關(guān)于粗理想和粗直積的一些性質(zhì)定理*

黃衛(wèi)華，周 平，陸亞哲

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南文山663000)

近年來，國內(nèi)外學(xué)者將粗糙集思想引入代數(shù)系統(tǒng)，對粗糙群、粗糙半群、粗理想和粗直積等概念做了大量研究，得出了很好的結(jié)論［1－5］.文獻(xiàn)［3］提出了半群中粗糙子半群和粗糙左(右、雙側(cè)、雙)理想等概念;文獻(xiàn)［5］定義了半群中的粗直積.此處討論了粗理想和粗直積的關(guān)系，得到了一些較好的性質(zhì)定理，進(jìn)而豐富和完善了半群中的粗糙集理論.

1 預(yù)備知識

定義1［2］設(shè)S是一個半群，如果ρ是滿足以下條件的S上的一個等價關(guān)系:對?x∈S，(a，b)∈ρ?(ax，bx)∈ρ，(xa，xb)∈ρ，則稱 ρ是 S 上的同余關(guān)系.記 x 所在的同余類為 [x]ρ={a∈S|(x，a)∈ρ}.

定義2［3］設(shè)A是S的任一子集，則A的ρ下近似和ρ上近似分別表示為

ρ(A)=(ρ－(A)，ρ－(A))稱為 ρ粗糙集.

定義3［4］半群S上的一個同余關(guān)系ρ稱為完備的，如果對?a，b∈S，[a][b ]= [ a b].ρρρ

定義 4［4］設(shè) ρ為半群 S 上的同余關(guān)系，ρ(A)，ρ－(A)，ρ(B)，ρ－(B)為 S 的非空粗子集，A，B?S，則 S－－上的粗直積記為

定義5 半群S的非空子集A稱為S的子半群，如果AA?A.

定義6 半群S的非空子集A稱為S的左(右)理想，如果SA?A(AS?A).

定義7 半群S的非空子集A稱為S的(雙側(cè))理想，如果SA?A且AS?A.

定義8 半群S的非空子集A稱為S的雙理想，如果ASA?A.

定義9 設(shè)ρ是半群S的一個同余關(guān)系，ρ－(A)≠?，S的非空集A稱為一個上(下)粗子半群，如果ρ－(A)(ρ－(A))是 S 的子半群，即 ρ－(A)ρ－(A)?ρ－(A)(ρ－(A)ρ－(A)?ρ－(A)).

定義10 設(shè)ρ是半群S的一個同余關(guān)系，ρ－(A)≠?，S的非空集A稱為一個上(下)粗左(右、雙側(cè)、雙)理想，如果 ρ－(A)(ρ－(A))是 S 的左(右、雙側(cè)、雙)理想，即

引理1 設(shè)A，B，C，D是半群S的非空子集，如果A?B，C?D，則AC?BD.

引理 2［4］設(shè) ρ是半群 S 上的同余關(guān)系，A，B 是 S 的非空子集，則 ρ－(A)ρ－(B)?ρ－(AB)，ρ－(A)ρ－(B)?ρ－(AB).

引理 3［4］設(shè) ρ，λ 是半群 S 上的同余關(guān)系，A，B∈S，則

(1)ρ－(A)?A?ρ－(A)，ρ－(S)=S= ρ－(S);

(2)ρ－(A∪B)= ρ－(A)∪ρ－(B)，ρ－(A∪B)= ρ－(A)∪ρ－(B);

(3)A?B?ρ－(A)?ρ－(B)，ρ－(A)?ρ－(B);

(4)ρ－(A)∪ρ－(B)?ρ－(A∪B)，ρ－(A∩B)?ρ－(A)∩ρ－(B).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A是半群S的一個左(右、雙側(cè))理想，那么A是S的子半群.

證明 因為A?S，A?A，由引理1知，AA?SA;又因為A是S的左理想，得SA?A，那么AA?SA?A，所以A是S的子半群.

其他情況可類似證明，略.

定理2 設(shè)ρ是半群S上的同余關(guān)系，如果A是S的一個子半群，則A是S的一個上粗子半群，即ρ－(A)是S的子半群.

證明 由引理2知，ρ－(A)ρ－(A)?ρ－(AA)，已知 A是 S的一個子半群，則 AA?A，又由引理 3(3)知ρ－(AA)?ρ－(A)，所以 ρ－(A)ρ－(A)?ρ－(A).即 ρ－(A)是 S 的子半群，則 A 是 S 的一個上粗子半群.

推論1 設(shè)ρ是半群S上的同余關(guān)系，如果A是半群S的一個左(右、雙側(cè))理想，則A是S的一個上粗子半群.

證明 由定理1和定理2直接推知.

定理3 設(shè)ρ是半群S上的同余關(guān)系，如果A是S的一個右(左、雙側(cè)、雙)理想，則A是S的一個上粗右(左、雙側(cè)、雙)理想.

證明 設(shè)A是S的一個右理想，即AS?A，由引理3(3)知，ρ－(AS)?ρ－(A)，又由引理3(1)知 ρ－(S)=S，于是有 ρ－(A)S= ρ－(A)ρ－(S)，又由引理 2 知，ρ－(A)ρ－(S)= ρ－(AS)，所以 ρ－(A)S?ρ－(AS)?ρ－(A)，即ρ－(A)是S的右理想，故A是S的一個上粗右理想.

其余情況的證明類似.

以上兩個定理說明上粗子半群(左理想、右理想、雙側(cè)理想)是通常的子半群(左理想、右理想、雙側(cè)理想)等概念的擴張，下面的例子說明定理3的逆不成立.

例1 設(shè)S={a，b，c，d}是一個半群，其上的運算由表1定義，S上的同余關(guān)系ρ所決定的同余類為{a}，j5i0abt0b，{b，c}，設(shè) A=，則 ρ－(A)={b，c}，且 ρ－(A)S={b，c}S=S{b，c}=Sρ－(A)= ρ－(A).故 A 是一個上粗雙側(cè)理想，但是SA={b，c}?A，故A不是S的雙側(cè)理想.

表1 S上的運算

定理4 設(shè)ρ是半群S上的完備同余關(guān)系，ρ－(A)≠?，如果A是S的一個子半群，則A是S的一個下粗子半群，即ρ－(A)是S的子半群.

證明 已知A是S的一個子半群，則AA?A，由引理3(1)知，ρ－(A)?A?S，又因為ρ是半群S上的完備同余關(guān)系，則有 ρ－(A)ρ－(A)?ρ－(AA)?ρ－(A)，即 A 是 S 的一個下粗子半群，則 ρ－(A)是 S 的子半群.

推論2 設(shè)ρ是半群S上的完備同余關(guān)系，ρ－(A)≠?，如果A是半群S的一個左(右、雙側(cè))理想，則A是S的一個下粗子半群.

證明 由定理1和定理4直接推知.

定理5 設(shè)ρ是半群S上的一個完備同余關(guān)系，如果A是S的一個右(左、雙側(cè)、雙)理想，且ρ－(A)≠?，則ρ－(A)是 S的一個右(左、雙側(cè)、雙)理想.

證明 設(shè) A 是 S的一個右理想，即 AS?A，由引理3(3)知，ρ－(AS)?ρ－(A)，又由引理 3(1)知，ρ－(S)=S，于是有 ρ－(A)S=ρ－(A)ρ－(S)，又由引理 2 知，ρ－(A)ρ－(S)= ρ－(AS)，所以 ρ－(A)S?ρ－(AS)?ρ－(A)，即ρ－(A)是S的右理想，故A是S的一個下粗右理想.

其余情況的證明類似.

定理6 設(shè)ρ是半群S上的同余關(guān)系，如果A，B分別是S的右理想和左理想，則

證明 因為 ρ是半群 S 上的同余關(guān)系，由引理 2 知，ρ－(A)ρ－(B)?ρ－(AB).下證 ρ－(AB)?ρ－(A∩B).由引理1知，AB?AS，又因為A是S的一個右理想，則AS?A，所以AB?A，同理AB?B，故AB?A∩B.由引理3(3)知，ρ－(AB)?ρ－(A∩B)，由引理 3(4)得，ρ－(A∩B)?ρ－(A)∩ρ－(B)，故 ρ－(A)ρ－(B)?ρ－(AB)?ρ－(A∩B)?ρ－(A)∩ρ－(B).

定理7 設(shè)ρ是半群S上的一個完備同余關(guān)系，且ρ－(A)≠?，如果A，B分別是S的右理想和左理想，則

證明類似于定理8，略.

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