從虛位移原理到拉格朗日方程

劉偉偉

（滄州師范學(xué)院物理與電子信息系，河北滄州　061001）

從虛位移原理到拉格朗日方程

劉偉偉

（滄州師范學(xué)院物理與電子信息系，河北滄州061001）

由虛位移原理出發(fā)結(jié)合達朗貝爾原理得到動力學(xué)普遍方程，再有這個普遍方程得到拉格朗日方程。容易看出理論力學(xué)比經(jīng)典力學(xué)有更深的理論基礎(chǔ)和靈活性。尤其是廣義坐標(biāo)、廣義力的引入，以能量為基本概念的動力學(xué)方程比牛頓第二定律更具有理論優(yōu)勢。通過方程的應(yīng)用實例可揭示出這兩個方程在分析力學(xué)中具有非常重要的理論價值和應(yīng)用價值。

廣義坐標(biāo)廣義力虛位移拉格朗日方程

分析力學(xué)是理論力學(xué)的重要組成部分，它給出了與牛頓第二定律等價的力學(xué)基本方程，提供了解決力學(xué)問題的不同方法，拉格朗日方程也是分析力學(xué)中一個重要的基本方程。拉格朗日方程是在動力學(xué)的普遍方程（達朗伯—拉格朗日方程）的基礎(chǔ)上，將各點的坐標(biāo)xi 、及其虛位移變換為δxi廣義坐標(biāo)qj及其變分δqj后得到的。為了加深對拉格朗日方程的認識和理解，以便能更好地運用它來分析和解決問題，下面將達朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。

1　從虛位移原理動力學(xué)普遍方程

設(shè)由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，由達朗伯→原理知，在質(zhì)點→系運動的任一→瞬時，任一質(zhì)點Mi上作用的主動力，約束反力及其慣性力三者構(gòu)成形式上的平衡力系，即：

（3）式是通過達朗伯虛加慣性力手段和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果，稱為動力學(xué)普遍方程，也稱達朗伯——拉格朗日方程。

2　從動力學(xué)普遍方程到拉格朗日方程

由分析力學(xué)，可設(shè)主動力為F=（F1，F(xiàn)2，···，F(xiàn)n），廣義力Q=（Q1，Q2，···QN）

如果將位矢對任意一個廣義坐標(biāo) qj求偏導(dǎo)數(shù)，再對時間求導(dǎo)數(shù)，則得到

如果作用在系統(tǒng)上的主動力都是有勢力，根據(jù)有勢力的廣義主動力

引入拉格朗日函數(shù)L=T－V，T是動能，V是勢能，得到主動力為有勢力的拉格朗日方程

動力學(xué)普遍方程中系統(tǒng)的運動是直角坐標(biāo)來描述的，而拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的運動，兩者都可用來解決非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題，對于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動力學(xué)普遍方程簡便得多。

3　應(yīng)用舉例

為了說明分析力學(xué)在解決力學(xué)問題靈活、方便且科學(xué)上的嚴謹?shù)葍?yōu)勢，我們可通過以下面例題的求解來彰顯。

如圖1所示，試用拉格朗日方程求單擺的微振動方程和周期。

解：設(shè)單擺的擺長為l，擺錘質(zhì)量為m，取θ為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日函數(shù)為：

在解題過程中，并沒有用大家所熟悉的牛頓第二定律與拉格朗日方程對比來求解。但仍能明顯的感覺到，用分析力學(xué)解題比用牛頓第二定律的方法簡單靈活的多。

圖1　

4　結(jié)語

在分析力學(xué)中，關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)規(guī)律有兩種不同的表述，其中之一便是拉格朗日表述，在這種表述中，就是用拉格朗日方程來描述系統(tǒng)的運動規(guī)律。

拉格朗日方程的基本特色在于：（1）由于采用廣義坐標(biāo)作基本變量，微分方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由s度數(shù)目相同，微分方程的數(shù)目是最少的。（2）由于微分方程中不包含約束反力，以及所使用的函數(shù)（動能函數(shù)、勢能函數(shù)等）多為標(biāo)量函數(shù)，這和牛頓的力學(xué)方程相比較，在解決質(zhì)點系動力學(xué)問題時有很大的優(yōu)越性。（3）第二類拉格朗日方程是力學(xué)系統(tǒng)在具有最一般意義的廣義坐標(biāo)描述下保持形式不變的動力學(xué)方程，因此利用該方程來研究力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)具有極大的普遍性。因此，可以說，拉格朗日方程是力學(xué)中一個非常重要的理論工具。

［1］顧致平.理論力學(xué)［M］.中國電力出版社，2011.

［2］周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.人民教育出版社，1979.

［3］肖士珣.理論力學(xué)簡明教程［M］.人民教育出版社，1979.