李代國
我們前面學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過程,我們試著回答下列問題:
1.學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)公式的基本任務(wù)有哪些?
(1)等差數(shù)列、等比求和公式內(nèi)容是什么?公式怎么用?
(2)推導(dǎo)公式的方法怎么用?
2.拿到一個新題目怎么想?
(1)現(xiàn)有的相關(guān)公式能否用上?
(2)非等差、等比數(shù)列求和能否化為等差、等比數(shù)列求和?
(3)已經(jīng)用過的相關(guān)方法能否用上?
問題一:求數(shù)列,,,…,,…的前n項和;
分析:數(shù)列的分子成等差數(shù)列,分母成等比數(shù)列,可用錯位相減法求和;
Sn=+++…++其中等比數(shù)列的公比q=;
Sn=+++…++;
兩式錯位相減得:
Sn=++++…-
=-+2(++++…+)-
∴Sn=3-
小結(jié):設(shè)數(shù)列an的等比數(shù)列,數(shù)列bn是等差數(shù)列,則數(shù)列anbn的前n項和Sn求解,均可用錯位相減法.
問題二:已知a≠0,求數(shù)列a,2a2,3a3,…,nan,…前n項和.
點撥:字母的系數(shù)等差,字母項等比,但需要對字母討論.
解:Sn=a+2a2+3a3+…+nan,
當(dāng)a=1時,Sn=1+2+3+…+n=,
當(dāng)a≠1時,Sn=a+2a2+3a3+…+nan,
aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1,
兩式相減(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1,
=-nan+1
∴Sn=.
小結(jié):采用乘公比,錯位相減,可以得到一組等比數(shù)列,求和用公式但必須注意公比是否為1,否則須討論.
問題三:設(shè)Sn=-1+3-5+7-9+…+(-1)n(2n-1),則Sn=(-1)nn
方法一:分析:由此數(shù)列的通項an=(-1)n(2n-1);其是等差數(shù)列與等比數(shù)列的積這一類型的數(shù)列求和,故用錯位相減法.
所以Sn=-n(n為奇數(shù))
n(n為偶數(shù)),即Sn=(-1)nn.
總結(jié):一個數(shù)列cn可以看成是一個以公差為d的等差數(shù)列(d不等于零)和一個是公比為q的等比數(shù)列(q不等于1)的乘積形式,則數(shù)列cn的前n項求和的方法可采用做錯位相減法.
方法二:分析:通過觀察可發(fā)現(xiàn)此數(shù)列具有正負相間,且正數(shù)項和負數(shù)項分別成等差數(shù)列這一特征.因此可以將正數(shù)項和負數(shù)項分別進行分組求和.但此數(shù)列有多少正數(shù)項和負數(shù)項呢?還要對項數(shù)n的奇偶性進行討論.
略解:Sn=-n(n為奇數(shù))
n(n為偶數(shù)),即Sn=(-1)nn.
總結(jié):我們通過分組轉(zhuǎn)化成兩個等差數(shù)列,然后通過已有的等差數(shù)列求和求解。這種方法叫做分組求和法。
方法三:分析:通過觀察可發(fā)現(xiàn)此數(shù)列具有這樣的特征,即第一項與第二項,第三項與第四項,第五項與第六項,……,第n-1項與第n項的和都等于2,共多少個2呢?還要對項數(shù)n進行奇偶性討論.
總結(jié):通過將數(shù)列相鄰的兩項并成一項得到一個新的容易求和的數(shù)列,這種方法叫做并項求和。
通過對以上問題幾種方法的探討,不難看出,實際上所有與項的序號的奇偶性有關(guān)的數(shù)列求和問題,通過認真審題,抓住數(shù)列的通項,靈活地運用分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸數(shù)學(xué)思想,就可將其變?yōu)槭煜?、簡單的等差?shù)列或等比數(shù)列來處理,輔助以適當(dāng)?shù)慕忸}方法技巧,問題就會迎刃而解.
·編輯 孫玲娟