基于區(qū)間因子法的龍門起重機(jī)主梁動力學(xué)響應(yīng)分析*

秦仙蓉 徐德樺 吳 瓊 張 氫 孫遠(yuǎn)韜

同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804

0 引言

龍門起重機(jī)是碼頭堆場中的重要設(shè)施，不僅可以改善工人的操作條件，減少勞動強(qiáng)度，還可以提高碼頭堆場的裝卸效率，保障生產(chǎn)質(zhì)量和安全性。因此，對龍門起重機(jī)的性能要求越來越嚴(yán)苛，不但需要其具備剛性好、質(zhì)量輕、作業(yè)領(lǐng)域廣等特點(diǎn)，同時還要求其具有在大車、小車高速運(yùn)行下保持平穩(wěn)。工程機(jī)械中研究結(jié)構(gòu)的固有特性、靜力學(xué)和動力學(xué)響應(yīng)通常基于確定性的結(jié)構(gòu)參數(shù)、運(yùn)動參數(shù)和外載荷，但實(shí)際上由于加工和測量誤差等因素，使得材料屬性、外載荷、初始條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)也會存在誤差和不確定性。盡管在絕大多數(shù)情況下，這種誤差和不確定性較小，但對于多種不確定性參數(shù)組成的系統(tǒng)來說，這種不確定性的集合可能會使結(jié)構(gòu)的固有屬性、靜力學(xué)和動力學(xué)響應(yīng)產(chǎn)生較大的誤差。因此，能夠較精確地估算出不確定性參數(shù)對結(jié)構(gòu)固有特性以及振動響應(yīng)的影響，對工程結(jié)構(gòu)設(shè)計具有非常重要的意義。

處理不確定性問題的方法主要有區(qū)間分析法、模糊模型法、概率法以及凸模型法等。馬梁等[1]利用區(qū)間集合模型來研究結(jié)構(gòu)不確定性的靜力學(xué)和動力學(xué)問題；在研究隨機(jī)桁架結(jié)構(gòu)的振動特性方面，Chen J J等[2]首先提出用隨機(jī)因子法求解隨機(jī)桁架問題；高偉等[3]重點(diǎn)研究了隨機(jī)剛架結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)響應(yīng)問題，基于材料參數(shù)以及結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的不確定性，理論推導(dǎo)出在平穩(wěn)隨機(jī)激勵作用下結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力響應(yīng)的不確定性，并通過具體算例討論了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、材料參數(shù)對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響；馬娟等[4,5]基于區(qū)間有限元分析理論，針對非概率以及不確定性的桁架結(jié)構(gòu)提出了一種區(qū)間因子法。

本文從建立勻速的移動載荷作用在簡支梁上的運(yùn)動微分方程出發(fā)，利用振型疊加的原理求解出模態(tài)坐標(biāo)的解析表達(dá)式；再結(jié)合區(qū)間運(yùn)算法和區(qū)間因子法，導(dǎo)出在不確定性簡支梁中結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)區(qū)間變量的區(qū)間分散性與結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)（梁長、截面慣性矩）、運(yùn)動參數(shù)（速度）、物理參數(shù)（彈性模量、單位長度質(zhì)量）和外載荷區(qū)間分散性之間的關(guān)系；最后將理論結(jié)果應(yīng)用到龍門起重機(jī)主梁分析中，分析討論不確定性參數(shù)對龍門起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響。

1 簡支梁對移動載荷的動力學(xué)響應(yīng)

假設(shè)幅值為pu的集中載荷p（x，t）以速度v在簡支梁上勻速移動，載荷的初始位置位于梁的左支座，如圖1所示[6]，即有

圖1 移動載荷作用下的簡支梁

則梁的r階模態(tài)方程可表示為

式中：mr為簡支梁的r階模態(tài)質(zhì)量，E為彈性模量，I為截面慣性矩，t為時間，pu為移動載荷，v為移動載荷的速度，L為簡支梁的長度，r為模態(tài)階次，qr（t）為r階模態(tài)坐標(biāo)。

將式（2）做進(jìn)一步簡化，可表示為

取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，可以求得式（3）的穩(wěn)態(tài)解為

根據(jù)振型疊加法，簡支梁在移動載荷作用下的撓度可表示為

在求解出簡支梁的位移響應(yīng)之后，根據(jù)有限單元法可知任一單元e在移動載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)為

式中：σ（e）（t）、w（e）(x，t)分別為單元e的單元應(yīng)力列陣、節(jié)點(diǎn)位移列陣，Y（e）為單元e的應(yīng)變矩陣。

2 區(qū)間因子法

根據(jù)區(qū)間矩陣的表達(dá)方法和含義，不確定參數(shù)矩陣B可表示為

式中：B I為不確定參數(shù)區(qū)間矩陣。

不確定參數(shù)區(qū)間矩陣的均值矩陣BM以及半徑矩陣ΔB可表示為

本文中下標(biāo)M代表對應(yīng)區(qū)間變量的均值，則不確定參數(shù)區(qū)間矩陣可表示為

本文中下標(biāo)L、U分別代表對應(yīng)區(qū)間變量的下界和上界，進(jìn)而不確定參數(shù)矩陣B可寫成確定性矩陣和不確定性矩陣之和，即

將第r階模態(tài)坐標(biāo)qr（B，t），r＝（1，2，…，n），在BM處展開成一階泰勒級數(shù)。

經(jīng)過區(qū)間運(yùn)算，便可得第r階模態(tài)（r＝1，2，…，n）的模態(tài)坐標(biāo)區(qū)間的上界和下界分別為

對于單個區(qū)間變量來討論區(qū)間因子的表達(dá)式，設(shè)qIr＝[qrL，qrU]為一區(qū)間變量，則根據(jù)式（9）可得

由此，區(qū)間因子可表示為

簡支梁結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的區(qū)間變量的不確定性與結(jié)構(gòu)幾何尺寸（截面慣性矩I、梁長L）、結(jié)構(gòu)物理參數(shù)（彈性模量E、單位長度的質(zhì)量ρ）、外載荷幅值（Pu）和外載荷移動速度v有關(guān)。

基于此，結(jié)合區(qū)間因子法，將上述不確定性簡支梁參數(shù)進(jìn)行參數(shù)組合。

1）參數(shù)組合1 考慮簡支梁的截面屬性的不確定性和外載荷幅值的不確定性影響，其中不確定性參數(shù)慣性矩I和外載荷幅值Pu的區(qū)間為

2）參數(shù)組合2 在慣性矩I、外載荷幅值Pu同時具有不確定性的基礎(chǔ)上，使梁長L和外載荷移動速度v為不確定性參數(shù)，其區(qū)間為

3）參數(shù)組合3 慣性矩、外載荷幅值、梁長度、外載荷移動速度、彈性模量和單位長度質(zhì)量均為不確定性參數(shù)，其區(qū)間分別為

3 簡支梁動力學(xué)響應(yīng)的不確定性

在此，主要討論模態(tài)坐標(biāo)的區(qū)間因子和由模態(tài)坐標(biāo)的不確定性導(dǎo)致的位移響應(yīng)和應(yīng)力響應(yīng)的不確定性。首先利用區(qū)間因子法，求梁的第r階模態(tài)的模態(tài)坐標(biāo)的區(qū)間因子。同時，取區(qū)間分散性最大的(t)作為梁的各階模態(tài)坐標(biāo)區(qū)間變量q（rt）統(tǒng)一的區(qū)間因子，即

進(jìn)而由區(qū)間因子法可得簡支梁的位移響應(yīng)區(qū)間變量w(x，t)為

然后，根據(jù)區(qū)間因子法求得單元e的應(yīng)力響應(yīng)區(qū)間變量為

4 龍門起重機(jī)主梁動力響應(yīng)分析

圖2所示為某型軌道式龍門起重機(jī)。對龍門起重機(jī)的主梁進(jìn)行分析，一般是將小車和吊重簡化為一個移動的重物，將主梁的分析問題簡化為移動載荷或移動質(zhì)量作用下梁的振動問題[7，8]。對于起重機(jī)主梁，移動載荷模型或移動質(zhì)量模型得到的撓度值非常接近，偏差值較小。移動載荷模型求解簡單，在工程中較常用。

圖2 軌道式龍門起重機(jī)示意圖

將求得的理論應(yīng)用到軌道式龍門起重機(jī)的主梁動力響應(yīng)分析中，所選取的參數(shù)如表1所示。

表1 龍門起重機(jī)主要參數(shù)

對于龍門起重機(jī)的主梁，根據(jù)經(jīng)驗可知，簡支梁最大位移在梁跨中，即求當(dāng)x＝L/2時，位移響應(yīng)的最大值wmax（L/2，t）。計算得簡支梁的最大位移量wmax＝9.9 mm。同時，在Ansys中建立該算例的有限元模型，得到該起重機(jī)主梁的最大Von Mises等效應(yīng)力為。

在此，考慮梁的截面慣性矩I和梁長L的變化幅度為±5%時，移動載荷Pu和速度v的變化幅度為±5%，彈性模量E和單位長度的質(zhì)量ρ的變化幅度為±5%，求這些參數(shù)不確定性導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)（位移、應(yīng)力）的不確定性如表2所示。其中，最大位移的變化幅度為，最大應(yīng)力的變化幅度為。

表2 龍門起重機(jī)主梁計算結(jié)果

經(jīng)計算可知，當(dāng)簡支梁的慣性矩和外載荷變化幅度為5%時，模態(tài)的區(qū)間因子的變化幅度為7.8%，相應(yīng)位移響應(yīng)最大值和單元e應(yīng)力響應(yīng)最值的區(qū)間因子的變化幅度（見圖3）都為7.8%。

圖3 龍門起重機(jī)在不確定不參數(shù)組合下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的變化范圍

當(dāng)簡支梁的慣性矩、梁長、速度和外載荷變化幅度為5%時，模態(tài)區(qū)間因子的變化幅度為18.6%，相應(yīng)位移響應(yīng)最大值和單元e應(yīng)力響應(yīng)最值的區(qū)間因子變化幅度均為18.6%。對比只改變慣性矩和外載荷的情況，模態(tài)的區(qū)間因子發(fā)生較大波動，說明梁長和外載荷速度對模態(tài)響應(yīng)的影響較大。

當(dāng)簡支梁的慣性矩、梁長、速度、外載荷、彈性模量、單位長度質(zhì)量變化幅度為5%時，模態(tài)區(qū)間因子的變化幅度為23.6%。相應(yīng)位移響應(yīng)最值的區(qū)間因子的變化幅度為23.6%，單元e應(yīng)力響應(yīng)最值的區(qū)間因子變化幅度為29.8%。對比只改變慣性矩和外載荷的情況，模態(tài)的區(qū)間因子發(fā)生較大波動，且波動值的增加速度放緩，說明材料屬性的變化對模態(tài)的影響較小。由圖3b可知，參數(shù)組合3對應(yīng)力不確定性的影響增大，說明彈性模量的不確定性引起了應(yīng)力的不確定性。

5 結(jié)論

對于龍門起重機(jī)主梁上作用移動載荷的問題，應(yīng)用所建立的3種不確定參數(shù)組合模型，在保證結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和外載荷區(qū)間分散性情況相同時，結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的不確定性比載荷參數(shù)的不確定性對梁的動力響應(yīng)的影響更明顯。因此，在龍門起重機(jī)主梁動力學(xué)響應(yīng)的分析中，結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對最大位移變化范圍的不確定性影響較大。材料屬性對最大位移的不確定性影響較小，對最大應(yīng)力的不確定性影響較大。