基于二次逼近方法和EGARCH模型的美式股票期權(quán)定價(jià)研究

◇楊建輝 余嘉敏 陳瑩穎

一、引言

目前我國(guó)期權(quán)市場(chǎng)上大部分是歐式和百慕大式權(quán)證 （期權(quán)），在2005年12月推出了滬深兩市一支為期一年的美式權(quán)證（期權(quán)）后，由于投資者盲目提前執(zhí)行，之后沒(méi)有再推出美式權(quán)證（期權(quán)）。如何準(zhǔn)確地對(duì)美式期權(quán)定價(jià)，不僅是金融學(xué)的重要理論命題之一，同時(shí)也是重要的實(shí)踐問(wèn)題，計(jì)算速度快且精度高的定價(jià)方法對(duì)美式權(quán)證 （期權(quán)）市場(chǎng)的發(fā)展具有重大意義。

美式期權(quán)定價(jià)方法可以分為數(shù)值方法、解析近似方法和回歸方法三大類(lèi)。數(shù)值方法包括Brennan and Schwartz的有限差分法[1]和Cox,Ross and Rubinstein的二叉樹(shù)[2]，其特點(diǎn)是計(jì)算結(jié)果精確但計(jì)算復(fù)雜且耗時(shí)。解析近似方法包括Geske and Johnson[3]的復(fù)式期權(quán)法和Macmillan[4]及Barone_Adesi and Whaley[5]的二次逼近方法，其特點(diǎn)是相比數(shù)值方法計(jì)算簡(jiǎn)單直觀，得到結(jié)果速度快且精度也比較高。Johnson[6]和Broadie and Detemple[7]對(duì)回歸方法進(jìn)行了研究，其特點(diǎn)是計(jì)算速度快但必須依賴(lài)于大量的數(shù)據(jù)。其中，復(fù)式期權(quán)法雖然相對(duì)數(shù)值方法的計(jì)算速度提高了二十多倍，但其需要二元、三元甚至多元正態(tài)累積密度函數(shù)，依賴(lài)快速計(jì)算的高級(jí)程序。Barone_Adesi and Whaley的二次逼近方法，由Merton的偏微分方程推導(dǎo)而來(lái)，一般僅需進(jìn)行三次左右的迭代，簡(jiǎn)單的計(jì)算在Excel里面就能快速完成，且計(jì)算結(jié)果精確。盡管其也有不足的地方，對(duì)于離到期日超過(guò)一年的期權(quán)，其定價(jià)的精度不如有限差分和二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)方法高，但對(duì)于短期投資者（一年內(nèi)）的投資是一種實(shí)用的方法。

應(yīng)用二次逼近方法對(duì)股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià)需要先估計(jì)股票收益波動(dòng)率，在標(biāo)的股票歷史交易數(shù)據(jù)可獲得的情況下可采用歷史波動(dòng)率法，但歷史波動(dòng)率法對(duì)收益波動(dòng)率變化的反映存在時(shí)滯。1982年Engle提出了自回歸條件異方差（ARCH）模型，1986年Bollerslev在ARCH模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型[8]，與歷史波動(dòng)率法相比較，GARCH模型能夠更準(zhǔn)確地描述和預(yù)測(cè)股票收益波動(dòng)率的變化。1992年Nelson提出了EGARCH模型[9]，解決了收益率序列的有偏性問(wèn)題。已有學(xué)者將GARCH模型應(yīng)用到美式期權(quán)定價(jià)中，Duan等[10]在B-S模型的基礎(chǔ)上，與GARCH模型和馬爾可夫鏈相結(jié)合研究了美式期權(quán)的定價(jià)；Stentoft在B-S模型的基礎(chǔ)上，與GARCH模型和Monte Carlo模擬相結(jié)合，研究了美式股票期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。

本文將Barone_Adesi and Whaley的二次逼近方法與Nelson（1992）提出的EGARCH模型相結(jié)合，用EGARCH模型估計(jì)股票波動(dòng)率，用二次逼近法計(jì)算期權(quán)價(jià)格，進(jìn)而解決美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，具有重要的理論意義和實(shí)踐意義。我們對(duì)美國(guó)寶潔公司的一系列美式股票期權(quán)進(jìn)行了理論定價(jià)，與實(shí)際收盤(pán)價(jià)比較，進(jìn)行初步的應(yīng)用試探，結(jié)果表明該模型的計(jì)算價(jià)格與實(shí)際收盤(pán)價(jià)格十分接近。

二、基于EGARCH的二次逼近模型的理論基礎(chǔ)

1.二次逼近方法

1973年Merton提出標(biāo)的物帶有持有成本的歐式或美式實(shí)物期權(quán)定價(jià)的偏微分方程：

其中，σ為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差，S為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，V為期權(quán)價(jià)值，VS為期權(quán)價(jià)值V對(duì)S的一階偏導(dǎo)數(shù)，VSS為期權(quán)價(jià)值V對(duì)S的二階偏導(dǎo)數(shù)，Vt為期權(quán)價(jià)值V對(duì)時(shí)間t的一階偏導(dǎo)數(shù)，b為標(biāo)的資產(chǎn)的持有成本，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

如果偏微分方程適合于美式期權(quán)或歐式期權(quán)定價(jià)，則其同樣也適用于美式期權(quán)提前執(zhí)行溢價(jià)部分[7]和 ：

對(duì)這個(gè)偏微分方程進(jìn)行化簡(jiǎn)、近似，可以得到一個(gè)二階常微分方程。通過(guò)再次求解化簡(jiǎn)，可以得到僅有一個(gè)未知數(shù)的方程，應(yīng)用三步左右的迭代法就可以解出此未知數(shù)。最后可得美

式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)提前執(zhí)行的定價(jià)公式：q

1

和q2為二階常微分方程的解；S*，S**為提前執(zhí)行看漲和看跌期權(quán)的標(biāo)的物的臨界價(jià)格。

二次逼近方法對(duì)股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià)需要估計(jì)的股票收益波動(dòng)率，通過(guò)構(gòu)建EGARCH模型來(lái)求得。EGARCH（p，q）模型[9]，其條件方程方差可表示如下：

其中，ht為條件異方差，a0為常數(shù)項(xiàng)，ai，φi為條件異方差模型系數(shù)，{εt}為隨機(jī)誤差項(xiàng)，是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量系列，均值為0，方差為1。

EGARCH（p，q）模型克服了GARCH模型在處理金融時(shí)間序列時(shí)的一些弱點(diǎn)，在模型中體現(xiàn)了正的和負(fù)的資產(chǎn)收益率的非對(duì)稱(chēng)效應(yīng)。

三、實(shí)證分析

從前面的推導(dǎo)過(guò)程可知，運(yùn)用基于EGARCH的二次逼近方法對(duì)提前執(zhí)行的美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，需要確定如下參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S，執(zhí)行價(jià)格X，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r,標(biāo)的資產(chǎn)持有成本b，標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差σ和以年計(jì)算的到期時(shí)間T。由于國(guó)內(nèi)只推出過(guò)一支美式權(quán)證（期權(quán)），且時(shí)間較早，數(shù)據(jù)殘缺不全，所以本文選取美國(guó)寶潔公司的一系列期權(quán)做研究。

由于本文目標(biāo)是針對(duì)短期投資者，且是有提前執(zhí)行的美式期權(quán)的定價(jià)，所以樣本取到期時(shí)間為一年內(nèi)的四組看漲看跌期權(quán)：2008年7月，2008年8月，2008年10月和2009年1月；各組包含執(zhí)行價(jià)格為$60、$62.5、$65和$67.5這四種看漲看跌期權(quán)（到期日為2009年1月的股票期權(quán)沒(méi)有執(zhí)行價(jià)格為$67.5）。其標(biāo)的股票一支績(jī)優(yōu)股，每季分紅一次，且比較穩(wěn)定，如2007年7月到2008年7月共分紅四次：三次為$0.40，一次為$0.50，期間標(biāo)的股票收盤(pán)價(jià)的均值為$113.48，則可得年紅利收益為d=(3*0.40+0.50)/113.48=0.0211。取2008年一年期國(guó)庫(kù)券的息票率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.0465，標(biāo)的股票的持有成本b=r-d=0.0251。目標(biāo)日為2008年7月10日。其標(biāo)的股票的最低價(jià)格SL=$63.36，最高價(jià)格SH=$64.32，可以相應(yīng)計(jì)算出期權(quán)的最高理論價(jià)格和最低理論價(jià)格，從而得到期權(quán)理論價(jià)格在當(dāng)天的波動(dòng)范圍。

標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差通過(guò)對(duì)標(biāo)的股票的日收率歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建EGARCH模型來(lái)求得。以2007年1月3日至2008年7月10日的股票日收盤(pán)價(jià)為樣本數(shù)據(jù)，取對(duì)數(shù)收益率，時(shí)間序列尖峰、厚尾、右偏及存在高階ARCH效應(yīng)。根據(jù)AIC及SC信息準(zhǔn)則及殘差的1階ARCH-ML檢驗(yàn)，EGARCH(1,1)-T分布對(duì)收益率序列數(shù)據(jù)擬合最好：

在2008年7月10日，其條件方差為h=1.38E-04，則標(biāo)的股票的瞬時(shí)波動(dòng)率為將這些參數(shù)代入前述的二次逼近定價(jià)程序，可得期權(quán)的最高理論價(jià)格、最低理論價(jià)格及平均理論價(jià)格，詳見(jiàn)如下附表。

附表 寶潔公司期權(quán)的理論價(jià)格和實(shí)際收盤(pán)價(jià)格

從附表中可以看出，當(dāng)天寶潔公司股票期權(quán)的實(shí)際收盤(pán)價(jià)格均落在基于EGARCH的二次逼近方法計(jì)算出來(lái)的最低理論價(jià)格和最高理論價(jià)格之間，且與平均理論價(jià)格很接近。

四、結(jié)論

本文提出將EGARCH模型與二次逼近方法相結(jié)合，對(duì)美式股票期權(quán)的定價(jià)方法進(jìn)行研究，將理論定價(jià)與實(shí)際收盤(pán)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，實(shí)證表明二者十分接近。本文不僅有重要的理論意義，還極具實(shí)踐意義：

第一，本文提出將EGARCH模型和二次逼近方法相結(jié)合，研究美式期權(quán)定價(jià)，具有十分重要的理論意義。

第二，EGARCH模型能很好地處理時(shí)間序列的尖峰、厚尾及有偏性，用Eviews軟件可以直接建模，無(wú)需編制程序，用于計(jì)算股票收益波動(dòng)率準(zhǔn)確而方便。

第三，二次逼近方法對(duì)會(huì)提前執(zhí)行的到期日在一年以?xún)?nèi)的美式股票期權(quán)價(jià)值進(jìn)行定價(jià)，程序簡(jiǎn)單且運(yùn)行快速，在Excel中就能完成，對(duì)于投資者而言十分有用。

第四，運(yùn)用基于EGARCH的二次逼近方法對(duì)美式股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，精度高，其得出的平均理論價(jià)格與實(shí)際收盤(pán)價(jià)格十分接近。

[1]M.J.Brennan,E.S.Schwartz.The Valuation of American Put Options[J].Journal of Finance,1977（05）.

[2]J.C.Cox,S.A.Ross and M.Rubinstein.Option Pricing:A Simplified Approach[J].Journal of Financial Economics,1979（09）.[3]R.Geske,H.E.Johnson.The American Put Valued Analytically[J].Journal of Finance,1984（12）.

[4]L.W.MacMillan.Analytic Approximation for the American Put Option [M].Advances in Futures and Options Research，1986.

[5]G.Barone_Adesi,R.E.Whaley.Efficient Analytic Approximation of American Option Values[M]. Journal of Finance,1987.

[6]H.E.Johnson.An Analytic Approximation for the American Put Price [M]. Journal of Financial and Quantitative Analysis,1983.

[7]Broadie M.and J.Detemple.American Option Valuation:New Bounds,Approximations,and a Comparison of Existing Methods[J].Review of Financial Studies,1996(09).

[8]Bollerslev T.Generalized autoregression heteroscedasticity[M].Journal of Econometric,1986.

[9]Nelson DB,Cao C Q.Inequality constraints in the univariate GARCH model[J].Journal of Business and Economic Statistics,1992(10).

[10]Duan J.C., Simonato J.G. American option pricing under GARCH by a Markov chain approximation[M].Journal of Economic Dynamics&Control,2001.