解平面向量問題的兩種思路

李愛蘭

（壽陽縣第一中學(xué)校 山西壽陽 045400）

解平面向量問題的兩種思路

李愛蘭

（壽陽縣第一中學(xué)校 山西壽陽 045400）

向量是高中數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之—，它有深刻的代數(shù)特征和幾何背景，解決平面向量問題的時(shí)候也是從這兩個(gè)顯著特征入手的。

數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。我們可以理解為：向量的大小是它的“數(shù)”性、而它有方向，則說明它有“形”的性質(zhì)，這樣一來，向量實(shí)質(zhì)上是個(gè)“數(shù)”、“形”兼?zhèn)涞牧?。所謂數(shù)，就是向量的模長，形是向量的方向。在學(xué)習(xí)了向量知識后，我們不妨這樣去理解它的“數(shù)”、“形”兼?zhèn)洌骸皵?shù)”，即是向量的坐標(biāo)，而“形”則體現(xiàn)在向量的運(yùn)算都有對相應(yīng)的幾何表示。這樣就為我們提供發(fā)兩種解題的思路。

解法一：

解法二：

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則

例2在直角三角形中，BC=a，若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，則的夾角取何值時(shí)，向量有最大值，并求出最大值。

解法一

解法二：如圖所示，以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)|AB|=c，|AC|=b則A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|=2a，|BC|=a.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y）.

注：這種解法充分利用了題目中的垂直條件建立了平面直角坐標(biāo)系，然后給定題目的定量（三角形的三邊大小）和變量（PQ的位置），這樣一來，題目所涉及的向量都可以進(jìn)行坐標(biāo)表示，最后數(shù)量積的最值就會轉(zhuǎn)換成函數(shù)問題，利用我們所學(xué)的向量知識求解最值，并且也確定出了PQ的位置。

源于向量是“數(shù)”、“形”兼?zhèn)涞臄?shù)學(xué)元素，向量問題有兩種求解思路，上述兩個(gè)例題都是一題兩解，兩種解法可概括為坐標(biāo)法求解和“基底思想”結(jié)合向量運(yùn)算求解。即用“數(shù)”解決向量問題——坐標(biāo)法，或用“形”法來解決——基底法。