經(jīng)歷問題解決 感悟數(shù)學(xué)思想

陳杰偉

摘要 “解決問題”的教學(xué)強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，在過程中掌握解決問題的方法，感悟數(shù)學(xué)思想，才能提高后繼解決問題的能力。本文結(jié)合案例談?wù)勗凇敖鉀Q問題”的教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決過程，感悟數(shù)學(xué)思想的做法：一是從多角度著眼數(shù)學(xué)思想的定位;二是基于數(shù)學(xué)思想的探究，讓學(xué)生參與、體驗、感悟。

關(guān)鍵詞 問題解決 數(shù)學(xué)思想 小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.08.067

On Mathematical Thinking through Problem-solving Insights

——In "Mathematics Wide-angle - reasoning" Teaching Case

CHEN Jiewei

（Yuexiu District Weat Welfare Road Primary School， Guangzhou， Guangdong 510120）

Abstract "Problem solving" teaching emphasizes allow students to experience the problem-solving process， grasp solutions to problems in the process， perception of mathematical thinking in order to improve the ability to solve problems successor. In this paper， the case talk about "problem solving" teaching approach allows students to experience the problem-solving process， perception of mathematical thinking： First， focus on the positioning of mathematical thinking from multiple perspectives; the second is based on the exploration of mathematical thinking， allowing students to participate， experience and sentiment.

Key words problem solving; mathematical thinking; primary mathematics

1 著眼數(shù)學(xué)思想的定位

史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)基本思想主要指：抽象、推理和模型。人類通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科;通過數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到更多的結(jié)論，數(shù)學(xué)學(xué)科得以發(fā)展;通過數(shù)學(xué)建模，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，架起了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。由數(shù)學(xué)基本思想演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學(xué)思想還有很多。教學(xué)前定位好數(shù)學(xué)思想，有利于深刻地理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容和知識體系，有利于以較高的觀點分析處理教材。但教學(xué)實踐中，數(shù)學(xué)思想常常通過數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn);數(shù)學(xué)方法有常常反映了某種數(shù)學(xué)思想，所以教學(xué)中，往往以數(shù)學(xué)方法去反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生了解、感悟數(shù)學(xué)思想。

在本課前，筆者首先對教材進(jìn)行了全面的分析，著眼數(shù)學(xué)思想的定位：從推理角度看，推理指的是由一個或幾個命題得出一個新命題的過程。推理包括合情推理與演繹推理。本課就是要借助常見的生活情境，讓學(xué)生經(jīng)歷簡單的演繹推理過程，獲得演繹推理的經(jīng)驗，初步掌握這種思維形式，為他們思維能力的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。演繹推理有多種形式，教材中的例1的演繹推理用的是直接推理法與不相容選言推理，其中的選言推理不要求學(xué)生用嚴(yán)格的方式表達(dá)，但又希望能讓學(xué)生能知道這種推理方法，因此我把這里的不相容選言推理看作排除法，比較符合學(xué)生的認(rèn)知特點。直接推理法與排除法是我們推理常用的基本方法，也是解決問題的一種方法，更是一種數(shù)學(xué)思想。從解決問題的角度看，小學(xué)生分析問題和解決問題的基本方法有很多，主要有模擬操作、畫圖、列表嘗試、分析與綜合、轉(zhuǎn)化等，這些方法本身蘊含了數(shù)學(xué)思想。本課我把分析與解決問題的基本方法定位為綜合法（邊閱讀邊推理法、逐步逼近的思想），畫圖（連線法、數(shù)形結(jié)合思想），列表嘗試（列表法、簡化的思想），這些方法側(cè)重點各有不同，邊閱讀邊推理法是學(xué)生口頭表達(dá)常用的方法，也符合低年級孩子分析問題總是從條件入手得出結(jié)論的習(xí)慣，而連線法書寫簡單，符合孩子少書寫的愿望，列表嘗試對簡化解決較難的推理問題非常實用，孩子都喜歡挑戰(zhàn)自己，自然也想學(xué)習(xí)這種方法。

2 基于數(shù)學(xué)思想的探究

數(shù)學(xué)思想的特點是抽象的、隱蔽的。定位好數(shù)學(xué)思想后，如何讓學(xué)生從直觀的解決問題過程中去感悟其中抽象的數(shù)學(xué)思想呢？解決這個問題的關(guān)鍵就是在學(xué)生經(jīng)歷問題解決過程中，重視讓其參與、體驗、感悟。參與就是讓學(xué)生主動參與，包括獨立思考、合作交流等，因為沒有主動參與就不可能對數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生體驗。因此，在課堂上必須充分暴露思維過程，讓學(xué)生參與教學(xué)實踐活動，充分發(fā)揮他們的主體作用，在動腦、動手、動口的過程中領(lǐng)悟、體驗數(shù)學(xué)思想的形成。下面重點以新授環(huán)節(jié)的教學(xué)片斷作基于數(shù)學(xué)思想的探究。

【教學(xué)片斷一】情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣（略）

【教學(xué)片斷二】親歷過程，掌握方法

（1）承接情境、呈現(xiàn)問題。

有語文、數(shù)學(xué)和品德與生活三本書，下面三人各拿一本。小剛拿的是什么書？小麗呢？（配圖：小紅拿的是語文書，小麗拿的不是數(shù)學(xué)書）

（2）提取信息、理解題意。

（3）嘗試解決、探索方法。

先獨立思考，然后把解決問題的想法與結(jié)果用自己喜歡的方式記錄下來。教師收集學(xué)生不同方法解決問題。

（4）匯報交流、體會方法。

生1：小紅拿的是語文書，那小麗和小剛拿的就是數(shù)學(xué)書和品德與生活書。小麗拿的不是數(shù)學(xué)書，可以肯定她拿的是品德與生活書，剩下小剛拿的就是數(shù)學(xué)書。

（多數(shù)學(xué)生舉手示意相同）

師：你們的方法首先從哪個已知條件開始推理的？

生齊：小紅拿的是語文書。

師：可以得到什么結(jié)論？

生齊：小麗和小剛拿的是數(shù)學(xué)書和品德與生活書。

師引導(dǎo)得出直接推理法，（板書：直接推理法）指出是一種基本的推理方法。

師：接著從“小麗拿的不是數(shù)學(xué)書”又可以肯定什么？

生齊：可以肯定她拿的是品德與生活書，剩下小剛拿的就是數(shù)學(xué)書。

師引導(dǎo)得出排除法。（板書：排除法）

師生共同小結(jié)怎樣解決這個問題，指出這種邊閱讀邊推理的解決問題的方法叫做邊閱讀邊推理法。（板書：邊閱讀邊推理法）這是一種用推理解決問題常用的方法，都用到了直接推理法和排除法兩種基本推理方法。引導(dǎo)說出方法的優(yōu)缺點。

生齊：有序。（板書：有序）

生齊：寫起來比較麻煩。

師：那有沒有一種有序而寫起來不麻煩的方法？

生2： 我用連線法。把人名和書名寫成兩行，再根據(jù)給出的每一個條件連線：小紅拿的是語文書，直接把小紅和語文書連上線;剩下的小麗和小剛只能拿數(shù)學(xué)書和品德與生活書，小麗拿的不是數(shù)學(xué)書，可以肯定小剛拿的是數(shù)學(xué)書，小剛和數(shù)學(xué)書連線;最后把小麗和品德與生活書連線。

板書：

師小結(jié)這種邊閱讀邊推理邊連線的方法我們稱為連線法。（板書：連線法）指導(dǎo)連的時候先把人名寫一行，空一行用于連線，再寫出書名，接著開始邊閱讀推理邊連線，邊閱讀邊推理時都用到了直接推理法和排除法兩種基本推理方法。引導(dǎo)比較連線法與邊閱讀邊推理法。

生齊：一樣有序、比邊閱讀邊推理書寫簡潔。（板書：有序、簡潔）

師：還有其他不一樣的方法嗎？（學(xué)生茫然）

師介紹對解決較難的推理問題非常有用的列表法。（板書：列表法）

師出示表格，講解方法，與學(xué)生共同完成閱讀推理及符號記錄。引導(dǎo)比較列表法與連線法。

生齊：與連線法一樣有序、簡潔，比連線法更全面看出三個人否定拿哪些書。（板書：有序、簡潔、全面）

師：正因為全面，所以列表法對解決一些較難的推理問題非常有用。

（5）總結(jié)提升，內(nèi)化方法。

師：我們剛才解決問題用的幾種推理方法都是從什么條件開始的？

生齊：小紅拿的是語文書。

師：說明這個條件為關(guān)鍵條件。我們推理時一般先找到關(guān)鍵條件，由這個條件往往能直接得到一個結(jié)論，這個結(jié)論可以幫助我們進(jìn)行下一步的推理，最終推導(dǎo)出結(jié)論。實際推理時，我們可以根據(jù)需要選擇合適的方法，如平?？陬^表達(dá)時可以邊閱讀邊推理，需要書寫時可以用連線法和列表法推理，能讓我們的推理過程更有序、全面、簡潔，特別是解決較難的問題時，可以用列表法。只有做到有序、全面，才能保證推理結(jié)果的準(zhǔn)確性。

在上述環(huán)節(jié)中，圍繞要解決的問題，首先是自主嘗試，給學(xué)生一個大的思維空間，學(xué)生采用獨立思考、嘗試、畫圖等方法，主動探索解決問題的方法。接著合作交流，同伴互助，發(fā)揮頭腦風(fēng)暴作用，初步建構(gòu)問題解決的方法，并培養(yǎng)表達(dá)能力。又接著開展全班交流，匯報自己解決問題的過程、方法和結(jié)果，匯報完成后，適時組織有效評價，通過評價，配以比較，引導(dǎo)學(xué)生去除表象、掌握本質(zhì)、建立模型。在開始的匯報與評價中學(xué)生掌握了推理中的直接推理法和鞏固了排除法，及分析與解決問題的邊閱讀邊推理法（綜合法），學(xué)生體驗、感悟了推理思想與步步逼近的思想;隨著匯報與評價的深入，學(xué)生掌握了連線法（畫圖），體驗、感悟了數(shù)形結(jié)合思想;最后在學(xué)生想不出列表法（列表嘗試）時，借助老師的引導(dǎo)講解，學(xué)生也掌握到對簡化解決較難的推理問題非常實用的列表法，體驗、感悟了簡化的思想。學(xué)生在比較不同的方法特點后，體會到哪種方法更適合自己，為學(xué)生選擇合適的解決問題的方法打下基礎(chǔ)。最后是總結(jié)提升，再次體悟到方法之簡單、價值，從而內(nèi)化方法，建立系統(tǒng)的方法模型，使學(xué)生能在遇到相關(guān)實際問題時能靈活地、創(chuàng)造性使用方法模型來解決，也就是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問題。

【教學(xué)片斷三】應(yīng)用方法，鞏固拓展（略）

鞏固拓展環(huán)節(jié)安排的練習(xí)要凸顯數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。因為這一環(huán)節(jié)是學(xué)生把所學(xué)到的知識一般化的過程，即運用所學(xué)知識解決相應(yīng)問題的具體過程，是推理和應(yīng)用模型的過程，也是學(xué)生知識深化和鞏固的環(huán)節(jié)。我安排了基本練習(xí)、操作練習(xí)、拓展練習(xí)，基本練習(xí)重在鞏固本課的重點方法——連線法，同時也不限制學(xué)生，可以選擇適合自己的方法。操作練習(xí)融趣味性、實效性于一體，用意在于通過四人小組分角色進(jìn)行推理，體會到模擬操作也是解決問題一種很直觀、適用的方法，豐富學(xué)生的方法。拓展練習(xí)在于打破學(xué)生的思維定勢，促使學(xué)生真正動腦思考，并能運用剛剛新課中學(xué)到的多種思想正確分析問題、解決問題。

教學(xué)實踐證明，在小學(xué)“解決問題”的教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，在過程中掌握解決問題的方法，感悟數(shù)學(xué)思想，是提升學(xué)生后繼解決問題的能力的重要舉措。