不敏卡爾曼濾波方法研究

肖賢　張維中

（1.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學院，陜西西安　710014；2.西北工業(yè)大學，陜西西安　710072）

不敏卡爾曼濾波方法研究

肖賢1張維中2

（1.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學院，陜西西安710014；2.西北工業(yè)大學，陜西西安710072）

針對卡爾曼濾波（KF）在對非線性目標系統(tǒng)目標跟蹤問題時易出現(xiàn)跟蹤精度較低，濾波發(fā)散等問題，將不敏卡爾曼濾波器（UKF）運用在非線性系統(tǒng)的目標跟蹤中。通過不敏卡爾曼濾波器在非線性目標跟蹤中的應(yīng)用和仿真結(jié)果比較表明，不敏卡爾曼濾波與傳統(tǒng)卡爾曼濾波器和擴展卡爾曼濾波器（EKF）相比，提高了濾波精度，改善了濾波性能，具有較好的跟蹤效果。

不敏卡爾曼濾波機動目標Matlab擴展卡爾曼濾波非線性系統(tǒng)

卡爾曼濾波器［1］依據(jù)最小均方誤差準則獲得目標的動態(tài)估計，但是在實際系統(tǒng)中，大部分的觀測數(shù)據(jù)與目標的動態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系均是非線性的。對于非線性的濾波問題，很多方法對此傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法進行了擴展研究。其中比較突出的是EKF，UCMKF，PF等方法。通常對于非線性系統(tǒng)的處理的辦法是運用線性化將非線性的問題轉(zhuǎn)換成線性問題，套用KF來進行求解。當系統(tǒng)的動態(tài)模型與觀測模型所得到的線性化誤差較大時，濾波器跟蹤容易發(fā)散，在對非線性系統(tǒng)進行kalman濾波時，必須求非線性函數(shù)的Jacobi矩陣，對于摩西復(fù)雜的系統(tǒng)，求取方法繁瑣且容易出錯。另外，在工程應(yīng)用之中，模型線性化過程較為復(fù)雜，不易得到。如果假設(shè)模型與真是模型不相符合，就會出現(xiàn)濾波發(fā)散。引起濾波發(fā)散的主要原因包括，系統(tǒng)過程噪聲與量測噪聲參數(shù)選取對過程噪聲影響較大、系統(tǒng)初始狀態(tài)和初始協(xié)方差的假設(shè)值偏差過大、不準確線性化或者降維處理、計算誤差。

1　卡爾曼濾波器與擴展卡爾曼濾波器［2］

1.1卡爾曼濾波器

其中，）（kFt，）（kGt為已知矩陣，噪聲向量）（kwt是具有零均值和已知協(xié)方差矩陣且與目標初始狀態(tài)統(tǒng)計獨立的高斯隨機向量。

圖1　目標運動軌跡

設(shè)）（km為k時刻確認矩陣的量測數(shù)，則目標的狀態(tài)方程為：

其中，測量矩陣）（kHt是已知的，每個）（kVt都是與所有其他噪聲向量獨立的零均值高斯噪聲向量，其協(xié)方差矩陣是已知的。

應(yīng)用kalman濾波器步驟如下所示：

（1）狀態(tài)一步預(yù)測：

（2）狀態(tài)估計：

（3）濾波增益：

（4）一步預(yù)測均方誤差：

（5）估計均方誤差：

1.2擴展卡爾曼濾波器［3-5］

在實際應(yīng)用系統(tǒng)中，其量測以及過程通常是非線性的，不能夠直接運用卡爾曼濾波器。但是我們可以通過泰勒級數(shù)展開的方式，獲得非線性系統(tǒng)的線性近似表達式，從而采用卡爾曼濾波算法，用來解決非線性問題。這就是擴展卡爾曼濾波器（Extended KalmanFilter，EKF）。

圖2　誤差軌跡

擴展卡爾曼濾波針對非線性量測方程h（X）在X?（kk-1）處做泰勒展開并取得其一次項，可得：

利用導(dǎo)數(shù)線性化的卡爾曼濾波算法的精度依賴于目標狀態(tài)動態(tài)模型以及以前的狀態(tài)估計。如能夠保證充分小，就能夠達到一定的濾波精度。EKF雖然被廣泛的運用于解決非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，但是其濾波效果在很多復(fù)雜系統(tǒng)之中難以令人滿意，模型線性化誤差最終會影響目標的估計精度，甚至導(dǎo)致發(fā)散。引入了一種新的濾波方法。

2　不敏卡爾曼濾波［6-9］

不敏卡爾曼濾波是運用不敏變化的思想對卡爾曼濾波器進行改進得到的一種新算法。此算法用有線的參數(shù)來近似隨機量的統(tǒng)計特性，用一組精確的sigma點經(jīng)過非線性模型的映射來傳遞隨機信息的特性。假設(shè)非線性系統(tǒng)中的狀態(tài)向量的初始均值與協(xié)方差為

UKF算法中的初始向量是由原始向量，過程噪聲以及量測噪聲組成［10］。其初始值和協(xié)方差定義如下：

Q與R為過程噪聲與量測噪聲的協(xié)方差陣。不敏卡爾曼濾波器的過程如下所示：

（1）用不敏變換過程中的方法計算sigma點的權(quán)值，并運用下式計算sigma點

（2）sigma點的一步預(yù)測：

（3）狀態(tài)預(yù)測：

（4）計算量測預(yù)測采樣點：

（5）估計量測預(yù)測值：

（6）估計信息協(xié)方差矩陣：

（7）估計互協(xié)方差矩陣：

（8）計算增益矩陣：

（9）狀態(tài)更新：

（10）協(xié)方差更新：

3　仿真實驗

圖1描述載機與目標在二維環(huán)境中的運動。雷達總采樣100個時間周期，載機與目標機均做勻速直線運動，載機初始狀態(tài)［1e5 16 1e5 0］，目標機初始運動狀態(tài)為［2e5 10 2e5 -10］。

經(jīng)過100次蒙特卡洛仿真，每次仿真時間為100s，采樣間隔為1s。設(shè)定均方根誤差作為測量指標。均方根誤差的定義為：

從圖2中可以看出利用KF方法的估計性能最差，利用EKF方法能夠得到較好的估計，但是仍然與真實估計由較大差距，而UKF方法能夠得到更高的估計精度。仿真實驗結(jié)果證實了所提出方法的有效性。

4　結(jié)語

傳統(tǒng)卡爾曼濾波技術(shù)在對非線性目標進行跟蹤的過程中，因狀態(tài)方程的單一性會大大降低目標跟蹤精度，為了改善目標跟蹤性能運用不敏卡爾曼濾波技術(shù)提高了濾波精度，改善了濾波性能，通過仿真表明UKF可以使得非線性系統(tǒng)濾波具有較高的精度，對噪聲也具有較好的適應(yīng)性能。

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肖賢（1988—），男，陜西省西安市人，西安鐵路職業(yè)技術(shù)學院，助教，學士，研究方向：自動控制、信息融合。