向量?jī)?yōu)化中（C，ε）-真解的一個(gè)非線性標(biāo)量化特征

夏遠(yuǎn)梅，林安，趙克全

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

向量?jī)?yōu)化中（C，ε）-真解的一個(gè)非線性標(biāo)量化特征

夏遠(yuǎn)梅，林安，趙克全

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

利用一類Minkowski型非線性標(biāo)量化泛函及相應(yīng)的分離定理給出了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題（C，ε）-真解的一個(gè)新的非線性標(biāo)量化特征.此外，給出了一些例子對(duì)主要結(jié)果進(jìn)行了解釋.

向量?jī)?yōu)化；（C，ε）-真解；非線性標(biāo)量化

1　引言

近年來(lái)，近似解在向量?jī)?yōu)化領(lǐng)域中扮演了十分重要的作用.到目前為止，一些學(xué)者已經(jīng)通過(guò)不同方式，借助不同工具提出了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題的各種不同類型的近似解概念.特別地，文獻(xiàn)［1-2］利用co-radiant集引入了ε-有效解，這類新的近似有效解概念包含了許多近似解作為其特例.文獻(xiàn)［3］通過(guò)co-radiant集提出了一類新的近似真有效解概念-ε-真有效解，并獲得了這類近似真有效性的一些性質(zhì).在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［4］提出了一類新的（C，ε）-真有效解概念，指出在一定條件下這兩類近似真有效解概念是等價(jià)的，并給出了（C，ε）-真有效解的一些線性標(biāo)量化特征.此外，利用一些非線性標(biāo)量化泛函及其相應(yīng)的分離定理，一些學(xué)者也已經(jīng)研究了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題各類解的非線性標(biāo)量化特征（見(jiàn)文獻(xiàn)［5-8］）.

受文獻(xiàn)［3-4，6］中研究工作的啟發(fā)，本文利用Minkowski型非線性標(biāo)量化泛函給出了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題（C，ε）-真解的一個(gè)新特征并給出了一些具體例子對(duì)主要結(jié)果進(jìn)行了解釋.

2　預(yù)備知識(shí)

假定X是實(shí)線性空間，Y是實(shí)Hausdorff拓?fù)渚€性空間，Rn是n維歐幾里得空間.對(duì)于非空集合A?Y，用int A，cl A，bd A和YA分別表示A的拓?fù)鋬?nèi)部、拓?fù)溟]包、拓?fù)溥吔绾脱a(bǔ)集.A的生成錐定義為如果A滿足對(duì)任意的d∈A和α＞1，αd∈A，則稱A是co-radiant集.此外，如果A∩（-A）?｛0｝，則稱A是點(diǎn)的；如果int A≠?，則稱A是solid的；如果A≠?且A≠Y，則稱A是真的.設(shè)C?Y是真點(diǎn)solid co-radiant集.定義

引理2.1［12］設(shè)C是solid凸集.則

（i）C（0）+C（ε）?C（ε），?ε≥0；

（ii）C（0）是solid凸錐；

（iii）int（cl C（ε））=int C（ε），?ε＞0.

本文考慮下面的向量?jī)?yōu)化問(wèn)題：

其中，f：X→Y，S?X且S≠?.基于真點(diǎn)錐D?Y定義的Y中的偏序“≤”為：

定義2.1［12］設(shè)ε≥0.可行點(diǎn)稱為問(wèn)題（VP）的弱C（ε）-有效解，如果

問(wèn)題（VP）的弱C（ε）-有效解全體記為WAE（f，C，ε）.

定義2.2［34］設(shè)ε≥0.可行點(diǎn)稱為問(wèn)題（VP）的（C，ε）-真解，如果

問(wèn)題（VP）的（C，ε）-真解全體記為PAE（f，C，ε）.

本文將用到文獻(xiàn)［6］中提出的Minkowski型非線性標(biāo)量化泛函φq，G：Y→R∪｛±∞｝：φq，G（y）=inf｛s∈R|y∈sq-G｝，其中?≠G?Y，y∈Y且q∈Y.約定inf?=+∞.根據(jù)文獻(xiàn)［3］中的引理4.2，下面的分離定理是顯然的.

引理2.2設(shè)C是真閉solid凸集且q∈int C.則對(duì)任意ε＞0，φq，C（ε）（y）連續(xù)且滿足：

3　（C，ε）-真解的一個(gè)非線性標(biāo)量化特征

本節(jié)首先給出一些例子表明文獻(xiàn)［3］中建立的（C，ε）-真解的非線性標(biāo)量化定理的逆不一定成立.進(jìn)而提出問(wèn)題（VP）的（C，ε）-真解的兩個(gè)新的非線性標(biāo)量化特征.

文獻(xiàn)［3］中建立了下面的非線性標(biāo)量化定理.

定理3.1設(shè)C是真閉solid凸集，0?C，q∈int C且ε＞0.則

下面建立向量?jī)?yōu)化問(wèn)題（VP）的（C，ε）-真解的兩個(gè)新的非線性標(biāo)量化特征.

定理3.2設(shè)C是真solid凸集且q∈int C，ε≥0，β=inf｛c∈R+|cq∈cl C（ε）｝.則

定理3.3設(shè)C是真solid凸集且q∈int C，ε≥0，β=inf｛c∈R+|cq∈cl C（ε）｝.如果C（0）是開(kāi)集，則

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A nonlinear scalarization characterization of（C，ε）-proper solutions in vector optimization

Xia Yuanmei，Lin An，Zhao Kequan

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

In this paper，a new nonlinear scalarization characterization of（C，ε）-proper solutions is obtained by means of a kind of Minkowski-type nonlinear scalarization functionals and the corresponding separation theorem for vector optimization problems.Some examples are given to illustrate the main results.

vector optimization，（C，ε）-proper solutions，nonlinear scalarization

O221.6

A

1008-5513（2015）05-0503-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.010

2014-12-08.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11301574，11271391）；第二批重慶市高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃.

夏遠(yuǎn)梅（1990-），碩士生，研究方向：向量?jī)?yōu)化理論及應(yīng)用.

2010 MSC:90C29，90C30，90C46