地震作用下非彈性地基樁的3次超諧波共振*

呂建根韓強(qiáng)王榮輝

（1.仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院城市建設(shè)學(xué)院，廣州 510225）（2.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州 510641）

地震作用下非彈性地基樁的3次超諧波共振*

呂建根1?韓強(qiáng)2王榮輝2

（1.仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院城市建設(shè)學(xué)院，廣州 510225）（2.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州 510641）

研究了地震作用下非線性地基中樁基的3次超諧波共振問題.從地基樁中抽象出力學(xué)模型，考慮地基的非線性因素，運(yùn)用Hamilton變分原理建立了樁基的非線性控制方程.利用Galerkin方法離散上述方程，基于多尺度攝動法研究了地震作用下非線性地基中樁的3次超諧波共振問題.以某嵌巖圓形樁為例，研究了地基土層厚度、剪切波速度及頻率比對地震力的影響，數(shù)值模擬了非線性地基樁的3次超諧波共振響應(yīng)，探討了地震力、地基彈性及非彈性系數(shù)對超諧波幅頻響應(yīng)的影響，最后研究樁基產(chǎn)生3次超諧波共振時的時間歷程曲線.結(jié)果表明，當(dāng)?shù)卣鸩l率約等于樁基固有頻率的1/3時，容易激發(fā)樁的3次超諧波共振響應(yīng)；樁基的3次超諧波共振響應(yīng)隨著地震力、非彈性系數(shù)的增大而變得更加顯著，隨著彈性系數(shù)的增大而逐漸變小.

樁，地震力，非線性地基，3次超諧波

引言

樁基礎(chǔ)由于其具有承載能力大、沉降量小及穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域中，同時，樁基礎(chǔ)也能適用于各種地質(zhì)環(huán)境和各種荷載情況，在抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計中也是優(yōu)先采用的基礎(chǔ)型式 ，因此樁基的動力性能的研究成為地震工程界和土木工程界一個重要的研究熱點(diǎn)［1-4］.

與樁基的靜力學(xué)理論相比，樁基的動力學(xué)理論研究開展較晚，大約起步于二十世紀(jì)七十年代，目前針對樁基的動力學(xué)研究國內(nèi)外開展了不少工作，九十年代前的工作主要總結(jié)在Novak［5］的綜述報告中，系統(tǒng)介紹了單樁和群樁在地震載荷作用下線性和非線性動力學(xué)的一些理論、計算方法以及一些定性的結(jié)論，并比較了各種理論的優(yōu)缺點(diǎn).1987年，Mizuno［6］綜述了日本地震過程中樁基的破環(huán)形式，如液化、振動及運(yùn)動等，這些破壞形式在其他地區(qū)的地震中都能觀察到.劉宗賢等［7］得到了地基波動影響下端承樁的橫向地震反應(yīng)解析解.2005年，胡和程［8］建立樁-土相互作用的數(shù)學(xué)模型，在頻域內(nèi)研究了水平振動下樁基的非線性動力學(xué)特性，研究了多種參數(shù)對樁基動力學(xué)特性的影響.2014年，呂建根［9］研究了地震作用下樁基的1/3次亞諧波共振問題，分析了頻率比、剪切波速度及土層厚度等參數(shù)對地震慣性力和亞諧波共振幅頻響應(yīng)的影響.除此之外，還有許多國內(nèi)外學(xué)者對樁基的動力學(xué)問題進(jìn)行了深入的研究，這里不再一一贅述.

本文基于Hamilton變分原理推導(dǎo)了地震作用下非線性樁基的非線性控制方程，采用Galerkin離散方法，研究了樁的3次超諧波共振問題，分析了系統(tǒng)參數(shù)對地震力的影響，得到了超諧波共振響應(yīng)，探討了各項參數(shù)對超諧波幅頻響應(yīng)的影響，獲得了樁出現(xiàn)3次超諧波共振時的時間歷程曲線，其研究結(jié)果對樁基的動力學(xué)設(shè)計具有參考價值.

1　振動方程

如圖1所示樁基礎(chǔ)，地基土層厚度為H，樁基的密度為ρ，樁的橫截面面積為A，抗彎剛度為EI，c為粘性阻尼系數(shù)，樁基相對于地面的位移為w（z，t），地基的線彈性系數(shù)為k1，地基的非線性彈性系數(shù)為k3，外荷載為p（z，t），運(yùn)用Hamilton變分原理可以得到如下形式的樁基非線性控制方程：

圖1　樁基的分析模型Fig.1 The model of pile foundation

對方程（1）進(jìn)行一階Galerkin離散，設(shè)w（z，t）=U（z）X（t）代入上式中

其中：

經(jīng)過上面推導(dǎo)后，地震作用下非線性彈性地基樁的振動控制方程如下：

地震作用F（t）通常隨時間不規(guī)則變化，但對于含無限地基的開放系統(tǒng)，任意地震作用可展開為簡諧波的疊加，均勻地基中地震荷載作用F（t）可用下式表達(dá)［10］.

其中：

ω1=Vs，Vs為地基的剪切波速度.H為樁長及地基土層厚度，α表示水平地震影響系數(shù)，g表示當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，v為地震波頻率.從上式可以看出，作用于樁基上的地震荷載既包含地震時基巖產(chǎn)生的慣性力，又包含土層運(yùn)動產(chǎn)生的慣性力，該慣性力與地基的性質(zhì)相關(guān).

2　多尺度法求解

為了攝動分析方便，引入小參數(shù)ε，將2ξ表示為2εξ，將非線性項的系數(shù)χ表示為εχ利用多尺度方法［11］對方程（3）求解，設(shè)一次近似解的形式如下：

其中T0=t，T0=εt.將（5）代入（3）式，可以得到

零階近似方程（6a）的解為

上式中可以看出，不僅存在eiω0T0項可以引起久期項，而且還存在含e3iνT0項.當(dāng)ω0=3ν時，也能產(chǎn)生久期項，即樁基可產(chǎn)生3次超諧波共振.為了描述ω0和3ν的差別，引入調(diào)諧參數(shù)σ，即3ν=ω0+εσ，代入方程（8）中，消除久期項，得到

將復(fù)數(shù)形式的A函數(shù)對t求導(dǎo)，其中的D0A= 0，D1A由方程（9）確定，代入方程（9）中，分離實部和虛部，得到關(guān)于a和β的一階常微分方程組：

其中γ=σT1-β.方程組（10）的非平凡解對應(yīng)樁基的穩(wěn)態(tài)周期振動，即˙a=˙γ=0，消除γ，可以得到樁基3次超諧波穩(wěn)態(tài)周期振動的幅頻響應(yīng)方程

從上式中可以看出，當(dāng)ω0≈3ν時，即使存在阻尼，也存在滿足方程（12）的非零解，從而表明樁基存在3次超諧波共振現(xiàn)象.

3　樁基實例分析

以嵌巖樁為例，樁底處滿足固定端的邊界條件，對于嵌固于承臺或地基梁中的樁頭，其轉(zhuǎn)角為零，并由等效剪力為零的邊界條件可知，其橫向振型函數(shù)U（z）可采取如下形式［12］：

圓形樁的參數(shù)：樁長H=10m，直徑D=1.2m，材料密度ρ=2.4×109kg/m3；彈性模量E=2.1× 1010Pa；阻尼系數(shù)ξ=0.01；地基的參數(shù)：剪切波速度Vs=200m/s，線性彈性系數(shù)k1=8×106N/m2，非線性彈性系數(shù)k3=8×106N/m4；地震參數(shù)：水平地震影響系數(shù)α=0.5或0.15.

圖2～圖4顯示了各項參數(shù)對地震力的影響，從圖2可以看出，地震力隨著土層厚度的增加而逐漸增大，同時表明，隨著頻率比ν/ω0的增大，地震力增大速率越快；圖3表明，地震力隨著頻率比ν/ω0的增大而增大，同時顯示，隨著剪切波速度的增大，地震力增加速度變慢；從圖4中可以看出，地震力隨著剪切波速度的增大逐漸變小，大約在剪切波速度等于100m/s時，影響基本可以忽略.

圖2　地震力F0與地基土層厚度H的關(guān)系Fig.2 The relationship between seismic forces and soil thickness

圖3　地震力F0與頻率比ν/ω0的關(guān)系Fig.3 The relationship between seismic forces and frequency ratio

圖4　地震力F0與剪切波速度Vs的關(guān)系Fig.4 The relationship between seismic forces and shear wave velocity

圖5　地震力F0對超諧波幅頻曲線的影響Fig.5 Effect of seismic force on the frequency response curves

圖5～圖7顯示了地震力、彈性及非彈性系數(shù)對超諧波幅頻響應(yīng)曲線的影響，從圖5中可以看出，隨著地震力的逐漸增大，樁的3次超諧波共振響應(yīng)逐漸增大，共振頻域變寬，出現(xiàn)3次超諧波共振的可能性增大，非線性性質(zhì)逐漸明顯；圖6表明，隨著彈性系數(shù)的增大，樁的3次超諧波共振響應(yīng)逐漸減小，非線性性質(zhì)變?nèi)酰舱耦l域變窄；從圖7可以看出，隨著非線性彈性系數(shù)的增大，樁的非線性更加明顯，3次超諧波響應(yīng)也逐漸增大，共振頻域變寬.圖8顯示了樁出現(xiàn)3次超諧波共振時的時間歷程曲線，從圖中可以看出，樁的最大位移達(dá)到6cm.

圖6　彈性系數(shù)k1對超諧波幅頻曲線的影響Fig.6 Effect of elastic coefficient on the frequency response curves

圖7　非彈性系數(shù)k3對超諧波幅頻曲線的影響Fig.7 Effect of elastic coefficient on the frequency response curves

圖8　樁基時間歷程曲線Fig.8 The time history of pile foundation

4　結(jié)論

本文針對地震作用下非線性彈性地基中樁的3次超諧波共振問題開展研究，基于Hamilton變分原理推導(dǎo)了非線性地基中樁的非線性控制方程，運(yùn)用Galerkin方法離散時間和空間，利用多尺度攝動法獲得了樁3次超諧波共振時的幅頻響應(yīng)曲線，基于工程實例，探討了各項參數(shù)對地震力大小的影響，研究地震力、彈性及非彈性系數(shù)對3次超諧波共振的影響，最后得到了樁3次超諧波共振的時間歷程曲線，結(jié)果表明：

（1）當(dāng)?shù)卣鸩l率約等于樁基固有頻率的1/3時，容易激發(fā)樁的3次超諧波共振響應(yīng)，其共振幅值較大；

（2）樁基的3次超諧波共振響應(yīng)隨著地震力、非線性彈性系數(shù)的增大而變得更加顯著，隨著彈性系數(shù)的增大而逐漸變小.

1 黃雨，舒翔，葉為民等.樁基礎(chǔ)抗震研究現(xiàn)狀.工業(yè)建筑，2002，32，50～52（Huang Y，Shu X，Ye W M，etc.Recent studies on seismic resistance of pile foundation.Industrial Construction，2002，32：50～52（in Chinese））

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9 呂建根，邱劍輝.地震作用下樁基的1/3次亞諧波共振分析.科學(xué)技術(shù)與工程，2014，14（5）：192～196（Lv J G，Qiu J H.1/3 sub-harmonic response analysis of pile foundation under earthquake action.Science Technology and Engineering，2014，14（5）：192～196（in Chinese））

10 房營光.巖土介質(zhì)與結(jié)構(gòu)動力相互作用理論及其應(yīng)用.北京.科學(xué)出版社，2005：261～274（Fang Y G.The dynamic interaction theory and its applications of soil medium and structure.Beijing：Science Press，2005：261～274（in Chinese））

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12 任九生，程昌鈞.粘彈性樁的混沌運(yùn)動分析.力學(xué)季刊，2004，25（3）：349～354（Ren J S，Cheng C J.Analysis of chaotic motion on piles with nonlinear viscoelastic Materials.Chinese Quarterly of Mechanics，2004，25（3）：349～354（in Chinese））

SUPER-HARMONIC RESONANCE OF PILE FOUNDATION UNDER EARTHQUAKE ACTION*

Lv Jiangen1?Han Qiang2Wang Ronghui2
（1.School of Urban construction，Zhongkai University of Agriculture and Engineering，Guangzhou 510225，China）
（2.School of Civil Engineering and Transportation，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China）

The 3 super-harmonic response of pile foundation under earthquake action was investigated.Based on Hamilton Variational Principle，the nonlinear equations of motion on pile under earthquake action were established.Then the Galerkin method was used to discrete the governing equation.The 3 super-harmonic response of pile was studied by using the multi-scale method.The effects of the soil thickness，the shear wave velocity and the frequency ratio on the seismic force were studied，and the effects of the seismic force，elasticity coefficient and inelasticity coefficient on the frequency-response curves were studied.The results are as follows：the 3 superharmonic resonance may be excited when the earthquake frequency and the pile frequency are in an almost 1：3 ratio，the 3 super-harmonic responses of pile increase with the increase of seismic force and non-elastic coefficient，but decrease with the increase of elastic coefficient.

pile，earthquake action，nonlinear foundation，3rd super harmonic resonance

5 August 2014，revised 8 September 2014.

E-mail：lvjiangen77@163.com

10.6052/1672-6553-2014-074

2014-08-05收到第1稿，2014-09-08收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目（51378220）

E-mail：lvjiangen77@163.com

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（51378220）