高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性、周期性及圖象的對稱性探究

鐘海峰

摘要：到了高三，教師要不斷培養(yǎng)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)，這樣才能很好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，比如說理解函數(shù)的奇偶數(shù)的特性、周期性及圖象的對稱性等，即“三性”，在這個的基礎(chǔ)上，去進一步探求相互之間的關(guān)系.而在研究問題的過程中，讓學(xué)生轉(zhuǎn)變自己的學(xué)習(xí)方式，以及培養(yǎng)學(xué)生在探究方面的能力、創(chuàng)新的意識。本文結(jié)合具體的教學(xué)實踐，主要從以下幾個方面對于高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的相關(guān)問題進行探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 研究性 觀察 探究

一、高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

對于“研究性學(xué)習(xí)”，從以下幾個方面來說。

（一）背景材料的選取

在教材中，所有的重要的知識點都作為“研究性學(xué)習(xí)”的背景和材料，這確實是一個富有的素材庫，它的意義很大，即能夠把所有的中學(xué)教師的優(yōu)點發(fā)揮出來。有時，還可以把各自所寫論文材料作為“研究性學(xué)習(xí)”的背景和材料。

（二）“研究性學(xué)習(xí)”的教學(xué)目標(biāo)

對于教學(xué)，首要是目標(biāo)的明確，即在每一節(jié)課中，把相關(guān)的重點教給學(xué)生，而對于發(fā)現(xiàn)問題的方法，需要我們逐步去引導(dǎo)，反復(fù)進行結(jié)論前、后的思考。

在荷蘭，有位著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登爾曾經(jīng)說過，通過自己的反思，尤其在數(shù)學(xué)活動中是很重要的，我們把它作為數(shù)學(xué)的一個核心、動力的因素。所以，反思構(gòu)成了發(fā)現(xiàn)的根本之泉，而教會學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，在“研究性學(xué)習(xí)”中是一個目標(biāo)。

（三）“研究性學(xué)習(xí)”的課堂操作

1.通過建立課題小組而進行：一般情況，以10個左右同學(xué)為基準(zhǔn)，作為一個課題的小組，然后去確定課題小組的組長由誰擔(dān)當(dāng)。

2.把課內(nèi)、課外的關(guān)系處理好。對于教師，其主要精力安排在課外時間，而在課內(nèi)，主要任務(wù)是積極促進各個課題組去展示自己的成果。

3.通過把點、面結(jié)合起來，作為本教案的一個研究方案，組成一個課題小組而進行。每一個小組進行一個方案的研究。主要研究的范疇有：函數(shù)的奇偶性;函數(shù)的中心對稱;關(guān)于x軸上的兩點成中心對稱，周期性;關(guān)于平行于y軸的兩直線對稱，周期性;關(guān)于一條平行y軸的直線成軸對稱，與周期函數(shù)等。

二、通過不斷觀察、反思去進行研究性學(xué)習(xí)

在課前，往往老師給大家提供了有關(guān)的背景、材料，通過逐步的研究、學(xué)習(xí)，在上課前，讓同學(xué)們?nèi)フ故疽幌聦W(xué)習(xí)成果。采用先進的教學(xué)手段，比如多媒體進行教學(xué)，展示2個重點的函數(shù)圖像，y=sinx奇函數(shù)對稱軸x=kπ+，k∈z f（-x）=f（+x）（特例）f（2π+x）=f（x） ? f（-x）=-f（x） 對稱中心（kπ，0），k∈z f（π-x）=-f（π+x）（特例）。

對于這兩個函數(shù)，從函數(shù)的“三性”角度來分析，看起來比較優(yōu)美，而美，在于把函數(shù)“三性”集中一起了，那么，這類函數(shù)還有別的，即正切函數(shù)和余切函數(shù)。

三、通過試驗、猜想進行研究性學(xué)習(xí)

對于偶然性，其中有必然性，讓學(xué)生找一個函數(shù)去作進一步的試驗。通過下面的做法，讓每一個課題組，選出一位同學(xué)，把本組所構(gòu)造的函數(shù)給同學(xué)們進行展示，即給大家一起分享成果。

組一的一位學(xué)生，展示了：

1.已知函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x2，作出函數(shù)的圖象（作圖過程略）從圖3中不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)具有周期性，且周期為2。

2.已知函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x2，（作圖過程略），由圖3可知，函數(shù)的對稱軸為x=k，k∈z。

3.已知函數(shù)y=f（x），滿足f（x+2）=f（x），且f（1-x）=f（1+x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x2（作圖過程略），由圖3可知，函數(shù)為偶函數(shù)。對于上面的三個命題，我們能不能把其寫成一個命題的形式，讓學(xué)生去思考。

有的學(xué)生說：已知函數(shù)y=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x2，給出三個論斷：

1.f（-x）=f（x）;

2.f（2-x）=f（x）;

3.f（2+x）=f（x）。

若把其中兩個論斷作為一個條件，則另一個的論斷，被作為結(jié)論的命題，即真命題。在此基礎(chǔ)上，我們就可以作出一個合情的猜想，即：函數(shù)y=f（x），給出三個論斷：

1.f（-x）=f（x）;

2.f（2a-x）=f（x）;

3.f（2a+x）=f（x）。

把其中兩個論斷作為一個條件，而另一個論斷作為結(jié)論，則該命題是真命題。

四、通過探索、發(fā)現(xiàn)進行研究性學(xué)習(xí)

我們可以從本課題組中，選出三位同學(xué)進行，即對猜想的證明，其具體的分工，往往由自己來定。有的學(xué)生認為：由f（2a-x）=f（x），得f（2a+x）=f（-x），又f（-x）=f（x），得f（2a+x）=f（x）。又有學(xué)生認為：由f（2a+x）=f（x），得f（2a-x）=f（-x），又f（-x）=f（x），得f（2a-x）=f（x），還有學(xué)生認為：由f（2a-x）=f（x），得f（2a+x）=f（-x），又f（2a+x）=f（x） ，得f（-x）=f（x）。對于三位同學(xué)的推證，其關(guān)鍵抓住了變量x，即其具有任意性，這樣，根據(jù)目標(biāo)而進行相關(guān)的變形。在探索過程中，他們可以發(fā)現(xiàn)論斷2、論斷3的條件是：其中參數(shù)有2a是相同的，通過反思圖3，即作圖的過程，又有新的發(fā)現(xiàn)，即圖象的特征是：在兩條對稱軸即x=0，x=1下，產(chǎn)生了周期性，而在作圖過程中，很容易發(fā)現(xiàn)2=2（1-0），從而得到三個論斷：1.y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱;2.y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=b對稱;3.y=f（x）是周期函數(shù)，且周期T=2|b-a|為其中一個周期，而以其中兩個論斷為條件，則另一個論斷是結(jié)論的命題，即真命題。

五、通過類比、發(fā)散而進行

在學(xué)生展示了偶函數(shù)、軸對稱、周期性等相互關(guān)系時，把圖1、圖2結(jié)合而作類比、發(fā)散，在此基礎(chǔ)上得到一些命題：

1.若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點A（a，0）對稱，則函數(shù)y=f（x）為數(shù)，且周期T=4|a|。這是把軸對稱類比為中心對稱。

2.若函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且周期T=2|a|。

3.若函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點A（a，0）對稱，則函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且周期T=2|a|。

綜上所述，對于“研究性的學(xué)習(xí)”，在我們中學(xué)生中是可以做的。而研究一個問題，往往需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問題，在反思的基礎(chǔ)上，不斷去熟悉函數(shù)的性質(zhì)、捕捉信息，發(fā)現(xiàn)問題，而反思屬于發(fā)現(xiàn)的源泉，通過反思、試驗、猜想、論證，從而發(fā)現(xiàn)問題再去解決問題。而在整個研究性學(xué)習(xí)過程中，我們還可以應(yīng)用逼近、聯(lián)想即類比的思維，這是發(fā)現(xiàn)、解決問題的兩種思維模式。所以，在學(xué)習(xí)過程中，為了獲得了一個知識，需要在平時的點點滴滴的積累，那么，學(xué)問無處不在。

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（責(zé)編 張景賢）