保持參數(shù)分布狀態(tài)的有限元變形網(wǎng)格B樣條曲面重建算法

李　濤　劉　浩　何　綱

1.蘇州科技學(xué)院，蘇州，215009　　2.南京航空航天大學(xué)，南京，2100163.河海大學(xué)，常州，213022

保持參數(shù)分布狀態(tài)的有限元變形網(wǎng)格B樣條曲面重建算法

李濤1劉浩2何綱3

1.蘇州科技學(xué)院，蘇州，2150092.南京航空航天大學(xué)，南京，2100163.河海大學(xué)，常州，213022

針對變形前后的有限元網(wǎng)格模型及原始曲面模型，提出一種保持參數(shù)分布狀態(tài)的B樣條曲面重建算法。在裁剪區(qū)域，通過對原始曲面進(jìn)行平移、延伸、截取及重新參數(shù)化等操作，構(gòu)造初始擬合曲面；在非裁剪區(qū)域，在垂直于大曲率邊界的參數(shù)方向上插入截面線并重新參數(shù)化兩條大曲率邊界，用雙向蒙皮的方法重建擬合曲面。然后進(jìn)入重新參數(shù)化網(wǎng)格點(diǎn)和重新擬合曲面的迭代過程，直至滿足終止準(zhǔn)則。在曲面迭代修改過程中，通過計(jì)算基函數(shù)的極值點(diǎn)給出一種更精確的欠約束區(qū)域判定方法；利用插值四邊/三角細(xì)分算法細(xì)化粗糙網(wǎng)格模型，補(bǔ)充約束條件，提高擬合曲面的光順性；借助擬合曲面補(bǔ)充邊界約束條件，結(jié)合網(wǎng)格點(diǎn)插值和形狀保持約束，改進(jìn)裁剪曲面的擬合精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

參數(shù)分布；欠約束區(qū)域；雙向蒙皮；插值四邊/三角細(xì)分

0　引言

在板料成形計(jì)算機(jī)輔助工程(CAE)分析過程中，通常要把計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)得到的曲面模型劃分成有限元網(wǎng)格單元，然后用CAE軟件模擬沖壓過程進(jìn)行成形性評估，再修改曲面模型并返回至CAE系統(tǒng)繼續(xù)分析[1]。這是一個(gè)循環(huán)反復(fù)的過程。由于經(jīng)過分析以后的網(wǎng)格模型往往發(fā)生變形，原來的曲面模型不能直接輸入到CAD/CAM系統(tǒng)中，必須把修改后的網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成曲面模型，因此，設(shè)計(jì)高效、穩(wěn)定的曲面重建算法對縮短產(chǎn)品設(shè)計(jì)周期、節(jié)省開發(fā)成本具有極其重要的作用。

曲面重構(gòu)是逆向工程、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和CAD等領(lǐng)域的一個(gè)經(jīng)典問題，目前已有大量的研究成果[2-8]。按照待擬合數(shù)據(jù)是否規(guī)則，傳統(tǒng)的自由曲面重構(gòu)算法大致可以分為兩大類：一類是針對有序的截面數(shù)據(jù)，利用蒙皮的方法構(gòu)造單張或多張曲面[2-3]；一類是針對大規(guī)模的散亂數(shù)據(jù)，通過擬合的方法構(gòu)造滿足一定精度和光順性要求的逼近曲面[4-6]。由于對原始幾何信息未知，在曲面重建時(shí)不可能考慮參數(shù)分布，而不良的參數(shù)分布可能導(dǎo)致曲面在隨后的網(wǎng)格剖分時(shí)產(chǎn)生大量的非結(jié)構(gòu)三角網(wǎng)格，不利于有限元分析。另一方面，有限元網(wǎng)格不同于逆向工程中的測量數(shù)據(jù)，網(wǎng)格通常劃分得比較稀疏，且自適應(yīng)采樣的過程也往往使網(wǎng)格點(diǎn)分布不夠均勻。因此，完全借助逆向工程軟件或按照傳統(tǒng)的曲面擬合方法對有限元網(wǎng)格進(jìn)行曲面反求，效果并不理想。由于有限元網(wǎng)格模型是由CAD曲面模型轉(zhuǎn)化而來的，變形網(wǎng)格對應(yīng)的原始幾何信息是已知的，且這些信息正是需要計(jì)算出來進(jìn)行分析和比較的，在曲面重構(gòu)時(shí)應(yīng)該予以考慮。

關(guān)于有限元網(wǎng)格模型的曲面重建，文獻(xiàn)[6]假設(shè)已知變形前后網(wǎng)格點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，采用類似逆向工程里的方法直接進(jìn)行B樣條曲面的重建，沒有考慮網(wǎng)格分布不均時(shí)的異常處理和擬合曲面的參數(shù)分布；文獻(xiàn)[7]把對原始曲面的迭代修改和對變形網(wǎng)格的曲面重構(gòu)結(jié)合在一起，但是曲面修改的方法難以有效地控制邊界誤差；文獻(xiàn)[8]把雙向蒙皮、曲面掃掠、延伸等正向設(shè)計(jì)的思想用于有限元網(wǎng)格模型的曲面重建，取得了較好的效果，但是仍有一些問題沒有解決：①重建裁剪曲面時(shí)沒有考慮原始曲面參數(shù)分布；②對于非裁剪區(qū)域，雙向蒙皮的方法可以構(gòu)造出逼近程度較高的初始擬合曲面，但是當(dāng)邊界曲率變化較大，特別是當(dāng)邊界呈“U”形或“S”形時(shí)，蒙皮曲面的參數(shù)分布不夠理想；③對擬合曲面進(jìn)行迭代修改時(shí)，按照文獻(xiàn)[4]的方法在被裁剪區(qū)域或稀疏網(wǎng)格點(diǎn)處補(bǔ)充形狀保持約束條件，雖然可以保證約束方程組的可解性，但是當(dāng)大量欠約束區(qū)域存在時(shí)，該方法構(gòu)造的擬合曲面光順性較差。

本文主要解決上述幾個(gè)關(guān)鍵問題，根據(jù)輸入的原始曲面和網(wǎng)格及變形網(wǎng)格模型，重建新的曲面模型。本文假設(shè)變形前后的網(wǎng)格并無確定的對應(yīng)關(guān)系，但是變形網(wǎng)格已經(jīng)劃分為若干個(gè)與原始曲面模型相對應(yīng)的區(qū)域。

1　非裁剪域B樣條蒙皮曲面的構(gòu)造

1.1非裁剪域的判定

1.2截面線的插入

在一些鈑金件模型中，通常會(huì)含有一些狹長的區(qū)域，這些區(qū)域大都含有四條比較規(guī)則的邊界線，可以直接用雙向蒙皮方法構(gòu)造插值四條邊界的初始擬合曲面[8]，但是由于缺乏對曲面內(nèi)部形狀的約束，當(dāng)邊界曲率比較大時(shí)，內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)與曲面的偏差會(huì)比較大，曲面內(nèi)部呈現(xiàn)拱起或凹陷的現(xiàn)象，如圖1所示算例，圖1b是對圖1a中的網(wǎng)格直接插值四條邊界得到的蒙皮曲面，內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)的最大誤差(如無特別說明，本文所說的誤差均為相對誤差，即絕對誤差與曲面片最小軸向矩形包圍盒對角線長度的比值)為3.7310-2，平均誤差為1.8810-2。另一方面，當(dāng)曲面邊界曲率較大時(shí)，由于網(wǎng)格點(diǎn)分布不均勻(如圖1a中曲率較大的兩條對邊)，蒙皮曲面的參數(shù)分布往往不夠理想，如圖1d所示。解決上述2個(gè)問題的方法是在垂直于大曲率邊界的參數(shù)方向上插入一條內(nèi)部截面線，這樣一方面可以在蒙皮時(shí)增加內(nèi)部截面線約束，另一方面，可以利用此截面線調(diào)整與其相交的兩條對邊的參數(shù)分布，使之協(xié)調(diào)一致。

(a)網(wǎng)格模型

(b)蒙皮曲面光照圖

(c)原始曲面的參數(shù)分布

(d)曲面與原曲面參數(shù)對比圖1　直接插值四條邊界的雙向蒙皮曲面

在兩條大曲率對邊上各選取離中點(diǎn)最近的一點(diǎn)作為截面線候選起始點(diǎn)，然后比較兩條曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的曲率值。為了提高算法的穩(wěn)定性，取曲率較小的候選點(diǎn)作為新截面線的起始端點(diǎn)，如圖1a中的A點(diǎn)。以邊界線在該點(diǎn)的切線方向?yàn)閰⒖挤较騞1，在變形網(wǎng)格上沿網(wǎng)格邊搜索一條大致垂直于該方向的路徑，直至對邊邊界，如圖1a中的路徑AB。由于有限元網(wǎng)格具有自適應(yīng)采樣的特點(diǎn)，一般而言，上述方法得到的路徑并不光滑，作為曲面蒙皮和重新參數(shù)化至關(guān)重要的一條中間截面線，需要進(jìn)一步調(diào)整。方法如下：在這條新的截面線上尋找一條光滑的最長子路徑，如果這段子路徑的頂點(diǎn)數(shù)大于2，且其走向d2與前面的參考方向d1大致垂直，則把d2作為投影方向，向兩條對邊邊界重新投影并延伸這段光滑子路徑，得到修正后的截面線。如果網(wǎng)格模型的結(jié)構(gòu)性很差，在初始截面線上找不到上述光滑子路徑，則直接從起始端點(diǎn)開始根據(jù)參考方向d1向?qū)呥吔缤队啊Ｈ绻麑呥吔绲那时容^大，這樣直接投影的效果不一定理想，可以根據(jù)投影曲線與對邊邊界的夾角情況進(jìn)行迭代修改，使新的截面線與兩條相交邊界的夾角之差最小。

1.3重新參數(shù)化邊界線

在構(gòu)造插值四條邊界的雙向蒙皮曲面時(shí)，由于網(wǎng)格模型具有自適應(yīng)采樣的特性，對于曲率較大的兩條對邊，傳統(tǒng)的參數(shù)化方法有時(shí)不能得到協(xié)調(diào)的參數(shù)分布，從而影響蒙皮曲面的參數(shù)分布，如圖1d所示。因此，需要重新參數(shù)化曲率較大的兩條對邊，以調(diào)整蒙皮曲面的參數(shù)分布。文獻(xiàn)[9]在計(jì)算降階前后兩條Bezier曲線的Hausdorff距離時(shí)，設(shè)置局部曲率極值點(diǎn)或參數(shù)中點(diǎn)為分段點(diǎn)，然后對逼近曲線的參數(shù)引入分段線性變換，從而實(shí)現(xiàn)曲線的重新參數(shù)化。本文借鑒該方法，利用新插入的中間截面線調(diào)整兩條大曲率對邊的參數(shù)分布。

(1)

經(jīng)過修改后,中間截面線與該邊界交點(diǎn)參數(shù)由m1變?yōu)閙，其他點(diǎn)的參數(shù)也隨之做線性調(diào)整，另一條曲線的調(diào)整方法類似。圖2是對圖1所示算例插入一條中間截面線并調(diào)整參數(shù)后得到的蒙皮曲面，內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)的最大誤差為9.49×10-3,平均誤差為4.09×10-3。比較可見，插入一條截面線后，蒙皮曲面無論在參數(shù)分布還是擬合精度上都有較大的改善。

(a)蒙皮曲面與原曲面參數(shù)對比

(b)蒙皮曲面光照圖圖2　插入一條中間截面線后構(gòu)造的蒙皮曲面

2　裁剪區(qū)域B樣條基曲面的構(gòu)造

初始擬合曲面的曲面品質(zhì)和逼近精度對于最終的擬合結(jié)果都有至關(guān)重要的影響。作為參數(shù)化投影基曲面，采用B樣條擬合曲面比最小二乘擬合平面可以得到更好的參數(shù)化結(jié)果[3]。

關(guān)于裁剪曲面的擬合，由于被裁剪區(qū)域幾何信息的缺失，初始基曲面的構(gòu)造是一個(gè)難題。因?yàn)椴眉羟娴耐猸h(huán)邊界形狀不定，難以直接根據(jù)裁剪邊界確定基曲面的參數(shù)走向。因此，用曲面重建的方法構(gòu)造的擬合曲面與原始曲面的參數(shù)分布往往有很大的差異[8]。文獻(xiàn)[4]用最小二乘擬合平面作為投影基曲面參數(shù)化擬合數(shù)據(jù)。這種方法不適合大曲率曲面，因?yàn)橥队皡?shù)化方法可能導(dǎo)致參數(shù)分布很不理想。

本文通過平移并修改原始基曲面的方法構(gòu)造與之有相同參數(shù)分布的裁剪曲面。對每一張曲面片，根據(jù)變形前后網(wǎng)格模型估算一個(gè)大致的偏置矢量，把原始曲面加上偏置矢量后得到的新曲面作為裁剪曲面的初始近似。以新曲面為投影面計(jì)算變形網(wǎng)格點(diǎn)的參數(shù)，同時(shí)得到網(wǎng)格點(diǎn)到其投影點(diǎn)的距離，即擬合誤差。如果所有網(wǎng)格點(diǎn)的誤差滿足給定閾值，即變形曲面剛好是原曲面的一個(gè)近似平移，則平移后的新曲面即可作為最終的擬合曲面；否則，檢查是否有邊界點(diǎn)沒有投影到基曲面上，若出現(xiàn)上述情況，則根據(jù)最大偏離點(diǎn)的位置延伸基曲面，從而使所有網(wǎng)格點(diǎn)都投影到基曲面上。

3　基于誤差約束的B樣條曲面迭代修改

按照上述方法構(gòu)造的初始擬合曲面，特別是裁剪曲面的初始基曲面，往往不能滿足用戶的誤差要求，需要進(jìn)一步修改，以降低擬合誤差。主要思想是用最新得到的擬合曲面作為參數(shù)化投影曲面，重新計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)參數(shù)和誤差，如果達(dá)到誤差需求或最大迭代次數(shù)，則停止計(jì)算；否則重新擬合。下面著重介紹曲面迭代修改過程中的一些關(guān)鍵技術(shù)細(xì)節(jié)。3.1基曲面的預(yù)處理

原始曲面模型本身可能存在一些設(shè)計(jì)缺陷，如裁剪曲面的基曲面過大，參數(shù)分布不佳等。直接以這種曲面的偏置面為初始曲面進(jìn)行迭代修改，往往難以保證擬合曲面的精度和光順性，因此，對這種有缺陷的基曲面需要加以修改。

若裁剪曲面的基曲面過大，如圖3a、圖3b所示，基曲面的大部分區(qū)域?qū)儆凇盁o用”區(qū)域被裁剪掉，且這部分區(qū)域在曲面重新擬合過程中沒有任何作用，同時(shí)保留區(qū)域的約束作用被弱化，故采用曲面截取的方式[10]去掉部分“無用”區(qū)域。圖3c是截取后的裁剪曲面及其基曲面。

(a)原始裁剪曲面

(b)原始裁剪曲面及其基曲面

(c)截取后的裁剪曲面及其基曲面

(d)重新參數(shù)化后的裁剪曲面及其基曲面圖3　初始基曲的預(yù)處理示例

若基曲面的參數(shù)分布不佳，不僅降低擬合算法的效率，而且影響后續(xù)的應(yīng)用，如有限元網(wǎng)格劃分，數(shù)控刀軌生成等。引起曲面參數(shù)分布不理想的原因主要有兩個(gè)：一是B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)布局不均勻，二是曲面控制頂點(diǎn)的空間分布不均勻。對于前者，通過插入或刪除節(jié)點(diǎn)[10]方法使其分布盡量均勻，即計(jì)算基函數(shù)相鄰互異節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)距ki和節(jié)點(diǎn)距的平均值ka，若ki>rka，則在兩節(jié)點(diǎn)之間插入[ki/(rka)] - 1個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中[·]表示取整操作，r為比例因子，通?？梢匀?～6之間的值；若ki

3.2約束方程組的建立

根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)參數(shù)和初始擬合曲面

(2)

可以建立約束線性方程組

AD=B

(3)

式中，di,j為曲面控制頂點(diǎn)；Ni,k(u)與Nj,l(v)分別為k次和l次B樣條基函數(shù)；A為將網(wǎng)格點(diǎn)參數(shù)代入曲面基函數(shù)得到的系數(shù)矩陣；D為由曲面控制頂點(diǎn)di,j構(gòu)成的未知量；B為由網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成的常矢量。

由于有限元網(wǎng)格點(diǎn)分布的不均勻性以及大量裁剪曲面的存在，方程組可能出現(xiàn)欠約束與過約束同時(shí)存在的問題，即系數(shù)矩陣A可能行或列不滿秩，或者兩者都不滿秩。這給線性系統(tǒng)(式(3))的求解帶來了困難。為了保證(式(3))解的唯一性與穩(wěn)定性，本文采取的策略是通過尋找欠約束區(qū)域并為之適當(dāng)補(bǔ)充約束條件，構(gòu)造一個(gè)系數(shù)矩陣恒滿足列滿秩的新的線性系統(tǒng)：

(4)

3.3欠約束區(qū)域的判定

文獻(xiàn)[4]用均勻B樣條基函數(shù)節(jié)點(diǎn)區(qū)間的中間部分作為有效域進(jìn)行孔洞識別，如果落在有效域內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)參數(shù)個(gè)數(shù)少于一定的閾值，則認(rèn)為該區(qū)域?yàn)榍芳s束區(qū)域，需要在此補(bǔ)充形狀保持約束條件：

-0.25(di-1,j-1+di-1,j+1+di+1,j-1+di+1,j+1) +

0.5(di-1,j+di,j-1+di,j+1+di+1,j)=di,j

(5)

從而提高了最小二乘解的穩(wěn)定性。但是上述有效域的判別方法并不適應(yīng)于一般的非均勻B樣條曲面，因?yàn)楫?dāng)基函數(shù)節(jié)點(diǎn)分布不均，特別是當(dāng)基函數(shù)含有內(nèi)部重節(jié)點(diǎn)時(shí)，最大值點(diǎn)可能出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)附近。因此，在此給出一種更加準(zhǔn)確的欠約束區(qū)域識別方法。

圖4　有效域示意圖

3.4混合網(wǎng)格的插值細(xì)分

在逆向工程中，通過對欠約束區(qū)域施加頂點(diǎn)形狀保持約束可以提高最小二乘解的穩(wěn)定性[4]。然而，對于比較稀疏的有限元網(wǎng)格，由于大量欠約束區(qū)域的存在，該方法的擬合效果并不理想。在圖5所示的算例中，圖5c是對圖5a中的網(wǎng)格用文獻(xiàn)[4]的方法擬合得到的結(jié)果，雖然最大誤差(3.23×10-3)達(dá)到一般的工程要求，但是擬合曲面的光順性較差。導(dǎo)致擬合曲面品質(zhì)較低的主要原因是網(wǎng)格模型過于粗糙，插值網(wǎng)格點(diǎn)位置的“剛性”約束條件不足。解決上述問題的一個(gè)有效辦法是增加網(wǎng)格點(diǎn)密度，補(bǔ)充“剛性”約束條件。顯然，線性插補(bǔ)會(huì)降低網(wǎng)格模型的光順性，影響擬合曲面的品質(zhì)，因此考慮網(wǎng)格模型的插值細(xì)分。

(a)待擬合的網(wǎng)格模

(b)細(xì)分二次后的網(wǎng)格圖

(c)擬合原網(wǎng)格所得曲面

(d)擬合細(xì)分網(wǎng)格所得曲面圖5　通過對網(wǎng)格插值細(xì)分增加約束條件

由于有限元網(wǎng)格大都是由四邊形和三角形構(gòu)成的混合網(wǎng)格，本文采用四邊/三角混合網(wǎng)格的插值細(xì)分。目前關(guān)于混合網(wǎng)格插值細(xì)分算法的研究比較多[11-13]，針對有邊界的不規(guī)則混合網(wǎng)格插值細(xì)分，本文采用文獻(xiàn)[13]的方法，把細(xì)分算法分解為線性分割和幾何平均兩個(gè)過程，根據(jù)插值細(xì)分與相應(yīng)逼近型細(xì)分的關(guān)系，把線性分割得到的新邊點(diǎn)和新面點(diǎn)加上相應(yīng)偏置量，得到最終的新位置，其中新邊點(diǎn)和新面點(diǎn)的偏置量是以網(wǎng)格頂點(diǎn)相對于相應(yīng)逼近型細(xì)分點(diǎn)的偏置量為基礎(chǔ)計(jì)算得到的，權(quán)因子為相應(yīng)的逼近型細(xì)分模板。圖5b是對圖5a所示網(wǎng)格細(xì)分二次所得到的網(wǎng)格圖，比較圖5a和圖5b可見，細(xì)分以后網(wǎng)格點(diǎn)更加稠密，網(wǎng)格模型也更加光順，圖5d是用細(xì)分后的網(wǎng)格擬合得到的曲面模型，最大誤差為2.73×10-3，與圖5c相比，光順性有了顯著的提高。

網(wǎng)格細(xì)分方法在增加“剛性”約束條件的同時(shí)也加大了運(yùn)算開銷，因此，網(wǎng)格細(xì)分與否是以網(wǎng)格點(diǎn)是否過于稀疏或者是否存在大量欠約束區(qū)域?yàn)榕卸?zhǔn)則的。

3.5狹長裁剪面的迭代修改

(a)網(wǎng)格模型

(b)擬合曲面圖

(c)圖6b的局部放大

如1.2節(jié)所述，鈑金件幾何模型中的狹長區(qū)域，大部分可以用雙向蒙皮的方法重構(gòu)出高精度和高品質(zhì)的擬合曲面，但是也有部分狹長區(qū)域沒有形狀規(guī)則的四條邊界，如圖6a所示的網(wǎng)格模型，這時(shí)只能作為裁剪曲面來處理。由于基曲面的大部分區(qū)域被裁剪掉，因此曲面迭代修改時(shí)會(huì)出現(xiàn)幾何約束不足的問題。雖然文獻(xiàn)[4]根據(jù)文獻(xiàn)[14]給出了形狀保持約束，但是當(dāng)存在大量欠約束區(qū)域，尤其是基曲面的邊界無法得到有效控制時(shí)，擬合曲面的光順性難以得到保證，原因是Farin的持久準(zhǔn)則[14]實(shí)際上是一個(gè)離散形式的Euler-LagrangePDE，邊界約束必不可少。本文給出的解決方案是，將前一次擬合曲面的邊界信息和網(wǎng)格點(diǎn)一樣，作為曲面修改的“硬約束”，其他內(nèi)部欠約束區(qū)域作為“軟約束”由形狀保持準(zhǔn)則給出。作為“硬約束”，初始擬合曲面的邊界誤差不能太大，如果誤差過大，如絕對誤差大于0.5mm或相對誤差大于0.05，則將該曲面先做變形處理：根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)的誤差計(jì)算曲面的法向偏置量，如果曲面采樣點(diǎn)參數(shù)在裁剪域內(nèi)，則其偏置量由鄰近網(wǎng)格點(diǎn)的偏置量內(nèi)插得到；否則，由已知偏置量的鄰近點(diǎn)外插得到，然后根據(jù)偏置信息重新擬合曲面。這樣得到的變形曲面比原來的擬合曲面更加“貼近”網(wǎng)格模型，可以用來補(bǔ)充邊界插值約束條件。把邊界點(diǎn)插值約束和內(nèi)部形狀保持約束(式(5))加入線性系統(tǒng)(式(3))中，得到最終的約束方程式(4)。在圖6所示的算例中，圖6b是用上述方法對圖6a擬合的結(jié)果，最大誤差為7.60×10-4，平均誤差為1.16×10-4，最大絕對誤差為0.436mm。筆者同時(shí)用文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[4]的方法對此算例做了實(shí)驗(yàn)，文獻(xiàn)[7]在去掉光順項(xiàng)約束后，最大絕對誤差仍為0.808mm，而文獻(xiàn)[4]的方法由于擬合曲面嚴(yán)重扭曲而導(dǎo)致算法失敗。

(d)擬合裁剪曲面及其基曲面圖6　狹長裁剪面示例

4　算例與應(yīng)用

圖7是一個(gè)綜合算例，其中圖7a和圖7b分別為原始曲面和擬合曲面的線框圖，圖7c是擬合曲面的光照圖。圖8是另一模型的擬合結(jié)果。兩個(gè)算例的運(yùn)行情況見表1，其中最大絕對/相對誤差是整個(gè)模型所有擬合曲面的絕對/相對誤差的最大值，平均絕對誤差是整個(gè)模型所有擬合曲面絕對誤差的平均值。本文所有算法都用C++語言編程實(shí)現(xiàn)，程序運(yùn)行的軟硬件環(huán)境為WindowsXP操作系統(tǒng)，VC++ 6.0編譯器和主頻2.0GHz，內(nèi)存2.0GB的筆記本電腦。由算例可知，本文算法具有較高的精度和較快的速度，擬合曲面不僅具有較好的光順性，而且具有與原始曲面基本一致甚至更佳的參數(shù)分布狀態(tài)。

(a)原始曲面線框圖

(b)擬合曲面線框圖

(c)擬合曲面光照圖圖7　綜合算例1

(a)原始曲面線框圖

(b)擬合曲面線框圖圖8　綜合算例2

算例曲面片數(shù)網(wǎng)格單元數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)最大絕對誤差/最大相對誤差平均絕對誤差運(yùn)行時(shí)間(s)算例119015933158910.245mm/2.94′10-22.18×10-2mm55.4算例240623475217380.460mm/1.83′10-22.40×10-2mm52.1

5　結(jié)語

基于有限元網(wǎng)格與逆向工程中的大規(guī)模網(wǎng)格模型的不同，提出了更有針對性的有限元變形網(wǎng)格曲面重建算法。曲面蒙皮、延伸、截取、重新參數(shù)化等許多正向設(shè)計(jì)的方法被用于初始擬合曲面的構(gòu)造；在曲面的迭代修改過程中，通過計(jì)算基函數(shù)的極值點(diǎn)給出穩(wěn)定性更好的有效域判別方法；通過混合網(wǎng)格插值細(xì)分算法細(xì)化部分稀疏的網(wǎng)格，補(bǔ)充必要的插值約束條件，提高了擬合曲面的光順性；利用最新擬合的基曲面或其變形曲面，補(bǔ)充部分狹長裁剪曲面的邊界插值約束，給出了穩(wěn)定性更高的裁剪曲面擬合算法。本文方法構(gòu)造的擬合曲面不僅光順性好，誤差小，運(yùn)算效率也很高，達(dá)到了實(shí)時(shí)的要求。更為重要的是，擬合曲面與原始曲面具有基本一致甚至更優(yōu)的參數(shù)分布狀態(tài)，可以幾乎無需修改而直接用于后續(xù)的CAE或CAM。當(dāng)然，部分狹長區(qū)域裁剪曲面的擬合誤差雖然較現(xiàn)有方法有所改進(jìn)，但有時(shí)仍然偏高，這是算法有待進(jìn)一步提高的地方。

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(編輯王艷麗)

Reconstruction of B-spline Surfaces from Finite Element Deformed Meshes with Consistent Parametric Distribution

Li Tao1Liu Hao2He Gang3

1.Suzhou University of Science and Technology,Suzhou,Jiangsu,215009 2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing,210016 3.Hohai University,Changzhou,Jiangsu,213022

According to the information of original surfaces, original meshes and deformed meshes, a method for reconstructing B-spline surfaces with consistent parametric distribution was presented. In trimmed regions, initial fitting surfaces were constructed by some operations on original surfaces such as translation, extension, segment and reparametrization, etc. In untrimmed regions, bidirectional skinning method was adopted for the production of initial surfaces after inserting section lines across the highly curved boundaries and revising their parameterization. Then a loop of reparameterizing the nodes and refitting the surfaces proceeded until some ending rules were satisfied. During the process of iteration, a more precise method was presented for determining under-constrained regions by calculating extreme points of basis functions; fairness of the fitting surfaces was improved evidently by splitting coarse meshes to provide enough constraints with interpolatory quad/triangle subdivision scheme. Fitting precision is improved for trimmed surfaces by dint of boundaries and internal nodes interpolation constraints together with shape preservation constraints of under-constrained regions. Test results indicate effectivity of the proposed method.

parametric distribution; under-constrained region; bidirectional skinning;interpolatory quad/triangle subdivision

2014-02-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175248,51375141);江蘇省省屬高校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(12KJB460009)

TP391< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.05.019

李濤，男，1978年生。蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師。主要研究方向?yàn)镃AGD。發(fā)表論文10余篇。劉浩，男，1972年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院副教授。何綱，男，1975年生。河海大學(xué)機(jī)電學(xué)院副教授。