一類推廣的薛定諤—泊松系統(tǒng)的可解性*

丁 凌，莊常陵

(湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，湖北襄陽441053)

1 背景和主要結(jié)論

考慮下面具有臨界非線性項的一類推廣的薛定諤-泊松系統(tǒng):

其中q＞0，BR是R3中具以0點為球心，以R＞0為半徑的球.f滿足如下的條件:

系統(tǒng)(1)來源于物理里的經(jīng)典模型，由Schro..dinger方程和Poisson方程耦合的系統(tǒng)(1)描述了帶電粒子在電磁場的相互作用［1］.特別在尋找靜電類的解時就必須解系統(tǒng)(1).根據(jù)量子力學(xué)里的數(shù)學(xué)公式知道，當(dāng)質(zhì)量為m電荷為q的粒子在具有向量勢A(x，t)和數(shù)量勢φ(x，t)的作用下運動，其波函數(shù)ψ(x，t)滿足下面的 Schro..dinge 類方程:

這里i是虛單位，?是 Planck常數(shù)，c是光在真空里的速度，g是 Gauge不變函數(shù).方程(3)的右邊表示向量的數(shù)量積，即

用文獻［1-3］同樣的觀點，考慮帶電粒子在自身的電磁場里的相互作用.假定電磁場不是給定的，這樣不得不解一個未知函數(shù)為粒子的波函數(shù)和與波函數(shù)相關(guān)勢函數(shù)A，φ的系統(tǒng)，電磁場的勢函數(shù)由下面Maxwell的方程給定:

定理1 假定q＞0和(f1)-(f4)成立，則系統(tǒng)(1)有一個正解.

注記1 定理1的一類推廣的薛定諤-泊松正解的存在性結(jié)論.文獻［4］只研究了線性情況，即f(s)=s;文獻［5］只研究了次臨界及q＞0的情況.此處的研究是對文獻［4］中研究的問題和結(jié)果的推廣和補充.

用 ·p表示Lp范數(shù)表示)的范數(shù)，φ1(x)＞0表示λ1的特征函數(shù)，用Ci(i=1，2，…)表示不同的正常數(shù).

2 主要結(jié)果的證明

顯然，(u，φ)是系統(tǒng)(1)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)(u，φ)是J在)上的臨界點.另外泛函J是強無界的(下方無界或者上方無界)，但根據(jù)文獻［1］介紹的思想可以克服這一困難.那就是對于每一個)，用Φ(u)∈)表示問題(5)的唯一解:

引理1 假定f滿足(f1)-(f4)，則

證明 1)根據(jù)(f1)-(f2)，對任意 ε＞0和r∈(1，5)，存在C=C(ε)＞0使得對任意的s∈，有

從式(9)可知，存在一個充分小ρ和a＞0，使得對所有的滿足u∈)，u=ρ的u成立.

2)因為在BR(0)上的特征函數(shù)φ1(x)＞0，對t＞0且t→+∞，再根據(jù)式(6)和(f4)可得

取 e=tφ1，令 T 充分大，當(dāng) t＞T 使得 e ＞ρ且 I(e)＜0.證畢.

從引理1可以看出泛函滿足山路定理的幾何結(jié)構(gòu)［6］，故存在一個(PS)序列{un}滿足

其中 c=infγ∈Γmax0≤γ≤1I(γ(τ))，Γ={γ∈C(［0，1］)):γ(0)=0，γ(1)=e}是連接 0 到 e的連續(xù)路徑.

定理1的證明 首先證明(PS)序列{un}是有界序列.根據(jù)(f3)和(f4)可得βs2≤2F(s)≤f(s)s.于是有

其次證明系統(tǒng)(1)有一個正解.由上面知序列{un}有界，存在著一個弱收斂的子列仍然記為{un}收斂到u.下面證明u?0，用反證法.如果u?0，則于)，故有un→0于Lp(BR)(P∈［2，6)).根據(jù)(f1)-(f3)，∫BRf(un)und x→0 和∫BRF(un)d x→0.因為{un}是(PS)序列，所以有

與式(12)相矛盾.所以u?0.

故 u-=0，于是u=u+≥0.由最大值定理可得u是系統(tǒng)(1)的正解.

［1］BENCI V，F(xiàn)ORTUNATO D.An Eigenvalue Problem for the-Maxwell Equations［J］.Topol Methods Nonlinear Anal，1998(11):283-293

［2］ APRILE T D，MUGNAI D.Existence of Solitary Waves for the Nonlinear Klein-Koedon-Maxwell and-Maxwell Equations［J］.Proc Roy Soc Edinburgh Sect A，2004(134):893-906

［3］APRILE T D，WEI J C.On Bound States Concentrating on Spheres for the MaxwellEquations［J］.SIAM J Math Anal，2005(37):321-342

［4］AZZOLLINI A，D’AVENIA P.On a System Involving a critically Growing Nonlinearity［J］.J Math Anal Appl，2012(387):433-438

［5］AZZOLLINI A，D’AVENIA P，LUISI V.GeneralizedPoisson Type Systems［J］.Communications on Pure and Appllied Analysis，2013(12):807-879

［6］AMBROSETTI A，RABINOWITZ P H.Dual Variational Methods in Critical Point Theory and Applications［J］.J Funct Anal，1973(14):349-381

［7］BREZISH，NIRENBERG L.Positive Solution of Nonlinear Elliptic Problems Involving Critical Sobolevexponent［J］.Comm Pure Appl Math，1983(36):437-477