雙層規(guī)劃模型在滬寧城際鐵路客票價(jià)格優(yōu)化中的應(yīng)用

程 謙

（南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 運(yùn)輸管理學(xué)院，江蘇 南京 210031）

雙層規(guī)劃模型在滬寧城際鐵路客票價(jià)格優(yōu)化中的應(yīng)用

程 謙

（南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 運(yùn)輸管理學(xué)院，江蘇 南京 210031）

以滬寧城際鐵路7個(gè)OD（origin-destination）對(duì)為問題研究和分析的對(duì)象，對(duì)不同時(shí)段各次列車上座率的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。根據(jù)收益管理差別定價(jià)的基本思想，構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型，定量分析了在基于收益最大化的情況下合理分配客流的差別定價(jià)方法，并在給定條件下進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果表明在收益增加的情況下可以有效均衡客流。

城際鐵路；客票定價(jià)；雙層規(guī)劃；差別定價(jià)；收益管理

1　概述

2010-07滬寧城際鐵路開通運(yùn)營(yíng)。目前，該線路日均開行動(dòng)車組列車120對(duì)。每列動(dòng)車組（重聯(lián)編組）可售席位1 218張。滬寧城際本線動(dòng)車組單向輸送能力為日均近15萬人。滬寧區(qū)段（南京站—上海站）每天從6∶00到23∶00共開行動(dòng)車組30對(duì)，列車最小間隔時(shí)間為5 min。

動(dòng)車組已成為滬寧城際間的主要交通工具。從收益角度看，滬寧城際線路已成為鐵路總公司高速動(dòng)車開行較好的地區(qū)。但是對(duì)滬寧城際動(dòng)車組日均上座率歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，滬寧城際已開行動(dòng)車組的日上座率差異很大，如圖1所示。上座率最高與最低相差90%左右。這一情況與動(dòng)車的開行時(shí)刻、客流需求、票價(jià)體系、售票組織、?？空镜榷喾N因素有關(guān)。根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，在假定其他條件不變的情況下，影響動(dòng)車上座率的主要原因是動(dòng)車的票價(jià)體系。構(gòu)建有效的客票價(jià)格優(yōu)化模型能夠針對(duì)客流變化定量分析。對(duì)于上座率較低的動(dòng)車組實(shí)行折扣票價(jià)，可以吸引客流，削峰填谷，均衡客流，合理運(yùn)輸；同時(shí)也為合理定價(jià)提高上座率提供理論依據(jù)。

圖1　日均上座率分析圖（2012-12～2013-05）

2　雙層規(guī)劃模型

現(xiàn)實(shí)中很多決策問題是由多個(gè)具有層次性的決策者組成，這些決策者具有相對(duì)的獨(dú)立性，某一層次的決策者只是通過自己的決策而產(chǎn)生的行為去影響下（從屬）層次的決策者，不直接干涉下層次決策者的決策，而下層決策者只需把上層的決策作為參數(shù)或約束，決策者可以在自己的可能范圍內(nèi)自由決策。如果決策系統(tǒng)只有一個(gè)上、下層關(guān)系時(shí)，這樣的決策系統(tǒng)通常稱為雙層規(guī)劃問題。雙層規(guī)劃問題最初是由Von Stackelberg于1952年在研究市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問題時(shí)提出的，因此有時(shí)也稱為Stackelberg問題［1］。

動(dòng)車組的客票價(jià)格優(yōu)化問題可以看作是一個(gè)雙層規(guī)劃問題，其中決策部門即鐵路企業(yè)是指導(dǎo)者（Leader），旅客的出行行為或者交通需求為跟隨者（Follower）。旅客在出行時(shí)對(duì)于出行方式的選擇是完全自主的，旅客通過對(duì)現(xiàn)有的出行方式進(jìn)行比較，然后根據(jù)自己的需要以及自己的行為習(xí)慣來選擇出行方式。鐵路企業(yè)可以通過票價(jià)和服務(wù)質(zhì)量等方面的改變來影響旅客的選擇行為，但不能控制他們的選擇行為。

四兵鋒等（2001）在考慮了公路、鐵路、航空等多模式競(jìng)爭(zhēng)的情況下構(gòu)建了一個(gè)基于固定需求的雙層規(guī)劃模型來描述合理制定旅客票價(jià)問題［2］，同時(shí)也針對(duì)該模型給出了基于靈敏度分析的啟發(fā)式算法［3］。

一般來說，雙層規(guī)劃模型具有如下形式：

其中y（x）由以下模型給出：

從上面兩式可以看出，雙層規(guī)劃模型由兩個(gè)子模型（U）和（L）構(gòu)成。其中U為上層規(guī)劃，L為下層規(guī)劃。F為上層規(guī)劃所確定的目標(biāo)函數(shù)；x為上層規(guī)劃的決策變量；G為對(duì)變量x的約束；f為下層所確定的目標(biāo)函數(shù)；y為下層規(guī)劃的決策變量；g為對(duì)變量y的約束；y（x）是反應(yīng)函數(shù)。

鐵路企業(yè)的決策目標(biāo)是在政府規(guī)定的范圍內(nèi)使得鐵路客運(yùn)經(jīng)濟(jì)效益最大化，這一目標(biāo)可以通過模型（U）來描述；旅客在不同動(dòng)車組列車之間的選擇，這是鐵路客流在不同車次之間的分配問題。在對(duì)動(dòng)車的選擇上，不同的旅客有不同的選擇。公務(wù)旅客會(huì)更多地注重速度、方便程度，而不太注重價(jià)格。經(jīng)濟(jì)條件一般的旅客則會(huì)更多地注重價(jià)格，較少注重舒適度、方便性等?？傊每蛡兛偸橇D選擇在起終點(diǎn)間總的廣義出行效用（包括出行時(shí)間、票價(jià)、方便舒適度等）最小的一趟列車，這一目標(biāo)可以通過模型（L）來描述。顯然，上層規(guī)劃的決策變量應(yīng)為客票價(jià)格，下層規(guī)劃的決策變量應(yīng)為不同動(dòng)車的客流量。兩者是相互作用、相互影響的。在其他因素不變的情況下，某時(shí)段動(dòng)車實(shí)行折扣票價(jià)，那么該趟動(dòng)車就會(huì)吸引其他時(shí)段動(dòng)車的部分客流，使得本列動(dòng)車客運(yùn)需求增加；相反，如果某時(shí)段動(dòng)車客票價(jià)格上升，那么相應(yīng)客流量也會(huì)轉(zhuǎn)移到其他時(shí)段動(dòng)車上。雙層規(guī)劃的相互作用、相互影響的結(jié)果就是取得共同的平衡點(diǎn)，在不同的列車之間達(dá)到一種客流分配的穩(wěn)定狀態(tài)。

3　模型的建立

3.1旅客出行選擇模型

1952年Wardrop首次提出交通平衡分配原則［4］。平衡分配原則可描述如下，在OD間所有可供選擇的路徑中，用戶所使用的各條路徑的出行費(fèi)用全部相等，并且不大于未被使用的路徑的出行費(fèi)用。以上原則也稱為UE（User Equilibrium）原則。

城際間動(dòng)車組客流分配可以借鑒UE原則，旅客對(duì)車次的選擇總是力圖選擇從起點(diǎn)到終點(diǎn)之間廣義出行費(fèi)用最低的交通方式。而出行費(fèi)用是隨著流量的增加而上升的。比如所有的旅客都選擇某一時(shí)刻的動(dòng)車，那么隨著該動(dòng)車流量需求的增加，它的總的出行費(fèi)用就會(huì)上升，例如排隊(duì)、擁擠、服務(wù)質(zhì)量下降等。這樣就會(huì)有一部分旅客放棄選擇該次動(dòng)車，而改選其他時(shí)段車次。同理，其他車次的出行費(fèi)用也會(huì)隨著流量需求的增加而上升。最終不同的動(dòng)車之間會(huì)達(dá)到一種流量分配的穩(wěn)定均衡狀態(tài)。任何一種新票價(jià)體系的執(zhí)行，都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)上客流量達(dá)到一個(gè)新的平衡狀態(tài)。因此，制定任何一項(xiàng)票價(jià)政策都要考慮旅客對(duì)票價(jià)的反應(yīng)，即新的流量平衡點(diǎn)。

當(dāng)旅客在不同車次的動(dòng)車之間選擇時(shí)，在一個(gè)OD對(duì)上所有可供選擇的開行車次中，有旅客乘坐的各時(shí)段動(dòng)車的廣義出行費(fèi)用全部相等，并且不大于無旅客乘坐的動(dòng)車的出行費(fèi)用。用數(shù)學(xué)形式描述這種用戶均衡狀態(tài)如下：

式中：μrs為平衡狀態(tài)下OD對(duì)r - s之間的費(fèi)用；為 r - s間第k次動(dòng)車費(fèi)用；為相應(yīng)的路徑交通需求。

任意OD間，多次城際動(dòng)車開行條件下的客運(yùn)需求分配問題可以采用以下數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來描述：

其中函數(shù)f是不同動(dòng)車組的廣義費(fèi)用函數(shù)，自變量就是不同車次的客流量。即；約束條件表示不同動(dòng)車總的客流需求是已知并且固定的，Qrs表示OD對(duì)rs間總的客流需求。作為自變量的q應(yīng)滿足非負(fù)約束。

很明顯，該模型是一個(gè)帶線性等式和非負(fù)約束的極小值問題，運(yùn)用拉格朗日乘子法，可推出該問題的一階條件。該問題的拉格朗日函數(shù)如下：

其中μrs和分別為規(guī)劃（4）等式約束與非負(fù)約束的拉格朗日乘子。則該問題的一階極小值條件為：

對(duì)以上約束條件作如下計(jì)算：

可以看出，式（7）與式（3）是等價(jià)的。廣義費(fèi)用函數(shù)f（x）是隨著客流量的增加而遞增的，因此，它對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)是非負(fù)的，模型的目標(biāo)函數(shù)的Δ2z（q）（海賽矩陣）是正定的，所以該模型是一個(gè)凸規(guī)劃問題，有解且唯一［5］。

3.2收益管理模型

模型（4）描述了在固定需求下客流在不同動(dòng)車之間分配的問題。這是從旅客出行的角度出發(fā)的。即對(duì)于旅客來說，他（她）們總是選擇廣義出行費(fèi)用最小的開行車次。所以模型（4）所得到的解是在客票價(jià)格、出行時(shí)間、舒適程度、運(yùn)輸能力等綜合因素已經(jīng)確定的情況下，總的需求量在不同的交通方式之間的分配，也就是確定各種交通方式的流量。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)雙層規(guī)劃模型來尋求最佳的城際動(dòng)車組票價(jià)策略以達(dá)到期望指定的目標(biāo)。

而從鐵路客運(yùn)管理部門的角度來看，作為運(yùn)輸企業(yè)，參與市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的主要目的在于使其經(jīng)濟(jì)效益最大化［6］。假定在城際運(yùn)輸中，rs表示城市r到城市s間的OD對(duì)，第k（ k∈Kh次動(dòng)車的票價(jià)為，則鐵路客運(yùn)的總收益可表示為，

同時(shí)，鐵路運(yùn)輸具有一定的公益性，政府對(duì)鐵路客票價(jià)格具有指導(dǎo)作用。因而rs的OD間存在著最低票價(jià)，也存在著最高票價(jià)，則客票價(jià)格的約束范圍可用下式表示：

構(gòu)建鐵路企業(yè)收益管理模型如下：

3.3基于收益最大化的城際鐵路客票價(jià)格優(yōu)化模型

根據(jù)上文描述，構(gòu)建如下模型表示鐵路企業(yè)收益與旅客乘車選擇之間的行為模式。

上層規(guī)劃模型表示鐵路企業(yè)在政府限定的范圍內(nèi)制定最優(yōu)票價(jià)使得鐵路客運(yùn)的經(jīng)濟(jì)效益最大。而下層規(guī)劃模型描述了在競(jìng)爭(zhēng)條件下的鐵路城際客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中，客流在不同車次之間的分配模式，模型的目標(biāo)是乘客出行的廣義費(fèi)用最小。

4　模型計(jì)算

陳建華等（2005）提出應(yīng)用SAB（Sensitivity Analysis Based Algorithm）算法簡(jiǎn)化反應(yīng)函數(shù)以求解雙層規(guī)劃問題［7］。本文將滬寧城際鐵路日內(nèi)動(dòng)車組的開行劃分為3個(gè)基本時(shí)段，即時(shí)段（1）、時(shí)段（2）、時(shí)段（3）。以f 表示動(dòng)車組上座率。則有：

時(shí)段（1）： f≥100%；

時(shí)段（2）：75%≤f≤100% ；

時(shí)段（3）： f≤75%

為研究方便，挑選滬寧下行區(qū)段8個(gè)車站。以南京站作為始發(fā)站包含7個(gè)OD對(duì)。只考慮固定客流情況下動(dòng)車組間客流分配，背景網(wǎng)絡(luò)屬于單模式運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)。可供選擇有3個(gè)時(shí)段，不同時(shí)段旅客出行的廣義費(fèi)用函數(shù)采用冪函數(shù)形式：

表1　常量數(shù)據(jù)表

假定時(shí)段（2）動(dòng)車組客票價(jià)格為現(xiàn)行基準(zhǔn)價(jià)格。時(shí)段（1）、（3）采用動(dòng)態(tài)價(jià)格，客票價(jià)格上下限已知，客運(yùn)價(jià)格如表2所示。

表2　客運(yùn)價(jià)格表

計(jì)算中參數(shù)值給定如下：a=2、b=0.2、α1=0.52、α2=0.48、ξ=0.01。時(shí)段（1）與時(shí)段（3）計(jì)算結(jié)果如表3、表4所示。在計(jì)算中，不同OD對(duì)間的票價(jià)初始值是以現(xiàn)行價(jià)格為基礎(chǔ)給出的。應(yīng)用SAB算法很難得到全局最優(yōu)解，但是應(yīng)用該方法計(jì)算得出的結(jié)果作為制定動(dòng)車組浮動(dòng)票價(jià)的依據(jù)是可行的。根據(jù)計(jì)算結(jié)果實(shí)施動(dòng)態(tài)定價(jià)可以對(duì)日間客流的不均衡性起到削峰填谷的作用，同時(shí)也能夠使鐵路部門收益最大化。

表3　時(shí)段（1）計(jì)算結(jié)果表

最優(yōu)票價(jià)如表5所示。根據(jù)表5，在研究背景網(wǎng)絡(luò)全日開行的動(dòng)車組列車中，對(duì)時(shí)段（1）范圍內(nèi)的動(dòng)車組列車實(shí)施上浮票價(jià)政策，對(duì)時(shí)段（3）范圍內(nèi)的動(dòng)車組列車實(shí)施下浮票價(jià)政策，通過票價(jià)引導(dǎo)客流變化，可以更好地均衡客流。剔除其他因素影響，在給定客流條件下，應(yīng)用表5給出的動(dòng)態(tài)價(jià)格方案測(cè)算，鐵路部門當(dāng)日總收入為1 566 308元，在固定票價(jià)條件下當(dāng)日總收入1 510 770元，采用動(dòng)態(tài)價(jià)格可實(shí)現(xiàn)增收3.6%［8］。

表4　時(shí)段（3）計(jì)算結(jié)果表

表5　最優(yōu)票價(jià)表

5　結(jié)論

本文研究了雙層規(guī)劃模型在城際動(dòng)車組客票價(jià)格優(yōu)化中的應(yīng)用，以滬寧城際動(dòng)車組相關(guān)客流數(shù)據(jù)為研究背景對(duì)價(jià)格優(yōu)化模型進(jìn)行了求解。根據(jù)計(jì)算結(jié)果確定了不同時(shí)段的動(dòng)態(tài)票價(jià)數(shù)據(jù)，與實(shí)際比較，售票收入有了一定的提高。

在計(jì)算過程中，相關(guān)參數(shù)的確定并沒有大量客流統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析作為支撐，在對(duì)折扣時(shí)段的劃分中也沒有與各站間旅客運(yùn)輸組織、列車運(yùn)行計(jì)劃相結(jié)合，這些問題應(yīng)作為后續(xù)研究的方向。

［1］四兵鋒，高自友.交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)流量分析與優(yōu)化建模［M］.北京：人民交通出版社.2013.

［2］四兵鋒，高自友.合理制定鐵路客票價(jià)格的優(yōu)化模型計(jì)算法［J］. 管理科學(xué)學(xué)報(bào) 2001，4 （2）： 45-51.

［3］四兵鋒，高自友. 城市間旅客列車的票價(jià)與流量的靈敏度分析［J］. 北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)2001，25（2）：49-53.

［4］黃海軍.城市交通網(wǎng)絡(luò)平衡分析-理論與實(shí)踐［M］.北京：人民交通出版社.1994.

［5］胡毓達(dá).非線性規(guī)劃［M］.北京：高等教育出版社.1990.

［6］榮朝和.西方運(yùn)輸經(jīng)濟(jì)學(xué)［M］.北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社.2008.

［7］陳建華，高自友.合理制定鐵路旅客票價(jià)的優(yōu)化方法［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2005：16-19.

［8］王甦男，賈俊芳.旅客運(yùn)輸［M］.北京.中國(guó)鐵道出版社.2008.

Research on Bi-level Programming Model for Ticket Price Optimization for Shanghai-Nanjing Inter-city Railway

Chen Qian
（School of Transportation and Management， Nanjing Institute of Railway Technology， Nanjing 210031， China）

This paper choose seven OD （origin-destination） form Shanghai-Nanjing inter-city railway and analyzed history data of attendance rate at different period for every train. Based on max profit， a bi-level programming model was constructed. It quantitatively analyzed the price discrimination method for rational distribution of passenger flow according to basic idea of revenue management and differential pricing. The conclusion showed that passenger flow had been balanced while profit increased.

inter-city railway；ticket pricing；bi-level programming；differential pricing；revenue management

F532.5

A

1672-9889（2015）02-0077-04

2014-08-01）

程謙（1977-），男，河南鞏義人，講師，主要從事軌道交通運(yùn)輸教學(xué)與科研工作。