跳穩(wěn)健積分波動(dòng)率估計(jì)量的研究

魏正元，趙瑜，張鑫

（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

跳穩(wěn)健積分波動(dòng)率估計(jì)量的研究

魏正元，趙瑜，張鑫

（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

度量和預(yù)測資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)在金融計(jì)量學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域起著關(guān)鍵的作用，為了更深刻地理解金融市場，基于高頻金融數(shù)據(jù)的波動(dòng)率研究更具有價(jià)值和意義?；谝褜?shí)現(xiàn)方法與最鄰近截尾的思想，構(gòu)建了積分波動(dòng)率的一種新的估計(jì)量——三項(xiàng)最小值已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)（TMinRV）。在模型假設(shè)下，證明了該估計(jì)量的相合性及跳存在情況下所遵循的漸近極限理論。實(shí)證研究選取上證綜指和深證成指5分鐘高頻金融數(shù)據(jù)對TMinRV進(jìn)行研究，并且將其與MinRV和MedRV進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)TMinRV能夠更好地消除價(jià)格跳躍帶來的波動(dòng)，TMinRV的有效性及穩(wěn)健性優(yōu)于MinRV和MedRV，它能夠更加準(zhǔn)確地估計(jì)金融資產(chǎn)收益的波動(dòng)。

高頻金融數(shù)據(jù)；TMinRV；積分波動(dòng)率；穩(wěn)健性

波動(dòng)率是進(jìn)行資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理、投資組合選擇等的基礎(chǔ)，波動(dòng)率研究一直是金融計(jì)量學(xué)多個(gè)領(lǐng)域研究的起點(diǎn)、基礎(chǔ)和核心工作。對于低頻金融時(shí)間序列，多采用ARCH類模型和SV類模型對波動(dòng)率進(jìn)行研究，而高頻金融時(shí)間序列由于包含了更多的市場信息，基于高頻金融數(shù)據(jù)的波動(dòng)率研究更具有價(jià)值。Andersen和Bollerslev等在此方面做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，他們提出了一種全新的波動(dòng)率度量方法——“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)（realized volatility，RV），其具有無模型、計(jì)算簡便，并且在一定條件下是積分波動(dòng)的無偏估計(jì)量［1］等優(yōu)點(diǎn)。受“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)思想的啟發(fā)，學(xué)者們對“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率估計(jì)量不斷進(jìn)行改進(jìn)和擴(kuò)展，提出了其他“已實(shí)現(xiàn)”類波動(dòng)率估計(jì)量，如“已實(shí)現(xiàn)”極差波動(dòng)（realized range-based volatility，RRV）［2］，“已實(shí)現(xiàn)”雙/三/多冪變差（realized bipower/tripower/mutipower variation，RBV/RTPV/RMPV）［3-5］等，其中RBV、RTPV、RMPV克服了RV不穩(wěn)健性的缺點(diǎn)。國內(nèi)方面，張世英［6-8］等考慮到日歷效應(yīng)的影響，提出了賦權(quán)的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)/雙冪變差/極差（WRV/WRBV/WRRV）。Andersen et al.（2012）［9］分別在RBV、RTPV的基礎(chǔ)上提出了較之具有更好有效性和穩(wěn)健性的最小值已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（MinRV）和中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（MedRV）。

本文提出了三項(xiàng)最小值已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（TMinRV），通過近似地尺度化3個(gè)連續(xù)日內(nèi)絕對收益率的最小值的平方而達(dá)到了跳穩(wěn)健性，同時(shí)證明了該估計(jì)量是積分方差的相合估計(jì)量，并且得到了相應(yīng)的漸近分布理論。通過對上證綜指和深證成指的實(shí)證研究表明，TMinRV比MinRV和MedRV更加穩(wěn)健。

1　TM inRV估計(jì)量

假設(shè)X=｛X｝0≤t≤1是一個(gè)定義在帶濾子的概率空間（Ω，F(xiàn)，（Ft）t≥0，P）上的一維的連續(xù)時(shí)間對數(shù)價(jià)格過程，滿足下述隨機(jī)微分方程

其中μ是一個(gè)局部有界的可料過程，σ是一個(gè)適應(yīng)的càdlàg（右連續(xù)，左極限存在）有界大于0的隨機(jī)過程，W是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是有限純跳過程，κj表示跳躍的大小，L是計(jì)數(shù)過程。Xt在一個(gè)單位交易日［0，1］上的N+1個(gè)等距離散點(diǎn)0≤t0＜t1＜…＜tN≤1上觀測，相應(yīng)的收益率和時(shí)間區(qū)間分別表示為ΔXi=Xti-Xti-1和Δti=ti-ti-1，i=1，2，…，N。

金融資產(chǎn)收益率的波動(dòng)一般是通過X的二次變差的連續(xù)部分來實(shí)現(xiàn)的，即積分波動(dòng)率

在一般情況下，通常取時(shí)間區(qū)間為［0，1］，即給定的某一天。

1.1TM inRV的定義

受Andersen et al.（2012）［9］思想的啟發(fā)，本文通過3個(gè)連續(xù)日內(nèi)絕對收益率最小值的平方來定義積分波動(dòng)率的一種新的相合的跳穩(wěn)健估計(jì)量，首先給出如下定義。

定義三項(xiàng)最小值已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)（third minimum realized volatility）定義為

TMinRV估計(jì)量的相合性和跳穩(wěn)健的直觀性很明顯，如果ΔXi-1，ΔXi，ΔXi+1～i.i.d.N（0，1），則

1.2 TM inRV的相合性和漸近分布理論

假設(shè)X在區(qū)間［0，1］上N+1個(gè)等時(shí)間間隔點(diǎn)觀測，第i個(gè)觀測值表示為Xi/N，i=0，1，…，N。相應(yīng)的對數(shù)收益率表示為ΔNiX=Xi/N-Xi-1/N，i=1，2，…，N。我們引入長度為M（M≥1）的非重疊收益率區(qū)塊，

則樣本有K=N/M個(gè)這樣的區(qū)塊。

定義變量

令函數(shù)f∶R3R+且

則對于任何兩個(gè)三維向量x?=（x1，x2，x3），y?=（y1，y2，y3），及常數(shù)C，有

由以上說明可將IV的TMinRV估計(jì)量寫作

為了給出并證明TMinRV的相合性及漸近分布理論，繼續(xù)作如下說明，令

由Burkholder-Davis-Grundy不等式有

其中p＞0，C是一個(gè)正的常數(shù)，在本文不同處代表不同的值。

現(xiàn)將IV的基本估計(jì)量分解為條件期望和不同鞅序列的和

其中：

假設(shè)1令Xt是對數(shù)價(jià)格過程并假設(shè)其服從一個(gè)Brownian半鞅

其中μ，σ同上文所述，且進(jìn)一步假設(shè)函數(shù)μ，σ是一致有界的，inft＞0σt＞0。

假設(shè)2假設(shè)波動(dòng)過程服從廣義It?過程，即

證明首先證明引理1的第一部分，令

從而

由于

所以

事實(shí)上式（9）右邊第一項(xiàng)是依概率收斂于0的，由式（7）可知

結(jié)合Cauchy-Schwartz不等式和Jensen不等式，當(dāng)N→∞時(shí)，

由上述收斂可知，當(dāng)N→∞時(shí)，

為了證明此引理的第二部分，需要更強(qiáng)的條件假設(shè)2成立，事實(shí)上

引理2若假設(shè)1成立，并且當(dāng)N→∞時(shí)，H2N→—P0。

證明

又因?yàn)?/p>

所以

根據(jù)三角不等式及（7）式知，當(dāng)N→∞時(shí)有

其中g(shù)（x）=x2，上式最后一步成立是文獻(xiàn)［11］中的特殊情形。是顯然的，由得到，進(jìn)而得到，即當(dāng)N→∞時(shí)

引理4若假設(shè)1成立，則當(dāng)N→∞時(shí)，有R2N-H2N→—P0；若假設(shè)1和假設(shè)2同時(shí)成立，則當(dāng)N→∞時(shí)，有。

證明要證引理的第一部分，只需證明其第二部分。令

其中g(shù)（x）=x2，上式最后一步成立是文獻(xiàn)［11］中的特殊情形。

即當(dāng)N→∞時(shí)，

引理5若假設(shè)2成立，則當(dāng)N→∞時(shí)，

其中γ=Var［f（V0，V1）］+2Cov［f（V0，V1），f（V1，V2）］，V0，V1，V2～i.i.d.N（0，1）。

證明將N個(gè)收益率觀測等間隔地化分為K個(gè)區(qū)塊，第K個(gè)向量記為，相應(yīng)的漸近布朗運(yùn)動(dòng)觀測向量為通過函數(shù)hM（·）∶RMR定義波動(dòng)率的區(qū)塊估計(jì)量

可通過Jacod and Shiryaev［12］中定理IX.7.28證明此引理。接下來只需說明定理IX.7.28的條件（7.27）—（7.31）成立：

最后，令｛Nt｝t∈［0，1］是W的有界半鞅，對于每個(gè)區(qū)塊k，有

其中：γ=Var［f（V0，V1）］+2Cov［f（V0，V1），f（V1，V2）］，V0，V1，V2～i.i.d.N（0，1）。

下面我們分別通過兩個(gè)命題給出TMinRV的相合性及漸近分布理論。

命題1假設(shè)對數(shù)價(jià)格過程Xt滿足式（1），進(jìn)一步假設(shè)其中μt是適應(yīng)的、局部有界的，σt是適應(yīng)的、左極右連的且inft＞0σt＞0，a.s.則當(dāng)N→∞時(shí)，。

證明對RN作如下分解：RN=R1N+R2N=H1N+H2N+（R1N-H1N）+（R2N-H2N）。

命題2假設(shè)對數(shù)價(jià)格過程Xt滿足式（1），進(jìn)一步假設(shè)其中μt是適應(yīng)的、局部有界的，σt是有界的，σt≠0且服從假設(shè)2所給出的It?過程，則當(dāng)N→∞時(shí)，

其中γ=Var［f（V0，V1）］+2Cov［f（V0，V1），f（V1，V2）］，V0，V1，V2～i.i.d.N（0，1）。

證明為了方便證明，首先作如下分解

由上述引理1，引理3～6知，當(dāng)N→∞時(shí)，

并且，而其中γ代表常數(shù)。從而可知當(dāng)N→∞時(shí)，

2　實(shí)證研究

本文選取2013.1.4—2013.12.31上證綜指和深證成指5分鐘間隔時(shí)間段的高頻金融數(shù)據(jù)作為實(shí)證研究的樣本，這期間共有238個(gè)交易日，共有238×51=12 138個(gè)數(shù)據(jù)。（數(shù)據(jù)從銳思數(shù)據(jù)庫下載http：// www.resset.cn）

在上證綜指5分鐘時(shí)間間隔的對數(shù)價(jià)格序列中，找出相鄰2個(gè)對數(shù)價(jià)格差絕對值最大的時(shí)間點(diǎn)為第5 585和5 586個(gè)時(shí)間點(diǎn)，可將其看作對數(shù)價(jià)格序列中的跳躍點(diǎn)，它對應(yīng)第110天的第26個(gè)日內(nèi)對數(shù)價(jià)格收益率。圖1給出了［5 000，7 000］區(qū)間上的對數(shù)價(jià)格路徑圖，由圖可見，在第5 585個(gè)時(shí)間點(diǎn)處發(fā)生了跳躍。圖2給出了［105，120］區(qū)間上的TMinRV、MinRV和MedRV，其中折線代表TMinRV，星點(diǎn)代表Min-RV，圈點(diǎn)代表MedRV。由圖可清晰地看出第110天的TMinRV明顯小于MinRV和MedRV，說明TMinRV能更好地消除跳躍帶來的波動(dòng)。

對深證成指作類似于上證綜指的分析，在第1 837和1 838個(gè)時(shí)間點(diǎn)相鄰2個(gè)對數(shù)價(jià)格差絕對值最大，同樣可看作對數(shù)價(jià)格序列中的跳躍點(diǎn)，對應(yīng)第37天的第1個(gè)日內(nèi)對數(shù)價(jià)格收益率。圖3給出了［1500，3 000］區(qū)間上的對數(shù)價(jià)格路徑圖，由圖可見，在第1 837個(gè)時(shí)間點(diǎn)處發(fā)生了跳躍。圖4給出了［33，63］區(qū)間上的TMinRV、MinRV和MedRV，其中折線代表TMinRV，星點(diǎn)代表MinRV，圈點(diǎn)代表MedRV。由圖可清晰地看出第37天的TMinRV明顯小于MinRV和MedRV。

圖1　上證綜指5分鐘數(shù)據(jù)部分對數(shù)價(jià)格路徑圖

圖2　上證綜指TMinRV與MinRV、MedRV部分圖

圖3　深證成指5分鐘數(shù)據(jù)部分對數(shù)價(jià)格路徑圖

圖4　深證成指TMinRV與MinRV、MedRV部分圖

根據(jù)本文所定義的三項(xiàng)最小值已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（TMinRV）及Andersen et al［9］的最小值已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（MinRV）和中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（MedRV）可以分別算出上證綜指和深證成指對數(shù)收益率的上述3種估計(jì)量的描述性統(tǒng)計(jì)特征，如表1。

表1　TMinRV與MinRV及MedRV的描述性統(tǒng)計(jì)特征

由表1可知：首先，兩種指數(shù)的TMinRV的均值和方差都比MinRV和MedRV小，說明TMinRV估計(jì)量較穩(wěn)定，穩(wěn)健性更好；其次，各樣本的TMinRV的峰度均小于MinRV和MedRV的峰度，說明TMinRV的估計(jì)值的分布更加集中。

圖5～8分別展現(xiàn)了上證綜指和深證成指在2013年的238個(gè)交易日的TMinRV與MinRV，TMinRV與MedRV的對比圖。由圖可以直觀地發(fā)現(xiàn)，無論是上證綜指還是深證成指，從總體趨勢而言TMinRV始終比MinRV和MedRV更加穩(wěn)定。

圖5　上證綜指的TMinRV與MinRV

圖6　上證綜指的TMinRV與MedRV

圖7　深證成指的TMinRV與MinRV

圖8　深證成指的TMinRV與MedRV

3　總結(jié)及展望

本文采用非參數(shù)方法構(gòu)建了三項(xiàng)最小值以實(shí)現(xiàn)波動(dòng)（TMinRV），從理論和實(shí)證兩方面對所提出的TMinRV的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行了理論證明和實(shí)證分析。理論方面首先給出了一系列引理，繼而以定理的形式給出并且證明TMinRV是積分波動(dòng)率的相合估計(jì)量，且服從漸近正態(tài)分布；實(shí)證方面通過對上證綜指和深證成指2013.1.4—2013.12.31的5分鐘高頻金融數(shù)據(jù)研究表明所提出的TMinRV具有有效性及穩(wěn)健性，是比MinRV和MedRV更優(yōu)的積分波動(dòng)率估計(jì)量，從而進(jìn)一步證實(shí)了本文的理論結(jié)論。TMinRV不需要類似于GARCH的模型假設(shè)，可直接由觀測的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算簡便操作性強(qiáng)，可以考慮將TMinRV拓展為賦權(quán)三項(xiàng)最小值已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)，亦可將最鄰近截尾的理論方法拓展到一般的積分冪變差的估計(jì)量，這些工作有待進(jìn)一步深入研究。

［1］Andersen TG，Bollerslev T，Diebold F X，et al.Exchange rate returns standardized by realized Volatility are（Nearly）Gaussian［J］.Multinational Finance Journal，2000，4：159-179.

［2］Christensen K，Podolskij M.Realized range-based estimation of integrated variance［J］.Journal of Econometrics，2007，141（2）：323-349.

［3］Guangying Liu，Xinsheng Zhang.Power variation of fractional integral processeswith jumps［J］.Statistics&Probability Letters，2011，81（8）：962-972.

［4］Mykland PA，Shephard N，Sheppard K.Econometric analysis of financial jumps using efficient bipower variation［R］.Working paper，Oxford-Man Institute，University of Oxford，2010.

［5］Mykland PA，Zhang L.Inference for continuous semimartingales observed at high frequency［J］.Econometrica，2009，77（5）：1403-1445.

［6］郭名媛，張世英.賦權(quán)己實(shí)現(xiàn)波動(dòng)及其長記憶性、最優(yōu)頻率選擇［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2006，21（6）：568-573.

［7］李勝歌，張世英.金融波動(dòng)的賦權(quán)“己實(shí)現(xiàn)”雙冪次變差及其應(yīng)用［J］.中國管理科學(xué)，2007，15（5）：9-14.

［8］唐勇，張世英.金融高頻數(shù)據(jù)的加權(quán)己實(shí)現(xiàn)極差波動(dòng)及其實(shí)證分析［J］.系統(tǒng)工程，2006，24（8）：52-57.

［9］Andersen TG，Bollerslev T，Diebold F X，et al.Jump-robust volatility estimation using nearest neighbor truncation［J］.Journal of Econometrics，2012，169（1）：75-93.

［10］Barndorff-Nielsen O E，Graversen SE，Jacod J，etal.A central limit theorem for realised power and bipower variations of continuous semimartingales［M］.Berlin：Springer，2006.

［11］Shephard N，Barndorff-Nielsen O E，Graversen SE，etal.Limit theorems for bipower variation in financial econometrics［J］.E-conometric Theory，2006，22（4）：677-719.

［12］Jacod J，Shiryaev A N.Limit theorems for stochastic processes.In：Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften［M］.Berlin：Springer，2003.

（責(zé)任編輯陳艷）

Study of Jum p-Robust Integrated Volatility Estim ation

WEIZheng-yuan，ZHAO Yu，ZHANG Xin
（School of Mathematics and Statistics，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

Measuring and forecasting the volatility of financial asset returns plays a very important role in many areas of financial econometrics.To understand the financialmarket deeply，it is valuable and meaningful to study volatility based on high frequency financial data.We provided a novel jump-robust estimator of integrated variance based on the realized method and the theory of nearest neighbor truncation which is named third minimum realized volatility（TMinRV）.Under the model assumption，we proved the robustness and an asymptotic limit theory in the presence of jumps.By selecting the fiveminutes high frequency financial data of ShanghaiComposite index and Shenzhen Component index，empirical analysis on the statistical property of TMinRV shows that TMinRV can eliminate the influence of price jumpsmore effectively and estimate asset return volatilitymore steady.

high-frequency financial data；third minimum realized volatility（TMinRV）；integrated volatility；jump robustness

O21

A

1674-8425（2015）06-0134-10

2015-02-11

重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（cstc2012jjA00018）；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJ130810）；重慶市高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（1203053）

魏正元（1975—），男，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)、金融統(tǒng)計(jì)、金融數(shù)學(xué)研究。

魏正元，趙瑜，張鑫.跳穩(wěn)健積分波動(dòng)率估計(jì)量的研究［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（6）：134 -143.

format：WEI Zheng-yuan，ZHAO Yu，ZHANG Xin.Study of Jump-Robust Integrated Volatility Estimation［J］. Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（6）：134-143.