分行剪紙

常文武

分形聽起來高深莫測，其實只當它是一種自相似的玩意就好了，如圖所示就是謝爾賓斯基三角形和謝爾賓斯基地毯的立體效果圖。

看過分形圖后，想到要通過剪紙方法剪出分形，你一定會覺得難，

然而令人不可思議的是，通過此文介紹的方法，你不但可以剪出漂亮的分形圖，而且分形圖還是立體效果的呢！

那我們就開始吧！取A4紙一張，剪刀一把。

步驟：

1.把A4紙的短邊對齊短邊折成雙層，

2.在紙面上通過折紙找到水平和垂直的兩條中軸線。

問題1：什么是分形？

李辰緣：分形圖形一般是極不規(guī)則、分布不均，但在各種放大和縮小的尺寸上都有著近乎相似的形狀。

馮燁：分形的單詞是數(shù)學(xué)家曼德爾布·羅特根據(jù)拉丁文對其加以改造的，其含義是不規(guī)則的、瑣碎的，我國就把它翻譯成“分形”。

王偉業(yè)：通過查閱資料，我了解到分形幾何是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，其研究的領(lǐng)域以及應(yīng)用面無比廣闊——它被廣泛用于設(shè)計雕塑、繪畫、服裝、家居等各行各業(yè)。

問題2：你看過哪些有關(guān)分形的書，可以介紹給大家嗎？

王偉業(yè)：《英國的海岸線有多長》給我留下深刻的印象，它是由20世紀70年代的著名數(shù)學(xué)家曼德爾布·羅特所寫，其主要內(nèi)容是探討英國海岸線的長度，具有一定的思想深度，另外，張濟忠的《分形》也不錯，頗受廣大讀者喜愛，你若有興趣，閑暇時也可翻閱一下。

3.用剪刀在折痕中點垂直于折痕剪開，刀口到中心處停下來，

4.把左下角的紙沉折到里面去，為此需再折兩道痕同時改變上一道折痕的方向，效果圖如下，

（注：沉折，折紙術(shù)語，就是將所指的部位，壓入紙張內(nèi)部，）

至此，我們來分析一下，剪開前的一道折痕現(xiàn)在成了4道短折痕：3道是山線，1道是谷線，

（注：山線就是凸起的折痕，谷線就是凹下的折痕。）

前面提到了自相似，現(xiàn)在看到的3道山線，每道都可當它是第一次剪開所碰到的那道折痕，因為它們的右邊都有一個長方形也是豎直擺放的，只不過小了一號了。

明白了這一點，我們就可以繼續(xù)下去了，如果你的剪刀夠鋒利，就可以兩次搞定，如圖，

問題3：你找到了哪些令你驚嘆的分形圖形，愿意拿出來與大家分享嗎？

王迎新：西蘭花便是一種分形圖形。小編：看看還有什么？分形樹葉、分形樹。

問題4：說說你對分形的了解與體會。

王偉業(yè)：每一張分形圖都是關(guān)神賦予我們最好的禮物，隨著計算機技術(shù)的不斷進步，越來越多唯關(guān)的分形作品被創(chuàng)造，但分形中最經(jīng)典的，自然要數(shù)謝爾賓斯基的三角形了，它具有嚴格的自相似特點，相傳在一個世紀前，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，人們驚奇地發(fā)現(xiàn)謝爾賓斯基三角形的面積居然為O！這令當時的數(shù)學(xué)家們百思不得其解，掌握了一定分形知識的你知道這是怎么回事嗎？

問題5：談?wù)勀銓τ谡奂?、剪紙藝術(shù)與數(shù)學(xué)的看法，

吳藍琨：折紙、剪紙都算是一種技藝，然而這種技藝與數(shù)學(xué)是分不開的。

接下來該怎么辦你一定知道了，把刀口下方的3條山線沉折到里面，效果如下圖，

毋庸贅述，上面的過程理論上顯然是可以無限發(fā)展下去的，但實際上只能重復(fù)做有限次，下圖展示了再通過兩次細化后打開得到的效果。給它起個名字叫獅身人面像，像嗎？

劉芳寧：有時一些數(shù)學(xué)問題，也能通過折紙、剪紙這種形象的方法來展現(xiàn)，

蔣卓珺：折紙、剪紙藝術(shù)很難離開數(shù)學(xué)規(guī)律，數(shù)學(xué)給人帶來關(guān)和藝術(shù)。

王偉業(yè)：數(shù)學(xué)是靈魂、剪紙是肉體，正是由于數(shù)學(xué)與剪紙藝術(shù)那靈與肉的完美結(jié)合，使得數(shù)學(xué)由枯燥抽象的理論轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?、有趣、具體的視覺效果，化繁雜為簡單，化抽象為具體，可以說剪紙搭起了數(shù)學(xué)與藝術(shù)的橋梁！

問題6：你還有什么想告訴小伙伴們的嗎？

趙晟皓：記得以前看過一組圖片，講的是雪花的分形，眾所周知，雪花是一個正六邊形的輪廓，在六個角上會有類似樹杈狀的分支，其與整片雪花的形狀是大致相同的，而在這分叉的分叉上也會有一個類似原雪花的形狀，其也是一個分形圖，分形這門學(xué)科十分強大，被推廣到了許多領(lǐng)域，甚至是社科領(lǐng)域，乃至玄學(xué)，我認為其本身也有一定的哲學(xué)意味，象征著在某些地方局部事物與整體具有統(tǒng)一性，將剪紙與數(shù)學(xué)結(jié)合在一起，具有啟發(fā)性。

王偉業(yè)：從無知到有知，從無形到有形，從曼德爾布·羅特剛提出分形概念到今天我們討論謝爾賓斯基三角形，無不體現(xiàn)了我們?nèi)祟惖奶剿骶瘢@種不畏艱難、勇求上進的探索精神，不正是我們每個人都需要的嗎？

陳子豪：多動手，多動腦，常思考所遇到新知識，嘗試新方法，探索未知領(lǐng)域。

老師點評

分形幾何源于20世紀70年代，發(fā)展時間雖短暫卻速度迅猛，成為人人樂于研究的一門數(shù)學(xué)分支，在于其奇趣、美妙，引人入勝，分形是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造，且可以在自然界中被找到，這使得它們被劃入藝術(shù)作品的范疇，把玩分形，欣賞分形，感悟數(shù)學(xué)，源于生活，表現(xiàn)生活，豐富生活。

——江蘇省徐州市第一中學(xué) 張培強

謝爾賓斯基三角形是波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，它是分形圖形的典型例子，同學(xué)們認識它可能還是學(xué)習(xí)了等比數(shù)列之后，通常我們作謝爾賓斯基三角形的方法是：先作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，以此類推，用剪刀來剪出謝爾賓斯基三角形，更是博人眼球，同學(xué)們趕快拿起剪刀來試一試吧！要剪出文中的獅身人面像，除了按照文章中步驟剪，還要再加工，聰明的你能發(fā)現(xiàn)嗎？

——江蘇省江陰要塞中學(xué) 李紅