單元Fig.3 Time-frequency resolution unit of STFRFT

STFRFT的時(shí)頻原子字典可以通過(guò)對(duì)窗函數(shù)進(jìn)行時(shí)域和分?jǐn)?shù)階傅里葉域平移得到。設(shè)窗函數(shù)g（t）是一個(gè)實(shí)對(duì)稱的偶函數(shù)，則STFRFT的時(shí)頻原子字典為

式中:時(shí)頻原子g子，ε為將g（t）在時(shí)域平移子個(gè)單位，分?jǐn)?shù)階傅里葉域平移ε個(gè)單位而得到的。對(duì)于任意的（子，ε），信號(hào)s（t）的STFRFT可以理解為將信號(hào)s（t）投影在每個(gè)字典原子g子，ε上，即

在對(duì)信號(hào)進(jìn)行上述處理之后，分?jǐn)?shù)階傅里葉積分局限在了以子為中心的鄰域范圍之內(nèi)，其在時(shí)域內(nèi)的能量分布方差為

式中:‖g‖2代表信號(hào)能量。由于g子，ε（t）是偶對(duì)稱函數(shù)，且其在時(shí)域和分?jǐn)?shù)域的跨度大小與子和ε的取值無(wú)關(guān)，因此（13）式可以化簡(jiǎn)為

同理，g（t）在α階分?jǐn)?shù)傅里葉域內(nèi)的能量分布方差大小為

式中:Gα（u）為信號(hào)g（t）的α階FRFT。由于信號(hào)在時(shí)域和分?jǐn)?shù)階傅里葉域能量守恒，（15）式可化簡(jiǎn)為

由FRFT的性質(zhì)［18］可得

即tg（t）cos α-jg′（t）sin α為uGα（u）的分?jǐn)?shù)階傅里葉逆變換。根據(jù)FRFT能量守恒關(guān)系:

令（18）式中Xα（u）=uGα（u），則（18）式轉(zhuǎn)化為

因此，（16）式可化簡(jiǎn)為

則有

根據(jù)柯西-施瓦茨不等式可知，（21）式可化簡(jiǎn)為

根據(jù)柯西-施瓦茨不等式的等號(hào)成立條件，存在b∈C使得

因此，存在a∈C使得

（25）式說(shuō)明，當(dāng)窗函數(shù)為高斯型的窗函數(shù)時(shí)，STFRFT具有最佳時(shí)寬和帶寬積。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 不同窗函數(shù)下短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的時(shí)頻分辨

對(duì)于STFRFT，窗函數(shù)的選擇可以多種多樣，每一類窗函數(shù)的性質(zhì)也不盡相同。工程中比較具有代表性的短時(shí)窗函數(shù)主要有矩形窗、高斯窗等，因此分別采用矩形窗和高斯窗進(jìn)行STFT和STFRFT的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。

設(shè)3次相位信號(hào)s（t）=exp（j2π·（f0t-100t2+ 170t3）），初始頻率f0=30 Hz，采樣時(shí)間為1 s，采樣頻率為1 024 Hz，窗長(zhǎng)同為128點(diǎn)，階次搜索步長(zhǎng)為0.01，其仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 信號(hào)瞬時(shí)頻率估計(jì)誤差對(duì)比圖Fig.4 Comparison chart of instantaneous frequency estimations

從圖4中可以明顯看出，利用STFRFT進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，其平均誤差要比利用STFT進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)平均誤差要小。當(dāng)利用STFT進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，采用高斯窗誤差會(huì)更小。

從圖5中可以看出，信號(hào)在不同窗函數(shù)下能夠獲得不同的能量聚集性。當(dāng)采用矩形窗時(shí)，信號(hào)能量不夠集中，出現(xiàn)波束展寬而導(dǎo)致峰值高度不夠明顯，在頻域上的分辨率較低。而采用高斯窗時(shí)，能量相對(duì)集中在一個(gè)很小的范圍之內(nèi)，其時(shí)寬和帶寬積更小，時(shí)頻分辨能力更高，該仿真也間接證明了圖4數(shù)據(jù)的正確性。

圖5 不同窗函數(shù)對(duì)時(shí)頻分辨的影響Fig.5 Influences of different windows on time-frequency resolution

4.2 高斯窗長(zhǎng)與瞬時(shí)頻率估計(jì)的精度關(guān)系

為驗(yàn)證短時(shí)窗長(zhǎng)與瞬時(shí)頻率估計(jì)精度的關(guān)系，仿真仍采用3次多項(xiàng)式相位信號(hào)s（t）=exp（j2π·（f0t-100t2+170t3）），初始頻率、采樣時(shí)間及采樣頻率保持不變，采用高斯窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行STFRFT，窗長(zhǎng)由16點(diǎn)變化至1 024點(diǎn)，步長(zhǎng)為16點(diǎn)，窗與窗之間不重疊，STFRFT階次搜索步長(zhǎng)改為0.001，利用變換結(jié)果對(duì)信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)，仿真結(jié)果如圖6、圖7所示。圖7為圖6中最佳窗長(zhǎng)附近估計(jì)精度的局部放大圖。

從仿真結(jié)果可以得出，隨著窗長(zhǎng)的增加，瞬時(shí)頻率的估計(jì)精度呈現(xiàn)先增高，后降低的現(xiàn)象。起始時(shí)的估計(jì)精度較差主要是由于窗長(zhǎng)太短而導(dǎo)致頻率分辨率過(guò)低引起的頻率估計(jì)誤差，后來(lái)的估計(jì)精度下降主要是由于頻率變化過(guò)快，在相對(duì)較長(zhǎng)的時(shí)窗內(nèi)不能達(dá)到良好的近似線性擬合導(dǎo)致的估計(jì)誤差。從仿真數(shù)據(jù)可以得出，最佳窗長(zhǎng)出現(xiàn)在112～128點(diǎn)之間，根據(jù)（10）式計(jì)算出的最佳窗長(zhǎng)為116點(diǎn)，結(jié)果從仿真中得到了驗(yàn)證。

圖6 窗長(zhǎng)對(duì)瞬時(shí)頻率估計(jì)精度的影響Fig.6 Influence of window length on instantaneous frequency estimation accuracy

圖7 最佳窗長(zhǎng)附近局部放大圖Fig.7 Partial enlarged diagram of estimation accuracy with optimum window length

5 結(jié)論

本文從理論上分析了利用STFRFT對(duì)3次相位非線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行信號(hào)瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)的估計(jì)精度與窗函數(shù)及窗長(zhǎng)的關(guān)系，從而得出:對(duì)于3次相位非線性調(diào)頻信號(hào)，其瞬時(shí)頻率的估計(jì)精度與窗函數(shù)及窗長(zhǎng)的選取有關(guān)，STFRFT的窗函數(shù)應(yīng)選擇為高斯窗，且應(yīng)滿足關(guān)系式L=33σtσf/2k，其中，L為窗長(zhǎng)，σtσf為信號(hào)的時(shí)寬和帶寬積，k為信號(hào)的調(diào)頻率變化率。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，在對(duì)3次多項(xiàng)式相位信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，STFRFT比與其類似的STFT具有更高的瞬時(shí)頻率估計(jì)精度，且在高斯窗下，其估計(jì)精度比矩形窗更高。在對(duì)信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，采用高斯窗的STFRFT將會(huì)獲得更好的估計(jì)效果。

春天，一顆顆種子隨手扔下，生根、發(fā)芽、長(zhǎng)葉，精心料理，澆水施肥，理所當(dāng)然會(huì)生長(zhǎng)出各式各樣的蔬菜。英老是這樣想：子宮和菜地都是屬于女人的，一個(gè)為男人傳宗接代，一個(gè)需要女人辛辛苦苦耕耘一輩子。年復(fù)一年，菜地照常綠意蔥蔥，生機(jī)勃勃，而子宮就不一樣了，和身體其他器官一樣，它一天天走向衰老。更可怕的是，一頭兇猛的野獸魯莽地鉆入了英衰老而脆弱的子宮，肆無(wú)忌憚地吞噬著她。

與此同時(shí)，由于FRFT在運(yùn)算中涉及到二維搜索，每次搜索又涉及到快速傅里葉變換算法，因此STFRFT在運(yùn)算上要比STFT運(yùn)算量要大得多。

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Error Analysis of Instantaneous Frequency Estimation Based on Short-time Fractional Fourier Transform

DENG Bing1，LUAN Jun-bao2，TANG Guang-sheng3
（1.Department of Electronic and Information Engineering，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，Shandong，China；2.Graduate Students'Brigade，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，Shandong，China；3.Unit 91599 of PLA，Laiyang 265200，Shandong，China）

As an important content on radar signal processing，instantaneous frequency estimation plays an essential role in target detection and recognition.The higher time-frequency resolution of short-time fractional Fourier transform（STFRFT）is used to analyze the relationship among window function，window width and the instantaneous frequency estimation precision of cubic phase non-LFM signal.The result shows that，when Gauss window is used，the estimation precision is the highest；the prime window width L，the product of pulse width and band width σtσfand the frequency fluctuation rate k should meetFinally，the result is verified through simulation.

information processing technology；parameter estimation；short-time fractional Fourier transform；instantaneous frequency；error analysis

TN957.51

A

1000-1093（2015）11-2104-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.11.013

2015-03-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60902054、61032001、61571454）；中國(guó)博士后科學(xué)基金項(xiàng)目（201003758、20090460114）

鄧兵（1975—），男，副教授。E-mail:navy_dbing@tom.com