時(shí)間模上多-點(diǎn)邊值問題兩個(gè)正解的存在性

喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

時(shí)間模上多-點(diǎn)邊值問題兩個(gè)正解的存在性

喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理Avery和Henderson,討論時(shí)間模T上的二階非線性動(dòng)力學(xué)方程多-點(diǎn)邊值問題至少有兩個(gè)正解的存在性。

正解；時(shí)間模；邊值問題；不動(dòng)點(diǎn)定理；錐

在2004年，何志民[1]研究了m-點(diǎn)邊值問題

至少有兩個(gè)正解，其中T是一個(gè)時(shí)間模,ξi∈(0,T)T，

在2014年，我們的前期工作[2]運(yùn)用Krasnoelskii錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，討論時(shí)間模上的二階非線性動(dòng)力學(xué)方程多-點(diǎn)邊值問題。

至少有一個(gè)正解的存在性。

運(yùn)用錐上的Avery-Henderson不動(dòng)點(diǎn)定理，討論時(shí)間模上的二階非線性動(dòng)力學(xué)方程多-點(diǎn)邊值問題（2）至少有兩個(gè)正解的存在性。其中T是一個(gè)時(shí)間模,a＜ξ＜η＜b。另外，我們還假設(shè)以下的條件成立：

（A1）α,β,γ,δ≥ 0,μ1,μ2＞ 0 ；

（A2）f：[0,∞]→[0,∞)是連續(xù)的且f(u)＞0;

(A3）q∈Crd([a,b],[0,∞))且存在t0∈[a,b]，使得q(t0)＞0。

記

引理1設(shè)條件Λ≠0,?≠0,則u(t)是方程（2）的唯一解,當(dāng)且僅當(dāng)

引理2 設(shè)條件Λ≠0,?≠0,則

因此，引理2成立。

下面假設(shè)

引理3 設(shè)條件（A1）、（A2）成立,則方程（2）的解u(t)滿足u(t)≥0,t∈[a,b]?T。

令E=Crd[a,b]是一個(gè)巴拿赫空間，其上泛數(shù)定義 為，定義一個(gè)錐P?E,且

引理4設(shè)u∈P，則

證明 由引理1和引理2，有

由引理2和（7）

證畢。

邊值問題(2)有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是下列算子方程的解。

定理1[3]設(shè)P是實(shí)巴拿赫空間E的一個(gè)錐,集合

如果ν,Φ是定義在P上的增加的,非負(fù)的連續(xù)函數(shù),讓?duì)仁且粋€(gè)定義在P上非負(fù)的連續(xù)函數(shù)且有θ(0)=0滿足對(duì)一些正的常數(shù)r,M及所有的Φ(u)≤θ(u)≤ν(u),‖u‖≤MΦ(u)。又假設(shè)存在常數(shù)0＜p＜q＜r滿足下列條件,θ(λu)≤λθ(u),0≤λ≤1,u∈?P(θ,q) 。假設(shè)是P上的一個(gè)全連續(xù)算子滿足下列條件：

（1）Φ(Au)＞r對(duì)所有的u∈?P(Φ,r)；

（2）θ(Au)＜q對(duì)所有的u∈?P(θ,q)；

（3）P(ν,p) ≠φ,和ν(Au)＞p對(duì)所有的u∈?P(ν,p),則A至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1,u2,滿足p＜ν(u1),θ(u1)＜q和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

定義非負(fù)連續(xù)增函數(shù)Φ,θ,ν滿足

對(duì)每一個(gè)u∈P,有Φ(u)=θ(u)≤ν(u)。另外,對(duì)每一個(gè)u∈P,由引理3知Φ(u)=u(η)≥Λ1‖u‖。

定理2設(shè)條件(A1)～(A4)成立,又設(shè)存在常數(shù)0＜p＜q＜∞ 滿足：

則邊值問題(2)至少有兩個(gè)正解u1,u2,滿足ν(u1) ＞p,θ(u1) ＜q,和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

證明驗(yàn)證定理1的所有條件都滿足。

定義一個(gè)全連續(xù)積分算子A：P→P滿足：

對(duì)于u∈P,t∈[a,b]?T.，易知 (Au)(t)滿足方程(3)。

從而定理1的條件（1）滿足。

設(shè)u∈?P(θ,q),則

又因?yàn)閡∈P，有，t∈[a,b]?T。

由假設(shè)條件(c2)知，得到

從而定理1的條件（2）滿足。

由假設(shè)條件(c3)得到

從而定理1的條件（3）滿足。

由于定理1的所有條件都被滿足,則邊值問題(3)至少有兩個(gè)正解u1,u2,滿足ν(u1) ＞p,θ(u1)＜q,和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

[1]Zhimin He.Existence of two Solutions of m-point Boundary Value Problems for Second order Dynamic Equations on Ttime Scales[J].J Math Anal Appl,2004,296(1)：97-109.

[2]張英，時(shí)間模上四-點(diǎn)邊值問題的正解的存在性[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，30(3)：1-4.

[3]R I Avery,J Henderson.Two positive Fixed Points of Nonlinear Operators on Ordered Banach spaces[J].Comm Appl Nonlinear Anal,2001,8：27-36.

Existence of Two Positive Solutions to a Four-point Boundary Value Problems on Time Scales

QIAO Shi-dong
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,by using fixed point theorems in cones of Avery and Henderson,we study the existence of at least two positive solutions of a nonlinear second-order four-point boundary value problem for dynamic equations on time scales.

positive solution;boundary value problem;fixed point theorem;time scales;cone

O175.14

A

1674-0874(2015)04-0001-04

2015-01-20

喬世東(1963-)，男，山西左云人，碩士，教授，研究方向：代數(shù)與方程。

〔責(zé)任編輯 高海〕