含多參量無窮積分的一致收斂性及其判別法*

唐國吉，陳向陽，裴 楷

（廣西民族大學理學院，廣西　南寧　530006）

含多參量無窮積分的一致收斂性及其判別法*

唐國吉，陳向陽，裴 楷

（廣西民族大學理學院，廣西南寧530006）

引入了含雙參變量的無窮積分一致收斂的概念，并探討了一些判別方法，包括柯西準則，維爾斯特拉斯M判別法，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.文章的主要結(jié)果是含單參量無窮積分一致收斂的相應(yīng)結(jié)果的推廣.

含多參量無窮積分；一致收斂；柯西準則

0　引言

含參量積分是多元積分學中的重要內(nèi)容.現(xiàn)行的數(shù)學分析教材[1－3]都討論了此項內(nèi)容.含參量正常積分實質(zhì)上是通過定積分來定義的一個函數(shù)，上述數(shù)學分析教材研究了此類函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性，這些性質(zhì)保證了積分與取極限，積分與求導，積分與積分運算的可交換性.因此，他們在求極限、求導和求積分的一些計算中扮演著重要的作用.近來，文獻[4－5]把含單個參變量的正常積分推廣到含雙參變量的正常Riemann積分和Riemann-Stieltjes積分的情形，獲得了相應(yīng)的結(jié)果.

含參量非正常積分的討論比正常積分要復(fù)雜得多.現(xiàn)行的處理方法都是通過引入含參量非正常積分的一致收斂的概念，進而討論其分析性質(zhì).我們注意到Beta函數(shù)：

是一個含雙參量p和q的非正常積分.遺憾的是，目前的數(shù)學分析教材卻沒有提到雙參量非正常積分的相關(guān)理論.

正如郇中丹教授[6]指出的那樣，目前的數(shù)學分析教材對一元微積分的討論不厭其煩，而多元微積分則顯得相當薄弱，這一方面是由于以往認為多元微積分是一元的平行推廣，這大概與菲赫金格爾茲的數(shù)學分析教材的影響有關(guān).然而，無論從數(shù)學的發(fā)展，還是從實際應(yīng)用以及計算機的使用都要求學生有較好的多元微積分基礎(chǔ).與一元微積分相比，多元微積分的有關(guān)內(nèi)容的處理還有待深入的研究.與含單參量的積分相類似，含多參量的非正常積分比相應(yīng)的正常積分的討論要更復(fù)雜.探索含多參量的非正常積分的分析性質(zhì)僅僅要求含多參量的非正常積分收斂是不夠的，需要更強的一致收斂的條件.這正是筆者研究的主要動機.

受以上文獻的啟發(fā)，筆者引入了含多參量無窮積分一致收斂的概念，并探討了一致收斂的一些判別法（包含Cauchy準則、維爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法）.筆者的主要結(jié)果可以看作是含單參量無窮積分一致收斂的相關(guān)結(jié)果的推廣，也為下一步研究含多參量無窮積分的分析性質(zhì)奠定基礎(chǔ).

1　定義和引理

為了敘述方便，僅以含雙參量的無窮積分為例展開，對于含3個參量或更一般地，n個參量的無窮積分的相關(guān)結(jié)果，讀者可以毫不費力地得到相關(guān)結(jié)果.

定義1 設(shè)函數(shù)f（χ，y，z）定義在無界區(qū)域R＝｛（χ，y，z）|a≤χ≤b，c≤y≤d，e≤z＜＋∞｝上，若對每一個固定的（χ，y）∈[a，b]×[c，d]，無窮積分

稱（1）式為定義在[a，b]×[c，d]上的含兩個參量χ和y的無窮積分.

定義2 若含參變量無窮積分（1）與函數(shù)I（χ，y）對任給的正數(shù)ε，總存在某一實數(shù)N＞e，使得當M＞N時，對一切（χ，y）∈[a，b]×[c，d]，都有

都收斂，則它的值是（χ，y）在[a，b]×[c，d]上取值的函數(shù)，當記這個函數(shù)為I（χ，y）時，則有

則稱含參量無窮積分（1）在[a，b]×[c，d]上一致收斂于I（χ，y），或簡單地說含參量積分（1）在[a，b]× [c，d]上一致收斂.

引理2（[1]的定理9.11的推論）設(shè)函數(shù)f在[a，b]上可積，若g為單調(diào)函數(shù)，則存在ξ∈[a，b]，使得

2　主要結(jié)果

定理1（Cauchy準則）含雙參量的無窮積分（1）在D＝｛（χ，y）∈R2|χ∈[a，b]，y∈[c，d]｝上一致收斂的充要條件：對任給的正數(shù)ε，總存在某一實數(shù)M＞e，使得當A1，A2＞M時對一切（χ，y）∈D，都有

證明：（必要性）對任給的正數(shù)ε，由含雙參量無窮積分（1）在D上一致收斂可知存在某一實數(shù)M＞e，當A1，A2＞M時，對于一切（χ，y）∈D，都有

（充分性）若條件（5）成立，由無窮積分收斂的Cauchy準則（引理1）可知，對每一個（χ，y）∈D，

定理2（維爾斯特拉斯M判別法）設(shè)有函數(shù)g（z），使得

由（7），（8）和定積分的絕對值性質(zhì)可得

定理3（狄利克雷判別法）設(shè)

i）對于一切實數(shù)N＞e，含參量正常積分

對于參量χ和y在D＝｛（χ，y）|a≤χ≤b，c≤y≤d｝上一致有界，即存在正數(shù)M，對于N＞e及一切（χ，y）∈D，都有

ii）對每一對（χ，y）∈D，函數(shù)g（χ，y，z）關(guān)于z是單調(diào)遞減且當z→＋∞時，對于參量χ和y，g（χ，y，z）一致收斂于0，即?ε＞0，?A＞0，?z＞A，?（χ，y）∈D有|g（χ，y，z）|＜ε，

證明：任給ε＞0，由于g（χ，y，z）當z→＋∞時關(guān)于參量χ和y一致收斂于0可知存在A＞0，對于一切z＞A和一切（χ，y）∈D，有

其中M為條件i）所定義.又因為對每一對（χ，y）∈D，函數(shù)g（χ，y，z）關(guān)于z單調(diào)遞減，利用引理2，對于任何的u1，u2＞A，存在ξ∈[u1，u2]，使得

定理4（阿貝爾判別法）設(shè)f（χ，y，z），g（χ，y，z）滿足如下條件：

ii）對于每一對D＝｛（χ，y）|a≤χ≤b，c≤y≤d｝，函數(shù)g（χ，y，z）為z的單調(diào)函數(shù)，對參量χ和y，g（χ，y，z）在[a，b]×[c，d]上一致有界，

證明：任給ε＞0，由條件i）利用定理1的必要性可知，存在A＞e，任何u2＞u1＞A，使得

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]徐森林，金亞東，薛春華.數(shù)學分析（第三冊）[M].北京：清華大學出版社，2007.

[3]劉玉璉.數(shù)學分析講義（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]顧先明.二元含參量正常積分函數(shù)的分析性質(zhì)[J].唐山師范學院學報，2010，32（2）：41－44.

[5]顧先明.二元含參量黎曼＿斯蒂爾切斯積分函數(shù)的分析性質(zhì)[J].哈爾濱師范大學：自然科學學報，2010，26（5）：36－40.

[6]郇中丹.對師范大學本科數(shù)學專業(yè)數(shù)學分析課程改革的幾點意見[J].數(shù)學教育學報，2000，9（2）：17－19.

[責任編輯 蘇 琴]

[責任校對 方麗菁]

Uniform Convergence and Discriminant Method for Infinite Integral Involving Multiple Variables

TANG Guo-ji，CHEN Xiang－yang，PEI Kai
（College of Science，Guangχi University for Nationalities，Nanning530006，China）

In this paper，a notion of uniform convergence for infinite integral involving two variables is introduced.Some discriminant methods，including Cauchy criterion，Weistrass-discriminant method，Dirichlet-discriminant method and Abel-discriminant method are obtained.The main results presented in this paper are generalization of corresponding results of uniform convergence for infinite integral involving singlevariable.

infinite integral involving multiple variables；uniform convergence；Cauchycriterion

O172.2

A

1673－8462（2015）01－0062－04

2014-09-10.

廣西高等教育教學改革工程項目（一般A類）（2014JGA131）.

唐國吉（1979-），男，廣西防城港人，博士，廣西民族大學理學院副教授，研究方向：優(yōu)化理論及應(yīng)用.