錐度量空間中c-距離下的不動點(diǎn)定理

韓艷，張建元

（昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000）

錐度量空間中c-距離下的不動點(diǎn)定理

韓艷，張建元

（昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000）

在錐度量空間中，用壓縮性函數(shù)代替具體實(shí)數(shù)，獲得了c-距離下的映射的新的不動點(diǎn)定理.所得結(jié)果在條件上不要求映射的非減性，且第一個定理去掉了錐的正規(guī)性，第二個定理去掉了映射的連續(xù)性，改進(jìn)了原有的許多重要結(jié)論，并給出了相應(yīng)的例子.

錐度量空間；c-距離；不動點(diǎn)

1　預(yù)備知識

2007年，文獻(xiàn)［1］推廣了度量空間的概念，用Banach空間取代實(shí)數(shù)空間，成功獲得了滿足不同壓縮條件的壓縮映射的不動點(diǎn)定理.隨后，許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步推廣和改進(jìn)，獲得了很多很好的結(jié)果.有關(guān)不動點(diǎn)理論的研究也得到了飛躍的發(fā)展（見文獻(xiàn)［1-4］）.2011年，文獻(xiàn)［5］在半序的錐度量空間中引入了一個新的定義，即c-距離，并獲得了非減映射相關(guān)的一些新的不動點(diǎn)定理，這些定理和結(jié)論比經(jīng)典的Banach壓縮映射定理更具有一般性，應(yīng)用更廣.這里c-距離是對w-距離［6］的推廣，即每一個w-距離都是c-距離，但反過來不一定成立.在本文中，首先在錐度量空間中，進(jìn)一步研究c-距離的映射的不動點(diǎn)定理，獲得了具有更廣泛意義的新的結(jié)論，對已有的結(jié)論做了改進(jìn)和推廣，同時給出了相應(yīng)的例子.

設(shè)E是實(shí)Banach空間，θ是E中的零元，稱P是E中的錐，若

（i）x∈P且λ≥0則λx∈P；

（ii）x∈P且-x∈P，則x=θ.

設(shè)P是E中的錐，≤是由P定義的半序，即?x，y∈E，y-x∈P，則x≤y.錐P稱為正規(guī)錐，如果存在常數(shù)K＞0，使得θ≤x≤y（?x，y∈E）蘊(yùn)含∥x∥≤∥y∥，其中K為正規(guī)常數(shù).用x?y表示y-x∈int P.

定義1.1［1］設(shè)X是一個非空集.若映射d：X×X→E滿足：

（i）θ≤d（x，y）對一切x，y∈X.d（x，y）=θ當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

（ii）d（x，y）=d（y，x），?x，y∈X；

（iii）d（x，y）≤d（x，z）+d（z，y），?x，y，z∈X，

則稱d是X的一個錐度量.（X，d）稱為錐度量空間.

定義1.2［1］設(shè)（X，d）稱為錐度量空間，x∈X且｛xn｝n≥1是X中的一個序列.則

（i）稱｛xn｝n≥1是一個柯西列，若對每一個c∈E且c?θ，存在正整數(shù)N使得對所有的n，m＞N，d（xn，xm）?c.

（ii）稱｛xn｝n≥1是一個收斂列，若對每一個c∈E且c?θ，存在正整數(shù)N使得對所有的n＞N，d（xn，x）?c；其中x∈X，稱x是｛xn｝n≥1的極限，記作：xn→x（n→∞）.

（iii）稱（X，d）為完備的錐度量空間，若對X中的每個柯西列都收斂.

定義1.3［5］設(shè)（X，d）為錐度量空間，映射q：X×X→E滿足下列條件：

（i）θ≤q（x，y），?x，y∈X；

（ii）q（x，z）≤q（x，y）+q（y，z），?x，y，z∈X；

（iii）?x∈X，若存在u=ux∈P，使得q（x，yn）≤u，且序列｛yn｝收斂到一點(diǎn)y∈X，則有d（x，y）≤u；

（iv）對任意c∈E且c?θ，存在e∈E且e?θ，使得當(dāng)q（z，x）?e，q（z，y）?e時，有d（x，y）?c，則稱q為X上的c-距離.

引理1.1［5］設(shè)（X，d）是錐度量空間，q為X上的c-距離，｛xn｝，｛yn｝是X中的序列.設(shè)x，y，z∈X，｛un｝是錐P中收斂到θ的一個序列，則下列結(jié)論成立：

（i）若q（xn，y）≤un且q（xn，z）≤un，則y=z.

（ii）若q（xn，yn）≤un且q（xn，z）≤un，則｛yn｝收斂到一點(diǎn)z∈X.

（iii）若對任意的m＞n有q（xn，xm）≤un，則｛xn｝是X中的一個Cauchy列.

（iv）若q（y，xn）≤un，則｛xn｝是X中的一個Cauchy列.

引理1.2［7］錐度量空間中收斂序列的極限是唯一的.

例1.1［5］令E=R，P=｛x∈E，x≥0｝，且X=［0，∞），d：X×X→E，其中

則（X，d）是一個錐度量空間.定義映射q：X×X→E使得?x，y∈X，q（x，y）=y，則q是X上的c-距離.

例1.2［5］令E=C1R［0，1］，P=｛x∈E，x（t）≥0，t∈［0，1］｝（這是一個非正規(guī)的錐），且X=［0，∞），d：X×X→E，其中d（x，y）=|x-y|φ，?x，y∈X，φ：［0，1］→R使得φ（t）=et，則（X，d）是一個錐度量空間.定義映射q：X×X→E使得?x，y∈X，q（x，y）=（x+y）φ，則q是X上的c-距離.

注1.1［5］從上面兩例子可以看出，在c-距離下，q（x，y）=q（y，x）不一定成立，且?x，y∈X，q（x，y）=θ也不等價于x=y.

2　主要結(jié)果

定理2.1設(shè)（X，d）是完備的錐度量空間，q是X上的c-距離，連續(xù)映射T：X→X以及映射ai（i=1，···，5）：X→［0，1）滿足下列條件：故q（v，v）=θ.得證.

注2.1在定理2.1中，令a4（x）=a5（x）=0，即得文獻(xiàn)［8］的定理3.3，文獻(xiàn)［9］中定理3.1.進(jìn)一步令a1（x）=α，a2（x）=β，a3（x）=γ，可得文獻(xiàn)［5］中的定理3.1，且去掉了文獻(xiàn)［5，9］中映射的非減性.若同時令a2（x）=a3（x）=a4（x）=a5（x）=0可文獻(xiàn)［8］的定理3.1.

定理2.2設(shè)（X，d）是完備的半序錐度量空間，P是正規(guī)常數(shù)為K的正規(guī)錐，q是X上的c-距離.連續(xù)映射T：X→X以及映射ai（i=1，···，5）：X→［0，1）滿足下列條件：

矛盾，因此有Ty=y.若假設(shè)Tv=v，類似于定理2.1同理可證q（v，v）=θ.定理得證.

注2.2在定理2.2中，令a4（x）=a5（x）=0，即得文獻(xiàn)［9］中定理3.2.進(jìn)一步令a1（x）=α，a2（x）=β，a3（x）=γ，可得文獻(xiàn)［5］中的定理3.2，同時去掉了文獻(xiàn)［5，9］中映射的非減性.定理2.1和定理2.3對文獻(xiàn)［10］進(jìn)行了推廣，在定理2.1和定理2.3中，取a1（x）=A，a2（x）=B，a3（x）=C，a4（x）=D，a5（x）=E，即為文獻(xiàn)［10］中的定理2和注1.同時，若令定理中E=R，可得到度量空間中相應(yīng)的不動點(diǎn)定理，對文獻(xiàn)［11，12］做了推廣.因此，本文對文獻(xiàn)［5，8-12］均作了改進(jìn)和推廣.

從而定理2.1的條件均滿足，所以映射T有一個不動點(diǎn)x=0，即T0=0，同時q（0，0）=0.

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Fixed point results under c-distance in cone metric spaces

Han Yan，Zhang Jianyuan

（Department of Mathematics，Zhaotong University，Zhaotong657000，China）

In this paper，some fixed point results for c-distance in cone metric spaces by replacing the constants in contractive conditions with functions are obtained.The results without appealing to nondecreasing in the condition.Furthermore，we delete the normal cone in the first theorem and the continuity of the mappings in the second theorem.The results generalize and improve some well-known comparable results.Some supporting examples are given.

cone metric space，c-distance，fixed point

O177.91

A

1008-5513（2015）06-0581-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.005

2014-05-06.

云南省教育廳科學(xué)研究基金（2013Y578）.

韓艷（1986-），碩士，助教，研究方向：非線性分析.

2010 MSC：54H25，47H10