“直觀”學(xué)習(xí)的意義理解與行為表現(xiàn)

江蘇海安縣城南實(shí)驗(yàn)小學(xué)（226600） 許衛(wèi)兵（特級(jí)教師）

一直以來(lái)，在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，都較為重視直觀手段的運(yùn)用，比如，用眼觀察、動(dòng)手操作、繪制圖表等。通過(guò)這些直觀的手段，讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、理解、表達(dá)抽象的數(shù)學(xué)。

不過(guò)，對(duì)直觀的關(guān)注和研究，我們更多的是站在教師教學(xué)的角度?！爸庇^”是否能成為一種學(xué)習(xí)的方式？如果能，那又怎樣理解這種方式，如何運(yùn)用和加以培養(yǎng)，如何看待它的價(jià)值呢？

一

何為“直觀”？詞典中解釋為：“用感官直接接受的；直接觀察的。比如，～教具∣～教學(xué)。”（見(jiàn)《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》2002年增補(bǔ)本，商務(wù)印書館）這種解釋，指出了直觀的兩個(gè)基本要素：一是要有實(shí)在的東西，二是感官能對(duì)這個(gè)實(shí)在的東西進(jìn)行觀察、觸摸并有所感受。很顯然，這種解釋強(qiáng)調(diào)了具體實(shí)在，但并未將“人”這一主體予以突出。相比而言，美國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)史家M·克萊因的解釋“數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握”，以及我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治先生的解釋“直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)”，不僅有了學(xué)科關(guān)照，且更加側(cè)重于主體的主觀認(rèn)識(shí)。換言之，離開(kāi)了主體認(rèn)識(shí)就不存在所謂的直觀?；蛘哒f(shuō)，即便有了所謂的實(shí)物、圖畫、操作等直觀因素，如果沒(méi)有“人”這一主體感知與認(rèn)識(shí)的發(fā)生、表達(dá)，只能是比較膚淺的直觀。

基于這樣的認(rèn)識(shí)，“直觀”不僅是一種重要的教學(xué)手段，而且應(yīng)該成為一種重要的學(xué)習(xí)方式。

首先，從數(shù)學(xué)課程的角度看，數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的形態(tài)正在走向多流派、多元化，而強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間有機(jī)地融合、依賴直觀的“直觀型”課程成為數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的主流之一。我國(guó)新課程已經(jīng)把圖形直觀看作是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的線索之一。從函數(shù)的圖像教學(xué)、三角函數(shù)的單位圓，到導(dǎo)數(shù)的圖像判斷，從不等式的直觀解釋到線性規(guī)劃的區(qū)域刻畫，此外，還有數(shù)系擴(kuò)充中的復(fù)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)中的直觀圖以及向量的使用等都充分體現(xiàn)出“代數(shù)”和“幾何”的邊界正在被消融。至于幾何課程設(shè)計(jì)更離不開(kāi)直觀了，且這種理念正在向初中、小學(xué)“蔓延”。我想，作為基礎(chǔ)教育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該自覺(jué)地順應(yīng)這樣的變化，并主動(dòng)承擔(dān)起在小學(xué)階段讓學(xué)生不斷地感受直觀在數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，并努力將之作為一種思考方式和學(xué)習(xí)方式。

其次，從兒童思維的特點(diǎn)看，小學(xué)生的思維以形象思維為主，他們對(duì)實(shí)物的感受更加直接，感官是他們認(rèn)識(shí)世界的首要通道，他們喜歡用涂鴉、畫畫的方式來(lái)表達(dá)內(nèi)心的想法。實(shí)物、圖像、圖形是他們溝通生活世界和數(shù)學(xué)世界的最好橋梁，也是逐步地、深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的載體。數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，都會(huì)不由自主地畫個(gè)圖，做個(gè)手勢(shì)，打個(gè)比方。教師給學(xué)生講解題目時(shí)，常常發(fā)現(xiàn)千言萬(wàn)語(yǔ)抵不上一個(gè)直觀的圖示、比擬。除此之外，學(xué)生都比較感性，動(dòng)畫的演示、童話的情節(jié)、幽默的語(yǔ)言、夸張的姿態(tài)等對(duì)他們具有極大的吸引力，在學(xué)習(xí)中，不斷地讓他們結(jié)合、應(yīng)用、創(chuàng)造上述直觀形式來(lái)理解數(shù)學(xué)、展現(xiàn)思路，不僅能活化思維，還能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得豐富、有趣、生動(dòng)。從這一角度來(lái)看，“直觀”學(xué)習(xí)是對(duì)兒童天性的順應(yīng)，是對(duì)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的遵從。

再者，從數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)看，整體上呈現(xiàn)出比較單一、枯燥、無(wú)趣的局面。學(xué)生不僅學(xué)得苦，而且學(xué)得累。如何打破這種“沉悶”的局面，不僅需要教師在教學(xué)素材上能做到豐富一些，好玩一些，新奇一些，還需要將豐富、好玩、新奇的素材以直觀的方式呈現(xiàn)，并讓學(xué)生能透過(guò)直觀抵達(dá)抽象、邏輯、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)本質(zhì)，孕育出他們借助直觀來(lái)思考和學(xué)習(xí)的“直觀”思維。肖川說(shuō)：“學(xué)習(xí)的方式就是生活的方式”，學(xué)生在直觀學(xué)習(xí)中孕育出的“直觀”思維將會(huì)遷移、擴(kuò)展到生活之中，從而讓生活變得更加生動(dòng)、鮮活、多姿多彩。這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)就邁上了數(shù)學(xué)教育的高度了。

總的說(shuō)來(lái)，我們將“直觀”看成一種學(xué)習(xí)方式并將其加上引號(hào)，意在說(shuō)明這里的直觀不僅僅是傳統(tǒng)的帶有直觀特點(diǎn)的教學(xué)手段、方法，還包括了學(xué)生能借助于直觀素材進(jìn)行學(xué)習(xí)、思考，形成一種直觀性思維。因此，生動(dòng)的故事情境，形象的圖形畫面，動(dòng)態(tài)的視頻錄像，自主的操作實(shí)踐固然是直觀，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中為解釋說(shuō)明所學(xué)所得而舉出一個(gè)生活事例，打一個(gè)比方，做一番演示，繪制一張圖表，等等也是直觀，且這樣的“直觀”更為貼近克萊因所說(shuō)的“對(duì)概念、證明的直接把握”和徐利治所說(shuō)的“對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)”。我們期待，在“直觀”學(xué)習(xí)的研究和指引下，每一個(gè)學(xué)生都能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更好，數(shù)學(xué)思維變得更活，對(duì)數(shù)學(xué)的感受更深，興趣更濃。

二

當(dāng)我們把“直觀”看做兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式后，就需要充分地尊重、激活并利用這種方式來(lái)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。從日常教學(xué)的實(shí)際出發(fā)，以下幾個(gè)方面的行為表現(xiàn)是值得關(guān)注和研究的。

1.說(shuō)

主要是指描述和舉例。通過(guò)語(yǔ)言將思維外化，通過(guò)事例來(lái)解釋和說(shuō)明，是非常基礎(chǔ)也非常重要的兒童學(xué)習(xí)形態(tài)。比如，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生不可能也不需要用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述分?jǐn)?shù)“1／2”的含義，但是，他可以通過(guò)舉出“將一個(gè)蘋果平均切成兩半，其中的一半就是它的1／2”的例子來(lái)陳述對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解。比如，學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱”，學(xué)生并不需要死板地記住書上的文字定義，可以描述春節(jié)時(shí)在大門上貼春聯(lián)的場(chǎng)景，講述兩幅聯(lián)是如何憑借門縫、鎖扣等物品來(lái)達(dá)到對(duì)稱的，這同樣觸及“對(duì)稱”的本質(zhì)?？傊?，熟悉的生活場(chǎng)景、日常事例會(huì)讓學(xué)生在腦海里自動(dòng)浮現(xiàn)出一幅幅生動(dòng)的畫面，數(shù)學(xué)知識(shí)就浸潤(rùn)在這畫面中，往后，即便所學(xué)知識(shí)遺忘了，但是只要提到“切西瓜”“貼對(duì)聯(lián)”，那遺忘的東西或許又神奇地再次“長(zhǎng)”出來(lái)。

2.畫

喜愛(ài)畫畫是兒童的天性，他們大膽的想象和怪異的思維都可以“傾注”到畫面上。我教一年級(jí)的時(shí)候，就曾碰到一個(gè)對(duì)學(xué)習(xí)總是提不起興趣的學(xué)生，但是有一次做練習(xí)開(kāi)放題“看到34，你想到什么？”時(shí)，他在數(shù)位圖畫珠子表示了34，我對(duì)他大大地表?yè)P(yáng)一番。沒(méi)想到，這個(gè)學(xué)生下了課后坐在座位上哪都不去，一股腦兒地畫起數(shù)位圖，從兩個(gè)數(shù)位的畫到三個(gè)數(shù)位、四個(gè)數(shù)位，還寫出了346、1273等多位數(shù)。盡管這些數(shù)他還不知道怎么讀，表示什么意思，但是，他完成沉浸在自己“畫數(shù)學(xué)”的世界里。前幾年，我們?cè)诙昙?jí)嘗試進(jìn)行了“數(shù)學(xué)繪畫日記”的研究，引導(dǎo)學(xué)生采用日記的形式，借助于繪畫的方式，把現(xiàn)實(shí)生活中親眼所見(jiàn)的、親身經(jīng)歷的、具有一定數(shù)學(xué)內(nèi)涵的情景畫出來(lái)，并用簡(jiǎn)潔的文字把隱藏在特定情景中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵講述出來(lái)。沒(méi)想到，學(xué)生真的把繪畫當(dāng)成了一種“特殊的語(yǔ)言”，創(chuàng)作出了四千多幅作品。

比如日記《跳了多遠(yuǎn)》中，學(xué)生用圖文結(jié)合的方式敘述了“把尺放反了”鬧出的測(cè)量笑話：

今天，許教師帶我們?nèi)ヌh(yuǎn)。輪到我跳時(shí)，我單腳居然跳了173厘米！我非常得意，但他們說(shuō)不對(duì)勁，我一看，當(dāng)時(shí)的得意勁全沒(méi)了。原來(lái)米尺用反了，是從100向1數(shù)的，我想“100－73＝27（厘米）”，于是連忙說(shuō)：“錯(cuò)了，錯(cuò)了！是 127 厘米！”大家都跑過(guò)來(lái)，他們一看：果然如此！其實(shí)生活中的數(shù)學(xué)真多??！就讓我們一起在這個(gè)奇妙的世界中探索吧！

事實(shí)上，我們不難發(fā)現(xiàn)，只要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有了圖畫，有了畫面，學(xué)生的眼神都變亮了，精神勁也更足。更何況，“人小鬼大”，只要放開(kāi)來(lái)，學(xué)生的創(chuàng)意無(wú)限，不僅給我們帶來(lái)驚喜，也給學(xué)習(xí)增添了活力。

3.做

主要是指操作、表演等通過(guò)動(dòng)作、體態(tài)來(lái)完成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。一個(gè)學(xué)生如果能用小棒擺出“5的分成”，那他就不難學(xué)會(huì)“5以內(nèi)的加減法”、“一圖四式”等。一個(gè)學(xué)生如果能說(shuō)出“兩腳并攏，兩只手臂分別前平舉和側(cè)平舉就是直角，再逐漸張開(kāi)手臂就是大大的鈍角，往里收就是比較小的銳角”，足以說(shuō)明他對(duì)角的認(rèn)識(shí)清晰到位了。做，它更加突出了過(guò)程，更加凸顯了自主，也更加體現(xiàn)了創(chuàng)新和實(shí)踐，這些都是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)有之義。

總的說(shuō)來(lái)，“說(shuō)”“畫”“做”等直觀性的行為方式是視覺(jué)與思維相結(jié)合，感性和理性相結(jié)合，自主與自由相結(jié)合，也是數(shù)學(xué)與生活相結(jié)合?？梢哉f(shuō)，“直觀”形態(tài)是“直觀”學(xué)習(xí)的前提、基礎(chǔ)和重要支撐，在“直觀”學(xué)習(xí)的探索和研究中，“直觀”的意義變得更加豐富而多元。

當(dāng)然，需要指出的是，長(zhǎng)期以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也一直關(guān)注“直觀”學(xué)習(xí)，有時(shí)真正有點(diǎn)“過(guò)頭”了，比如，過(guò)分相信自己的眼睛——看到的就是對(duì)的，過(guò)分相信自己的操作——量到的就是準(zhǔn)的。事實(shí)上，在直觀中適度孕育抽象，在感性中培植理性，才是數(shù)學(xué)之靈魂，是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之根本。這一點(diǎn)，將在下一期“孕育數(shù)學(xué)理性”的專題中探討。