單位圓盤的擬對稱映射不具有Landau定理

馮小高

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

1 引 言

20 世紀早期，Landau 證明了:存在一正數(shù)，若f(z)為單位圓盤D={z:|z| ＜1}上任意的解析函數(shù)，且滿足正規(guī)化條件:f'(0)=1，則像集f(D)包含一個至少以此正數(shù)為半徑的圓盤． 最優(yōu)的這個正常數(shù)為Landau常數(shù)．在1925年，Andre Bloch 進一步證明了:存在一正數(shù)，若f(z)為單位圓盤D ={z:|z| ＜1}上任意的正規(guī)化解析函數(shù)，則f(z)將單位圓盤D={z:|z| ＜1}內(nèi)一開子集一一的映到至少以此正數(shù)為半徑的圓盤．最優(yōu)的這個正常數(shù)為著名的Bloch 常數(shù)．

近來，Gauthier 和Pouryayevali 在［1］中證明了在平面內(nèi)對多項式擬共形映射不具有Landau 定理．借助Gauthier 和Pouryayevali 的方法，構(gòu)造了一個擬對稱映射的例子，通過Vaisala 的一個結(jié)論，證明了構(gòu)造的映射為擬對稱映射，根據(jù)此映射中參數(shù)ε ＞0 的任意性，說明了在平面上擬對稱映射不具有Landau 定理．下面先回憶一下一些基本概念．

則稱f(z)為K-擬共形映射．

定義2 假設(shè)η:［0，∞)→［0，∞)為單調(diào)增，A?C，C 代表復(fù)平面，若對任意不同的三點z1，z2，z3∈A，有

則稱f(z)為η 擬對稱映射．

在［2］中討論了擬共形映射與擬對稱映射的關(guān)系:在局部情況下，擬對稱映射和擬共形映射是等價的．從此角度，根據(jù)Gauthier 和Pouryayevali［1］的結(jié)果和擬對稱映射與擬共形映射的局部等價性，自然有擬對稱映射不具有Landau 定理．但我們通過Vaisala［3］的一個結(jié)論，說明構(gòu)造的映射為擬對稱映射，從而證明了在平面上擬對稱映射不具有Landau 定理．

2 主要結(jié)論和證明

先介紹一個引理

引理2．1［3］假設(shè)Ω 和Ω'為復(fù)平面C 的子區(qū)域，f:ˉΩ→ˉΩ'為同胚，且滿足:f|Ω為K-擬共形映射，f|?Ω為η-擬對稱映射．則f 為η1-擬對稱映射，η1只與K 和η 相關(guān)．

定理 對任意的K ＞1，和任意的ε ＞0，存在擬對稱映射f(z)，使其滿足:fz(0)=0，且f(D)包含在以ε ＞0為半徑的圓盤內(nèi)．

證明:對K ＞1 和t ＞1，令

h(s)=(1 -K)lnt+Ks，

構(gòu)造映射

首先證明上面定義的f(z)為單位圓盤上的K-擬共形映射．由f(z)的定義得其兩個偏導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)(1)和(2)知Jacobi 行列式

且最大伸縮商

所以f(z)為單位圓盤上的K-擬共形映射．

下面說明上面定義的為擬對稱映射．

對任意不同的三點z1，z2，z3∈?D={z:|z| =1}，因為對函數(shù)η(t)=ct(c≥1)，有

則f(z)在?D={z:|z| =1}上為η-擬對稱映射，又由于f(z)在單位圓盤內(nèi)為K-擬共形映射，根據(jù)引理2．1知f(z)為η' -擬對稱映射，且f(D)包含在以ε=t1-K＞0 為半徑的圓盤內(nèi)．

由定理中ε=t1-K＞0(注意t ＞1)的任意性，易知下面推論．

推論1 在平面上單位圓盤的擬對稱映射不具有Landau 定理．

推論2 在平面上單位圓盤的擬對稱映射不具有Bloch 定理．

［1］ GAUTHIER P M，POURYAYEVALI M R，F(xiàn)ailure of Landau'theorem for quasiconformal mapping of the disk［J］．Contermporary Mathematics，2004，355:265 -268．

［2］ ASTALA K，LWANIEC T，and MARTIN G，Elliptic partial differential equations and Quasiconformal mappings in the plane［M］． Princeton University press．2009．

［3］ VAISALA J，Quasisymmetry and unions［J］． Manuscripta Mathematica，1990，68:101 -11．