具有非倍測度的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子在Hardy空間的估計?

程 紀(jì),逯光輝,周 疆

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

設(shè)μ是定義在上的正Radon測度且滿足下面的增長條件:對于所有的都有

其中C0,n是正數(shù)且00,滿足μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r)),則稱μ是倍測度.近年來,對于Marcinkiewicz積分交換子在Lebesgue空間,Morrey空間以及Hardy空間的研究,得到了很多結(jié)果[1?5].受此啟發(fā),本文主要討論參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子在Hardy空間的有界性.

設(shè)K(x,y)是定義在上的局部可積函數(shù)且滿足下列條件:存在常數(shù)C>0,使得對所有的

定義關(guān)于上述K(x,y)的參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子為

本文假定Mρ(f)(x)(以下都簡記為Mρ)在L2(μ)有界.當(dāng)時, 其中?為零次齊次函數(shù)則容易驗證此K(x,y)滿足(2)和(3).又若μ是中的d-維Lebesgue測度.當(dāng)ρ=1時,則(4)式定義的Mρ恰為Stein引入的標(biāo)準(zhǔn)的Marcinkiewicz積分算子[6].

定義1如果函數(shù)滿足下列條件

則稱f∈Lipβ(0<β<1).

定義2設(shè)函數(shù)b∈Lipβ(μ)(0<β<1),定義相應(yīng)的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子

定義3設(shè)以及非負(fù)整數(shù)表示不超過x的最大整數(shù)).函數(shù)a(x)∈Lq(μ)稱為一個(p,q,s)原子,如果滿足下列條件:

(3) 當(dāng)|γ|≤s時,有

定義4原子Hardy空間的定義為

其中aj是(p,q,s)原子且

定義5對0<α<∞,定義與非倍測度μ相關(guān)的分?jǐn)?shù)次積分Iα為

引理1假定0<α0,使得對所有的λ>0和具有緊支集的函數(shù)有

引理2設(shè)分布f屬于當(dāng)且僅當(dāng)存在(p,q,s)原子aj和常數(shù)λj滿足

其中下確界取遍f的所有原子分解.

引理3設(shè)核函數(shù)K(x,y)滿足為(6)式所定義的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子,

注記1引用引理1,很容易驗證引理3的結(jié)論,這里略去證明過程.

全文中,C表示與主要參數(shù)無關(guān)的常數(shù),其值在不同的地方可能不盡相同.對任意μ可測集合E,χE表示其特征函數(shù).對于固定的p滿足表示p的共軛指數(shù),即

1 主要結(jié)果和證明

首先給出本文的主要定理:

定理1設(shè)K(x,y)滿足(2)和(3),為(6)式中定義的參數(shù)型Marcinkiewic積分交換子.假設(shè)Mρ在L2(μ)上有界則對有

證明設(shè)a(x)是一個(p,2,0)原子,即a(x)滿足0.則存在與a無關(guān)的常數(shù)C>0使得不妨設(shè)由于

對于I1,取和q1使得則由Hlder不等式,引理3以及a(x)的尺寸條件知

再來估計I2,

注意到x∈(B?)c和y∈B,有|x?y|～|x?x0|～|x?x0|+2r0,于是對I21,有

對于I22,利用原子的消失性以及|x?x0|+2r0

對于II2,類似于I21的估計,有

下面估計II1,有

對于II11,有

對于II12,有