數(shù)控成形磨齒機(jī)在線測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定誤差的辨識(shí)及補(bǔ)償*

吳彬彬，黃筱調(diào)，方成剛，張 虎，郭二廓

（南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210009）

數(shù)控成形磨齒機(jī)在線測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定誤差的辨識(shí)及補(bǔ)償*

吳彬彬，黃筱調(diào)，方成剛，張 虎，郭二廓

（南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210009）

針對(duì)數(shù)控成形磨齒機(jī)在線測(cè)量存在標(biāo)定誤差的問題，對(duì)標(biāo)定誤差對(duì)齒廓誤差測(cè)量的影響進(jìn)行了理論分析。首先基于廣義極坐標(biāo)法建立了齒廓誤差評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型。其次通過數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)齒廓傾斜偏差與徑向標(biāo)定誤差和切向標(biāo)定誤差成線性關(guān)系且滿足疊加原理。依據(jù)所得規(guī)律，提出了標(biāo)定誤差的辨識(shí)及補(bǔ)償方法。最后在數(shù)控成形磨齒機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，經(jīng)補(bǔ)償后的測(cè)量結(jié)果與基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪的精度基本吻合，驗(yàn)證了所提算法的正確性。

成形磨齒機(jī)；在線測(cè)量；誤差補(bǔ)償

0 引言

隨著制造業(yè)的快速發(fā)展，代表著當(dāng)今世界高新技術(shù)成果的數(shù)控成形磨齒機(jī)憑借著其生產(chǎn)效率和加工精度“雙高”的特點(diǎn)，得到了廣泛應(yīng)用。高端數(shù)控成形磨齒機(jī)集成了齒輪加工與測(cè)量功能，使齒輪的制造過程成為一個(gè)先進(jìn)的齒輪閉環(huán)制造系統(tǒng)［1］，可以大大提高齒輪加工質(zhì)量和效率。

關(guān)于在線測(cè)量，石照耀等［2］提出了一種廣義極坐標(biāo)法來測(cè)量漸開線輪廓誤差，高峰等［3-4］基于數(shù)控磨齒機(jī)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和徑向運(yùn)動(dòng)形成理論漸開線，建立了在機(jī)測(cè)量的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)齒輪誤差的在機(jī)測(cè)量。在數(shù)控成形磨齒機(jī)的在線測(cè)量過程中，需要建立兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，分別是工件坐標(biāo)系和機(jī)床坐標(biāo)系。測(cè)頭所測(cè)得的數(shù)據(jù)是基于機(jī)床坐標(biāo)系所獲得，誤差的計(jì)算是基于齒輪坐標(biāo)系所獲得，因此，需要確定測(cè)頭與工件坐標(biāo)系間的相對(duì)位置關(guān)系，即測(cè)頭標(biāo)定［5］。

關(guān)于齒輪機(jī)床的測(cè)頭標(biāo)定，趙銘等［6］提出了一種基于大型數(shù)控插齒機(jī)在線測(cè)量中測(cè)頭標(biāo)定的方法，利用球做標(biāo)定物，通過擬合圓建立方程組的方式求解測(cè)頭坐標(biāo)，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。高峰等［7］提出了基于標(biāo)準(zhǔn)球的系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別的方法，利用坐標(biāo)變換理論和最小二乘法識(shí)別出測(cè)量裝置在機(jī)床中的定位參數(shù)。馬淵博［8］研究了測(cè)量點(diǎn)分布、標(biāo)準(zhǔn)圓柱擺放位置、X軸和C軸對(duì)測(cè)頭標(biāo)定精度的影響。

上述研究表明，通過標(biāo)準(zhǔn)球或標(biāo)準(zhǔn)圓柱可以識(shí)別出測(cè)頭與工件間的相對(duì)位置關(guān)系，但標(biāo)定精度受到諸多因素的影響，諸如數(shù)控軸的定位誤差，采點(diǎn)策略，標(biāo)定時(shí)的進(jìn)給速度等，如何辨識(shí)且補(bǔ)償標(biāo)定誤差關(guān)系到在線測(cè)量齒輪的精度評(píng)定，最終影響到磨齒精度。本文首先基于廣義極坐標(biāo)法建立了齒廓誤差評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型，接著應(yīng)用數(shù)值模擬方法研究了徑向、切向標(biāo)定誤差對(duì)齒廓偏差的影響，依據(jù)所得規(guī)律提出了一種標(biāo)定誤差的辨識(shí)及補(bǔ)償算法，最后，通過成形磨齒機(jī)的在線測(cè)量實(shí)例驗(yàn)證了本文所提補(bǔ)償方法的有效性。

1 齒廓誤差評(píng)價(jià)模型

根據(jù)文獻(xiàn)［2］及圖1所示的測(cè)量模型，可以得到測(cè)頭中心位置與齒輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系如下：

其中：xe——測(cè)球起始位置；

x——測(cè)球位置；

rb——齒輪基圓半徑；

b——測(cè)球球心與基圓圓心的偏距，Y正方向?yàn)檎?，Y負(fù)方向?yàn)樨?fù)；

上述模型為廣義極坐標(biāo)測(cè)量法的數(shù)學(xué)模型，特別的，當(dāng)b=0時(shí)，式（1）可得到標(biāo)準(zhǔn)的極坐標(biāo)測(cè)量法的數(shù)學(xué)模型。

圖1 廣義極坐標(biāo)法測(cè)量模型

在成形磨齒機(jī)上進(jìn)行在線測(cè)量時(shí)，測(cè)頭中心的理想運(yùn)動(dòng)軌跡過轉(zhuǎn)臺(tái)中心。當(dāng)存在標(biāo)定誤差時(shí)，測(cè)頭中心的運(yùn)動(dòng)軌跡不過轉(zhuǎn)臺(tái)中心且測(cè)頭與工件坐標(biāo)系間的相對(duì)位置值不等于理論值。測(cè)量坐標(biāo)系的原點(diǎn)O1不在工作臺(tái)中心O上，即存在坐標(biāo)系建立誤差，設(shè)在兩個(gè)方向上的坐標(biāo)系建立誤差分別為徑向標(biāo)定誤差Δa、切向標(biāo)定誤差Δb，其中當(dāng)Δa、Δb分別與X、Y軸正方向同向時(shí)為正，反之為負(fù)。具體坐標(biāo)系統(tǒng)如圖2所示。設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)理論轉(zhuǎn)角為φ，標(biāo)定誤差Δa、Δb存在時(shí)的轉(zhuǎn)臺(tái)理論轉(zhuǎn)角為φ′，測(cè)量時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的實(shí)際轉(zhuǎn)角為C，根據(jù)式ff=rb·（φ-C）算出的齒廓偏差中包含由標(biāo)定誤差造成的誤差，因此會(huì)造成測(cè)出的齒廓偏差不準(zhǔn)確。當(dāng)齒輪本身不存在或只存在很小的齒廓偏差時(shí)，則有C≈φ′，那么所得的偏差ff完全是由標(biāo)定誤差造成的。因此可得下式：

漸開線的展開長(zhǎng)度PT為

其中：R0—測(cè)球的作用半徑

齒廓誤差評(píng)價(jià)時(shí)，在直角坐標(biāo)系下，分別以漸開線展開長(zhǎng)度PT為縱坐標(biāo)，齒廓偏差ff為橫坐標(biāo)，如圖3得到一條ff-PT曲線。如果齒廓沒有修形，就用一條直線對(duì)評(píng)價(jià)范圍內(nèi)的曲線進(jìn)行最小二乘擬合，分別得到齒廓精度指標(biāo)齒廓總誤差Fα、齒廓形狀偏差ffα、齒廓傾斜偏差fHα的數(shù)值，齒廓總偏差是齒廓傾斜偏差和齒廓形狀偏差的綜合體現(xiàn)，所以本文主要研究標(biāo)定誤差對(duì)齒廓傾斜偏差和齒廓形狀偏差的影響。

圖2 標(biāo)定誤差示意圖

圖3 齒廓精度指標(biāo)示意圖

2 誤差分析的數(shù)值模擬與補(bǔ)償

2.1 數(shù)值模擬

數(shù)值模擬所用的齒輪參數(shù)是下文將用到的基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪的參數(shù)，具體齒輪參數(shù)及齒廓測(cè)量范圍見表1。

表1 齒輪基本參數(shù)及測(cè)量起、止范圍

通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，齒廓形狀偏差與齒廓傾斜偏差相比很小。當(dāng)僅存在徑向偏差時(shí)，左、右齒廓傾斜偏差（fHαl、fHαr）完全相等；僅存在切向偏差時(shí)，左、右齒廓傾斜偏差絕對(duì)值相差不大，可以認(rèn)為是互為相反數(shù)。因此在本文中，只研究左齒面的齒廓傾斜偏差，如圖4、圖5所示。

圖4 徑向標(biāo)定誤差Δa與左齒廓齒廓偏差關(guān)系

圖5 切向標(biāo)定誤差Δb與左齒廓齒廓偏差關(guān)系

觀察圖4、圖5還可發(fā)現(xiàn)，齒廓傾斜偏差值與對(duì)應(yīng)的誤差值基本成線性關(guān)系。所以將所得到的左齒面的齒廓傾斜偏差fHαl分別除以各自對(duì)應(yīng)的誤差值，可以得到圖6所示的曲線。在圖6a中，Δa變大時(shí)，fHαl/Δa的絕對(duì)值在變小，但變化范圍不大，可以近似認(rèn)為成線性關(guān)系；在圖6b中，Δb變大時(shí)，fHαl/Δb的絕對(duì)值也在變小，變化范圍很小，近似認(rèn)為成線性關(guān)系。設(shè)ka、kb為齒廓傾斜偏差的靈敏度系數(shù)，它們分別等于fHαl/Δa和fHαl/Δb的絕對(duì)值。由于Δa為正時(shí)，fHαl為負(fù)；Δb為正時(shí)，fHαl為正，所以可得列式（4）、（5）：

圖6 標(biāo)定誤差對(duì)齒廓傾斜偏差靈敏度的影響

設(shè)Δa、Δb對(duì)齒廓傾斜偏差共同作用結(jié)果與線性疊加結(jié)果差值為e，即e=fHαl（Δa）+fHαl（Δb）-fHαl（Δa+Δb），在圖7中，縱坐標(biāo)為差值e，橫坐標(biāo)為仿真序號(hào)，共進(jìn)行21次，其中Δa∈［-0.2，0.2］、Δb∈［-0.5，0.5］，且均分21份，每次仿真時(shí)Δa、Δb依次取一個(gè)值。從圖7中可以看出在一定范圍內(nèi)e值很小，不大于0.5μm，所以標(biāo)定時(shí)存在的徑向誤差和切向誤差滿足疊加原理，即

圖7 共同作用結(jié)果與線性疊加結(jié)果的差值

2.2 誤差補(bǔ)償

誤差補(bǔ)償［9］是人為地造出一種新誤差去抵消或削弱當(dāng)前成為問題的原始誤差，以達(dá)到減小誤差，提高精度的目的。通過分析、統(tǒng)計(jì)、歸納及掌握原始誤差的特點(diǎn)和規(guī)律，建立誤差數(shù)學(xué)模型，使人為造出的誤差和原始誤差兩者相近、方向相反，從而減小誤差，并提高加工或測(cè)量精度。

將式（4）、（5）代入式（6）可得：

成形磨齒機(jī)在線測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行圓柱標(biāo)定后，假設(shè)標(biāo)定值為a′，b′，真實(shí)值為a，b，則當(dāng)進(jìn)行坐標(biāo)系的統(tǒng)一時(shí)，測(cè)量坐標(biāo)系與轉(zhuǎn)臺(tái)中心不能重合，這將影響到齒輪在線測(cè)量的精度，因此需要進(jìn)行誤差補(bǔ)償。根據(jù)誤差補(bǔ)償?shù)幕驹恚瑢?biāo)定值與誤差值進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算，即可對(duì)標(biāo)定誤差進(jìn)行補(bǔ)償，具體補(bǔ)償算法如式（8）所示：

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪［10］其精度等級(jí)可達(dá) 1—0級(jí)（ISO1328-1997），如圖8所示，其參數(shù)見表1。查詢齒輪評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)ISO1328-1：1997可知，當(dāng)基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪精度為1級(jí)時(shí)，其齒廓總誤差Fα在2.4μm以內(nèi)、齒廓形狀偏差ffα在1.8μm以內(nèi)、齒廓傾斜偏差fHα在1.5μm以內(nèi)，而上文的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Δa=0.01mm時(shí)，fHα= 4.416μm，大于1.5μm；Δb=0.01mm時(shí)，fHα=1.42μm，與1.5μm相當(dāng)?？梢娀鶞?zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪對(duì)標(biāo)定誤差相當(dāng)敏感，因此運(yùn)用基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪可以間接辨識(shí)出在線測(cè)量系統(tǒng)存在的標(biāo)定誤差。

圖8 基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪

圖9 在線測(cè)量基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪

首先應(yīng)用［8］中提出的算法通過標(biāo)準(zhǔn)圓柱對(duì)測(cè)頭進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定完成后，對(duì)基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪進(jìn)行在線測(cè)量，如圖9所示。測(cè)量結(jié)果如表2所示，發(fā)現(xiàn)其左、右齒面的平均齒廓傾斜偏差值（fHαlm、fHαrm）遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1.5μm，可見測(cè)量系統(tǒng)存在標(biāo)定誤差。由于基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪高精度的特點(diǎn)，可以認(rèn)為在線測(cè)量得到的齒廓傾斜偏差由徑向標(biāo)定偏差Δa和切向標(biāo)定偏差Δb引起的。運(yùn)用式（7）算出存在的標(biāo)定誤差Δa=9.11μm、Δb=-4.67μm，最后根據(jù)式（8）在磨齒機(jī)上進(jìn)行標(biāo)定誤差的補(bǔ)償。在進(jìn)行補(bǔ)償后，再次對(duì)基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪均布的四個(gè)齒面進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如表3所示，從測(cè)量結(jié)果發(fā)現(xiàn)，左、右齒面的平均齒廓傾斜偏差值（fHαlm、fHαrm）已經(jīng)接近標(biāo)準(zhǔn)齒輪標(biāo)定的等級(jí)，證明消除了標(biāo)定誤差，驗(yàn)證了此補(bǔ)償算法的有效性。

表2 補(bǔ)償前的在線測(cè)量結(jié)果

表3 補(bǔ)償后的在線測(cè)量結(jié)果

4 結(jié)論

（1）數(shù)值模擬結(jié)果表明，標(biāo)定誤差對(duì)齒廓傾斜偏差的影響較大。徑向標(biāo)定誤差引起的左、右齒廓傾斜偏差大小相等，方向相同；切向標(biāo)定誤差引起的左、右齒廓傾斜偏差大小相等，方向相反；徑向、切向標(biāo)定誤差對(duì)齒廓傾斜誤差影響成線性關(guān)系且滿足疊加原理。

（2）借助基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪辨識(shí)出在線測(cè)量系統(tǒng)存在的標(biāo)定誤差，根據(jù)誤差補(bǔ)償原理提出了標(biāo)定誤差的補(bǔ)償算法。

（3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)補(bǔ)償后，在線測(cè)量結(jié)果與基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)齒輪的標(biāo)定精度相一致，驗(yàn)證了補(bǔ)償算法的有效性。

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（編輯 趙蓉）

The Calibration Error Identification and Compensation of On-machine Measurement System for the CNC Profile Grinding Machine

WU Bin-bin，HUANG Xiao-diao，F(xiàn)ANG Cheng-gang，ZHANG Hu，GUO Er-kuo
（School of Mechanical and Power Engineering，Nanjing Tech University，Nanjing 210009，China）

Based on the problem that calibration error existed in the on-machine measurement for CNC profile grinding machine，the theoretical analysis were conducted on the effects of calibration error on the measurement of tooth profile error.Firstly，the mathematic model of the tooth profile error evaluation was established based on the generalized polar-coordinate method.Then，by numerical study it is discovered that the profile slope deviations are in direct proportion to the radial and tangential calibration error，and their effects satisfy superposition principle.According to these laws，a algorithm of calibration error identification and compensation is proposed.Finally，experimental verifications were conducted on the CNC profile grinding machine.After compensation，the measurement results are basically matched with the accuracy of ultra-precision master gear，which verify the correctness of the proposed compensation algorithm.

profile grinding machine；on-machine measurement；error compensation

TH165；TG659

A

1001-2265（2015）06-0074-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.06.021

2014-09-01；

2014-09-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175242）；科技部科技型中小企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新基（13C26213202060）

吳彬彬（1989—），男，江蘇南通人，南京工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)，（E-mail）jackiewu23@163.com。