基于改進(jìn)的Theil不等系數(shù)及IGOWC-OWHA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型

張 超， 袁宏俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030)

受Bates與Granger上世紀(jì)60年代第一次系統(tǒng)性的探究組合預(yù)測(cè)方法［1］的影響，組合預(yù)測(cè)方法的應(yīng)用得到眾多相關(guān)學(xué)者的青睞，并取得了豐碩的研究成果［1-6］。但是大部分組合預(yù)測(cè)的方法都是局限于單點(diǎn)序列的預(yù)測(cè)，而在區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)方面較為少見。然而從實(shí)際考慮，很多數(shù)據(jù)通常以區(qū)間數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)會(huì)顯得更為合理，因此將這些區(qū)間數(shù)進(jìn)行組合預(yù)測(cè)具有重要的研究意義和價(jià)值。

關(guān)于區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測(cè)研究是一個(gè)龐大的課題，不同研究者存在不同的研究角度。文獻(xiàn)［7-9］的方法只局限于離散區(qū)間數(shù)據(jù)的組合預(yù)測(cè)，而對(duì)于連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)并不適用，因此Yager于2004年通過一個(gè)態(tài)度參數(shù)將區(qū)間值集結(jié)成一個(gè)實(shí)數(shù)，構(gòu)造出連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)平均(C-OWA)算子［10］;文獻(xiàn)［11］把 C-OWA算子拓展為 WC-OWA算子、OWC-OWA算子以及CC-OWA算子;文獻(xiàn)［12］綜合C-OWA算子與OWGA算子構(gòu)造連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)幾何平均(C-OWGA)算子;文獻(xiàn)［13］提供了連續(xù)區(qū)間數(shù)廣義有序加權(quán)平均(C-GOWA)算子;文獻(xiàn)［14］結(jié)合 IOWA算子與 C-GOWA算子構(gòu)造出IOWC-GOWA算子;文獻(xiàn)［15］綜合IOWA算子和C-OWA算子，構(gòu)造出一種誘導(dǎo)連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均(IC-OWA)算子;文獻(xiàn)［16］綜合C-OWA算子與OWHA算子構(gòu)造出連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)調(diào)和平均(C-OWHA)算子，并在此基礎(chǔ)上提出了加權(quán)調(diào)和的C-OWHA(WHC-OWHA)算子、有序加權(quán)調(diào)和的C-OWHA(OWHC-OWHA)算子和組合的C-OWHA(CC-OWHA)算子。

受上述研究成果啟發(fā)，文中將IGOWA算子與C-OWHA算子加以綜合，構(gòu)造出一種誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)的C-OWHA(IGOWC-OWHA)算子，并研究其部分性質(zhì)。選取改進(jìn)的Theil不等系數(shù)作為相關(guān)性指標(biāo)，建立新型組合預(yù)測(cè)模型，最后通過算例分析證實(shí)該方法在提高預(yù)測(cè)精度方面具有顯著效果。

1 基本定義

定義1［4］假設(shè)fw:Rn→R為n元函數(shù)，倘若

定義2［16］設(shè)［a，b］為區(qū)間數(shù)，稱

為連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)調(diào)和平均(C-OWHA)算子，其中Q(y):［0，1］→［0，1］為基本的單位區(qū)間單調(diào)(BUM)函數(shù)且滿足:Q(0)=0;Q(1)=1;當(dāng)y1＞y2時(shí)，有Q(y1)≥Q(y2)。

定義3［16］給定基本單位區(qū)間單調(diào)(BUM)函數(shù)Q(y)，記

的態(tài)度參數(shù)。

由定義3及式(2)可得

定義4［6］假設(shè)〈v1，a1〉，〈v2，a2〉，…，〈vn，an〉為 n個(gè)二維數(shù)組，令

2 IGOWC-OWHA算子及其性質(zhì)

盡管C-OWHA可以集結(jié)連續(xù)的區(qū)間數(shù)，可是C-OWHA算子僅局限于解決單一區(qū)間數(shù)據(jù)的集結(jié)問題，如果想要集結(jié)更多區(qū)間數(shù)據(jù)的信息，還需對(duì)C-OWHA算子予以擴(kuò)展。

定義5 假定［ai，bi］是一組區(qū)間數(shù)，〈v1，［a1，b1］〉，〈v2，［a2，b2］〉，…，〈vn，［an，bn］〉是二維數(shù)組，設(shè) g:Ω+→ R+，若

IGOWC-OWHA算子的特點(diǎn)在于:首先運(yùn)用定義2中的C-OWHA算子集結(jié)每個(gè)區(qū)間［ai，bi］的全部數(shù)據(jù)，再將集結(jié)后的全部數(shù)據(jù)運(yùn)用定義4的IGOWA算子集結(jié)。根據(jù)定義5不難證明以下性質(zhì)［16］。由于篇幅有限，文章僅給出單調(diào)性證明過程。

定理1(單調(diào)性)對(duì)于任意的 i=1，…，n，若有ai≥a'i，bi≥ b'i則

證將式(5)兩側(cè)取以ex為底的對(duì)數(shù)，得

兩側(cè)對(duì)av-index(i)分別求導(dǎo)得

在上式中，由于

則

所以函數(shù)g關(guān)于av-index(i)單調(diào)遞增。同理可得，函數(shù)g亦關(guān)于bv-index(i)單調(diào)遞增。

由命題假設(shè)可知，ai≥ a'i，bi≥ b'i，得

又函數(shù)g均關(guān)于av-index(i)和bv-index(i)單調(diào)遞增，故

即

所以命題得證。

定理2(冪等性)對(duì)于任意的 i=1，…，n，若有［ai，bi］ = ［a，b］，則

定理3(介值性)若［ai，bi］(i=1，2，…，n)是任一區(qū)間數(shù)組，且0＜ai＜bi，則存在

定理4(置換不變性)設(shè) π =(π(1)，π(2)，…，π(n))是(1，…，n)的任一置換，得到

3 基于改進(jìn)的Theil不等系數(shù)的IGOWC-OWHA算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型

設(shè)某一區(qū)間時(shí)序的觀測(cè)值為xt=［at，bi］(t=1，2，…，N)，同時(shí) xt也可等價(jià)表示成 xi= ［ct，ri］(t=1，2，…，N)，其中

分別記作區(qū)間數(shù)xt的中心與半徑，假定用于預(yù)測(cè)的單項(xiàng)方法有m種，且它們都應(yīng)用到組合預(yù)測(cè)當(dāng)中，設(shè)第i種方法在第t時(shí)點(diǎn)的單項(xiàng)預(yù)測(cè)值為=，)，同樣也可以等價(jià)成=)，i=1，2，…，m，t=1，2，…，N。wi是第 i種單項(xiàng)方法在組合預(yù)測(cè)中的權(quán)重

定義6 令

則稱vit為第i單項(xiàng)方法在第t時(shí)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度，vit∈［0，1］。將 vit當(dāng)做預(yù)測(cè)值()的誘導(dǎo)變量，由此可以根據(jù)每一個(gè)vit以及與之相對(duì)應(yīng)的構(gòu)建m個(gè)二維數(shù)組，即〈vmt，［］〉。根據(jù)定義3 以及定義5 可推出如下幾個(gè)算式:令

其中，yt為實(shí)際區(qū)間值由C-OWHA算子生成的時(shí)刻實(shí)際集結(jié)值是由C-OWHA算子生成的各個(gè)單項(xiàng)方法各個(gè)時(shí)刻預(yù)測(cè)值的單項(xiàng)預(yù)測(cè)集成值為由IGOWC-OWHA算子生成的t時(shí)刻組合預(yù)測(cè)集成值;W=(w1，w2，…，wm)T是 m種單項(xiàng)方法在組合預(yù)測(cè)中的權(quán)向量，滿足，顯然 wi≥ 0，i=1，2，…，m;v-index(i)是 v1，v2，…，vn遵循由大到小的原則排列后序號(hào)為i的數(shù)的下標(biāo)。

Theil不等系數(shù)常常被用來(lái)評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)效率的優(yōu)劣，為此文中將其作為相關(guān)性指標(biāo)，對(duì)區(qū)間組合預(yù)測(cè)效率予以評(píng)價(jià)。

定義7［3］令

將 τ(Yt，)稱作實(shí)際值 yt(t=1，2，…，N)與組合預(yù)測(cè)值(t=1，2，…，N)間改進(jìn)的Theil不等系數(shù)，τ(Yt)∈［0，∞)。τ(Yt)越低表明預(yù)測(cè)效率越高。

當(dāng)實(shí)際值yt(t=1，2，…，N)等于組合預(yù)測(cè)值^yt(t=1，2，…，N)時(shí)，它們相應(yīng)的 τ(Yt，)值將會(huì)是最低值，即τ(Yt)=0。又因?yàn)棣?Yt)是所有單項(xiàng)方法權(quán)重w1，w2，…，wm的函數(shù)，所以可表示成τ(w1，w2，…，wm)。故基于改進(jìn)的 Theil不等系數(shù)及IGOWC-OWHA算子的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型如下所示:

該模型可借助LINGO軟件進(jìn)行求解。

4 實(shí)例分析

出于檢驗(yàn)IGOWC-OWHA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型是否有效的目標(biāo)，文中直接采用文獻(xiàn)［7］的數(shù)據(jù)作為參考資料。但是文獻(xiàn)［7］只給出3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，并沒有對(duì)這3種單一方法性質(zhì)進(jìn)行比較。所以，基于區(qū)間組合預(yù)測(cè)研究領(lǐng)域的局限性，文中無(wú)法給出3種單一方法性質(zhì)的比較，將重點(diǎn)討論區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型與3種單一模型預(yù)測(cè)精度的比較。

表1列出了區(qū)間實(shí)際數(shù)據(jù)和單項(xiàng)方法預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

表1 區(qū)間實(shí)際數(shù)據(jù)和單項(xiàng)方法預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)Tab.1 Interval actual data and individual method forecast data

依據(jù)式(7)計(jì)算得到各個(gè)單項(xiàng)方法在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 預(yù)測(cè)精度數(shù)據(jù)Tab.2 Prediction accuracy of the data

由式(8)可以計(jì)算出實(shí)際區(qū)間值由C-OWHA算子所生成的t時(shí)刻實(shí)際集成值yt。由于yt中的態(tài)度參數(shù)θ由BUM函數(shù)Q(y)決定，所以為了便于比較，文中分別取Q1(y)=y2;Q2(y)=y3。則

表3給出由上述兩個(gè)態(tài)度參數(shù)計(jì)算得到的實(shí)際區(qū)間集成值。

表3 實(shí)際區(qū)間集成數(shù)據(jù)Tab.3 Integrated data of the actual interval

根據(jù)表2中的誘導(dǎo)變量及式(10)計(jì)算IGOWC-OWHA算子生成的組合預(yù)測(cè)集成值^yt，為了便于比較，分別取λ1=1，λ2=2，λ3=3，λ4=4，λ5=5這5個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論。共有10種情況，依次予以計(jì)算。

1)當(dāng)θ=1/3時(shí)，以λ=2為例，計(jì)算過程如下:

將上述表達(dá)式與表3中的θ1=1/3時(shí)的實(shí)際區(qū)間數(shù)集成值代入到單目標(biāo)最優(yōu)模型式(12)中，再運(yùn)用Lingo15軟件解得最優(yōu)權(quán)重向量為

除此之外，當(dāng)λ取1，3，4，5時(shí)，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重向量分別為

2)當(dāng)θ=1/4時(shí)，以λ=3為例，計(jì)算過程如下:

將上述表達(dá)式與表3中的θ2=1/4時(shí)的實(shí)際區(qū)間數(shù)集成值代入到單目標(biāo)最優(yōu)模型式(12)中，再運(yùn)用Lingo15軟件解得最優(yōu)權(quán)重向量為

除此之外，當(dāng)λ取1，2，4，5時(shí)，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重向量分別為

為了證明區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型是否有效，可選取MSEP，MSEL，MSEI，MRIE 作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則:

1)平均區(qū)間位置誤差平方和

2)平均區(qū)間長(zhǎng)度誤差平方和

3)平均區(qū)間誤差平方和

4)平均相對(duì)區(qū)間誤差和

表4給出相應(yīng)的分析結(jié)果。

表4 誤差指標(biāo)Tab.4 Error indicators

觀察表4易知，基于 Theil不等系數(shù)及IGOWC-OWHA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型的MSEP，MSEI，MRIE都顯著小于各單項(xiàng)方法誤差指標(biāo)值，雖然MSEL指標(biāo)不夠顯著，但并不是最大的，因此該區(qū)間組合預(yù)測(cè)新方法至少是非劣性的。綜合來(lái)看，基于Theil不等系數(shù)及IGOWC-OWHA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型可以顯著提高預(yù)測(cè)精確度。

5 結(jié)語(yǔ)

大多數(shù)組合預(yù)測(cè)方法僅局限于離散區(qū)間數(shù)據(jù)的組合預(yù)測(cè)，但對(duì)于連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)的組合預(yù)測(cè)較為少見。對(duì)連續(xù)區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)是一個(gè)全新的研究方向，文中提出一種更加有效的方法。文中引入IGOWA算子與C-OWHA算子結(jié)合，構(gòu)造出誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)的C-OWHA(IGOWC-OWHA)新型算子。由于該算子可以集結(jié)多個(gè)區(qū)間數(shù)據(jù)的信息，所以可以將其應(yīng)用于連續(xù)區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測(cè)中。利用IGOWC-OWHA算子，再結(jié)合改進(jìn)的Theil不等系數(shù)作為相關(guān)性指標(biāo)，構(gòu)建區(qū)間型組合預(yù)測(cè)新模型，并經(jīng)過算例驗(yàn)證了其有效性，揭示出該方法在提高預(yù)測(cè)精度方面具有顯著效果。但是，文中考慮的θ和λ情況有限，是否存在某個(gè)θ值和λ值使預(yù)測(cè)效果更加精確還需要通過進(jìn)一步研究。

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