博克斯—考克斯回歸模型（Box—Cox transformations）的應(yīng)用

李蘭　王琳琳

摘 要：隨著財(cái)政支出模式和支出重點(diǎn)的轉(zhuǎn)變，財(cái)政支出到底人民增收究竟取到多大作用，這將是本文主要探討的，本文主要研究財(cái)政支出對(duì)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村純收入的影響。主要運(yùn)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的博克斯—考克斯回歸模型選擇一個(gè)更為適合的，而不是直接運(yùn)用線(xiàn)性回歸模型，這同時(shí)也是本文的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)還增設(shè)虛擬變量對(duì)模型的影響，把時(shí)期因素引入模型。

關(guān)鍵詞：財(cái)政支出；博克斯—考克斯回歸模型；虛擬變量

一、前言

1、研究背景

本文選取1995年以來(lái)財(cái)政支出及城鎮(zhèn)居民收入和農(nóng)村純收入三個(gè)指標(biāo)，運(yùn)用博克斯—考克斯模型分別分析財(cái)政支出對(duì)二者的影響。張茆在改革開(kāi)放30年政府支出對(duì)城鄉(xiāng)居民生活水平影響效應(yīng)分析中運(yùn)用TVP模型進(jìn)行的實(shí)證分析，結(jié)果表明：政府總支出促進(jìn)了我國(guó)城鄉(xiāng)居民生活水平的提高，但對(duì)城鎮(zhèn)的影響大于農(nóng)村。我們會(huì)認(rèn)為財(cái)政支出對(duì)城鎮(zhèn)居民還是農(nóng)村居民都應(yīng)該是正向的。

2、研究方法

本文主要采用博克斯—考克斯模型來(lái)探索更適合研究財(cái)政支出對(duì)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村純收入影響的模型。

二、構(gòu)造模型：博克斯—考克斯模型

1、模型理論的基本思想

博克斯—考克斯回歸模型 Yλi=β1+β2Xi+μi①

其中λ是一個(gè)可正可負(fù)亦可為零的參數(shù)。由于Y的冪指數(shù)為λ，所以根據(jù)λ值的不同，我們對(duì)Y有不同的變換。方程①被稱(chēng)為博克斯—考克斯回歸模型，因統(tǒng)計(jì)學(xué)家博克斯和考克斯而得名。[2]根據(jù)λ值得不同，我們得到下表所示的各種回歸模型?？梢钥吹?，線(xiàn)性和對(duì)數(shù)線(xiàn)性模型是博克斯—考克斯變換模型中的兩個(gè)特殊情形而已。當(dāng)然，我們也可以對(duì)X變量進(jìn)行這種變換。注意到，有意思的是，當(dāng)λ為零時(shí)，我們得到Y(jié)的對(duì)數(shù)變換。證明略。

由于估計(jì)程序多少有些復(fù)雜。然而，我們也可以利用試錯(cuò)法進(jìn)行估計(jì)。選擇幾個(gè)λ值，并相應(yīng)地對(duì)Y進(jìn)行變換，做回歸方程①便得到變換后每個(gè)回歸的殘差平方和。選擇得到最小殘差平方和的λ值即可[3]。

2、實(shí)證分析，模型的試探選擇

（1）先對(duì)財(cái)政支出、城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村收入運(yùn)用回歸分析分別測(cè)度之間的關(guān)系，基于經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行新的模型運(yùn)用，以此來(lái)選擇一個(gè)更適合的模型。

選擇λ取1、0、—1比較其殘差平方和：λ=1時(shí)，殘差平方和 ∑u2i =6880480系數(shù)1 =0.17；λ=0時(shí)殘差平方和 ∑u2i=0.4126系數(shù)1=1.58；λ =-1時(shí)殘差平方和 ∑u2i系數(shù) 1=-1.66E-09。從殘差平方和最小的角度應(yīng)該選擇λ=—1，但是其X1的系數(shù)為負(fù)，有違常規(guī)，所以略去此項(xiàng)。選擇λ=0。寫(xiě)出模型 logY1=8.53+1.58E-06X1。

從p=0.0000（<0.05）來(lái)看方程和系數(shù)都通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)?；貧w系數(shù)為1.58E-06表示財(cái)政支出每增加一單位，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增加百分之1.58E-06個(gè)單位，從數(shù)據(jù)上來(lái)看，增加的比例特別小，主要原因在于我國(guó)人口基數(shù)大，人均收入的增加收財(cái)政支出從比例上看不明顯，但是由于財(cái)政支出數(shù)額較大，人均收入的總額增加會(huì)較明顯。

（2）對(duì)于隨機(jī)干擾項(xiàng)利用JB檢驗(yàn)[4]進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)

從輸出結(jié)果來(lái)看隨機(jī)干擾項(xiàng)并不服從正態(tài)分布，但JB統(tǒng)計(jì)量的概率值可達(dá)60%，所以認(rèn)為隨機(jī)干擾項(xiàng)符合正態(tài)性假設(shè)。這樣符合模型的基本假設(shè)，說(shuō)明博克斯-考克斯模型的運(yùn)用是合理的。

（3）同樣以對(duì)數(shù)模型對(duì)財(cái)政支出和農(nóng)村收入進(jìn)行分析

logY2=7.52+1.35E-05X1

從p=0.0000來(lái)看方程和系數(shù)都通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)。回歸系數(shù)1.35E-05表示財(cái)政支出每增加一單位，農(nóng)村純收入收入增加百分之1.35E-05個(gè)單位，同樣從數(shù)據(jù)上來(lái)看，增加的比例特別小，主要原因在于我國(guó)農(nóng)村人口基數(shù)大，純收入的增加收財(cái)政支出從比例上看不明顯，但是由于財(cái)政支出數(shù)額較大，純收入的總額增加會(huì)較明顯。較之于財(cái)政支出對(duì)城鎮(zhèn)居民影響的系數(shù)1.58E-06，農(nóng)村純收入受財(cái)政支出影響更大，這與我國(guó)當(dāng)前的農(nóng)業(yè)稅補(bǔ)貼等惠及農(nóng)村的政策相關(guān)。

（4）對(duì)于隨機(jī)干擾項(xiàng)利用Jarque-Bera（JB）檢驗(yàn)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)

Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量是用來(lái)檢驗(yàn)一組樣本是否能夠認(rèn)為來(lái)自正態(tài)總體的一種方法。它依據(jù)OLS殘差，對(duì)大樣本進(jìn)行檢驗(yàn)（或稱(chēng)為漸進(jìn)檢驗(yàn)）。如果JB統(tǒng)計(jì)量值較大，比如為11，則可以計(jì)算出卡方值大于11的概率為0004，這個(gè)概率過(guò)小，因此不能認(rèn)為樣本來(lái)自正態(tài)分布。反之，成立。

從輸出結(jié)果來(lái)看，除去最右端個(gè)別極端異常值，圖形屬于正態(tài)分布的，同時(shí)從JB檢驗(yàn)的概率可知為23%，同樣認(rèn)為隨機(jī)干擾項(xiàng)服從正態(tài)分布的。這樣符合模型的基本假設(shè)，說(shuō)明博克斯-考克斯模型運(yùn)用在財(cái)政支出對(duì)農(nóng)民純收入的影響是合理的。

3、模型檢驗(yàn)與可行性

從Eviews30輸出結(jié)果可以看出每個(gè)模型都通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)，概率值都小于00000。所以我們的模型探索在于選擇更優(yōu)而不是選擇正確的。但是有一個(gè)問(wèn)題值得探討的是，博克斯—考克斯模型選擇的標(biāo)準(zhǔn)是殘差平方和最小的，從前面分析的三個(gè)模型可以看出，經(jīng)典線(xiàn)性回歸、對(duì)數(shù)回歸模型、倒數(shù)回歸模型的殘差平方和一個(gè)比一個(gè)小，問(wèn)題是：模型本身就可以使得殘差平方和變小，而非得到任何優(yōu)勢(shì)？這還是個(gè)人的猜測(cè)，沒(méi)有更好的檢驗(yàn)方法，為此，需要大量翻閱文獻(xiàn)。

三、相關(guān)建議

模型方面：關(guān)于博克斯—考克斯模型中優(yōu)劣的選擇標(biāo)準(zhǔn)只有殘差平方和，是否需要更多的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)值得探討，對(duì)此，個(gè)人沒(méi)有深入研究。同時(shí)博克斯—考克斯模型也是今后做回歸模型時(shí)可以考慮的一個(gè)方向，而不是直接選用經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型。給大家提供了選擇。

實(shí)踐方面：從以上實(shí)證分析可以得知，財(cái)政支出對(duì)人民生活的影響因地區(qū)而異，即農(nóng)村和城鎮(zhèn)居民生活水平的提高不一致。再者，財(cái)政支出的作用也受到時(shí)期的影響。所以在制定財(cái)政支出政策時(shí)，要同時(shí)考慮時(shí)期和地區(qū)因素。為了促進(jìn)中國(guó)人均收入分配的財(cái)政支出政策的有效性，一方面：增加農(nóng)民收入，縮小城鄉(xiāng)居民收入差距?？梢源罅Πl(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)、循環(huán)農(nóng)業(yè)、高效農(nóng)業(yè)等現(xiàn)代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)方式，提高農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，做到自食其力。再者大力發(fā)展農(nóng)村社會(huì)事業(yè)，提高農(nóng)民收入水平。進(jìn)一步加強(qiáng)農(nóng)村基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，通過(guò)財(cái)政補(bǔ)貼和稅收支出的形式，加大對(duì)民間資本的吸引，形成社會(huì)力量廣泛參與的農(nóng)村基礎(chǔ)設(shè)施投入體制。另一方面：調(diào)整財(cái)政支出結(jié)構(gòu)，積極保障和改善民生。優(yōu)先發(fā)展教育投入機(jī)制，努力實(shí)現(xiàn)全社會(huì)教育公平。保證財(cái)政對(duì)教育事業(yè)投入的資金增長(zhǎng)機(jī)制，盡快實(shí)現(xiàn)國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)支出占GDP的比例達(dá)到4%的目標(biāo)，同時(shí)健全社會(huì)保障體系，提高居民應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的能力。（作者單位：貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

[1] 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ).達(dá)摩達(dá)爾· N·古扎拉蒂（DamodarN.Gujarati）唐·C·波特（DawnC.Porter）著

[2] G.E.P.Box and D.R.Cox，“An Analysis of Transformations，”Journal of the Royal Statistical Society，B26，1964，pp.211—243.

[3] John Neter，Michael Kutner，Christopher Nachtsheim，and William wasserman，Applied Linear Regression Models，3rd ed.，Richard D.Irwin，Chicago，1996（一個(gè)容易接受的討論意見(jiàn)）

[4] 見(jiàn)C.M.Jarque and A.K.Bera，：A Test for Normality of Observations and Regression Residuals，”International Statistical Review，vol.55，1987，pp，163-172.