基于Monte Carlo方法的釋光測年劑量率誤差估計

彭俊 董治寶 張正偲

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基于Monte Carlo方法的釋光測年劑量率誤差估計

彭俊 董治寶 張正偲

（中國科學(xué)院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所 蘭州 730000）

在釋光年代學(xué)上，劑量率代表樣品埋藏過程中單位時間內(nèi)吸收的輻射劑量，其估計直接影響到埋藏年代的可靠性。誤差傳遞公式(Quadratic propagation of uncertainty)常用于劑量率誤差估計。由于計算劑量率涉及到眾多參數(shù)復(fù)雜的非線性運算，造成基于誤差傳遞公式的誤差估計過程繁瑣復(fù)雜。本文以粗顆粒石英礦物為例介紹了劑量率計算過程及誤差估計方法，使用蒙特卡羅誤差傳遞法(Monte Carlo error propagation)模擬了劑量率計算過程中多參數(shù)不確定性耦合誤差，編寫了執(zhí)行隨機劑量率模擬運算的開源程序，并通過實測數(shù)據(jù)展示了該技術(shù)的應(yīng)用。相對于應(yīng)用誤差傳遞公式法估計劑量率誤差，Monte Carlo方法具有直觀靈活、簡便科學(xué)的特點，這種隨機策略在分析科學(xué)領(lǐng)域具有廣泛的適用性。

釋光測年，劑量率計算，誤差傳遞，蒙特卡羅技術(shù)

劑量率是指樣品單位時間內(nèi)吸收的輻射劑量。礦物顆粒在埋藏過程中吸收的輻射劑量主要來自分布于其周圍（或自身攜帶）的放射性核素(Radioactive nuclides)。石英礦物吸收的輻射劑量主要來自外部環(huán)境，其內(nèi)部放射性核素濃度水平可以忽略[1?2]。產(chǎn)生放射性輻射的元素主要包括鈾(235U與238U)、釷(232Th)、鉀(40K)以及少量的銣(87Rb)等。除此之外，地球外部空間的宇宙射線(Cosmic rays)中的γ射線對樣品劑量率的貢獻也不可忽略（取決于采樣地點的地理位置及樣品埋藏深度）。與第四紀(jì)沉積物釋光測年上限（約兩百萬年）相比，這些放射性核素的壽命高達(dá)109a量級，因此它們對樣品劑量率的貢獻可看做常量[3]。劑量率計算涉及到眾多變量之間復(fù)雜的非線性轉(zhuǎn)換，誤差來源既包括實測誤差，也包括既定誤差。前者指與被分析樣品有關(guān)的測量誤差如鈾、釷、鉀、水含量誤差及野外采樣測定的埋藏深度、海拔高度、經(jīng)緯度誤差等，后者主要包括放射性核素含量與α、β、γ輻射劑量率之間轉(zhuǎn)換系數(shù)（轉(zhuǎn)換因子）誤差，以及α、β輻射的衰減效應(yīng)校正誤差等。

實驗室常用假定自變量參數(shù)相互獨立的誤差傳遞公式估計劑量率誤差，需要計算誤差函數(shù)對不同參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，進而確定自變量參數(shù)誤差對目標(biāo)變量誤差的貢獻。另一種誤差估計方法為蒙特卡羅(Monte Carlo)誤差估計法，與誤差傳遞法相比，該方法的優(yōu)點主要體現(xiàn)在：(1) 可以直接對劑量率計算過程進行隨機模擬，無需通過復(fù)雜的求導(dǎo)公式來確定自變量參數(shù)誤差項的分析表達(dá)式；(2) 它能利用大量隨機重復(fù)模擬試驗獲得目標(biāo)變量的頻率分布，全面地監(jiān)測計算過程中多參數(shù)耦合不確定性導(dǎo)致的劑量率誤差變化；(3) 對劑量率誤差貢獻較小的自變量參數(shù)，可依需要在模擬過程中將其設(shè)為隨機值或定值，增加了多變量耦合不確定性模擬的靈活性。以下首先以粗顆粒石英礦物為例，介紹了劑量率計算方法及誤差傳遞公式在劑量率誤差估計中的應(yīng)用。然后使用Monte Carlo技術(shù)模擬了多變量不確定性導(dǎo)致的劑量率誤差傳遞過程，并使用程序語言編寫了基于Monte Carlo誤差傳遞過程的劑量率模擬計算開源函數(shù)calDA()。

1 劑量率計算

1.1 放射性核素對劑量率的貢獻及其計算

放射性核素是指能夠自發(fā)地從不穩(wěn)定原子核內(nèi)部釋放射線或粒子從而衰變到穩(wěn)定狀態(tài)的元素，它攜帶的能量是以α、β、γ射線的形式釋放。放射性輻射在穿透礦物顆粒時因所攜帶的能量被顆粒外層吸收，造成到達(dá)顆粒內(nèi)部的能量減少的現(xiàn)象稱為衰減效應(yīng)(Attenuation effect)。因不同射線的穿透能力不同，它們的衰減效應(yīng)也存在顯著差異。α粒子的輻射能力僅限于距輻射源最大30 μm的范圍內(nèi)，粗顆粒（粒徑大于90 μm）石英礦物的最外層吸收α輻射部分會在實驗前處理中被氫氟酸所刻蝕，因此無需考慮α劑量率的影響。γ輻射的穿透距離高達(dá)零點幾米，對不同粒徑樣品顆粒其能量衰減效應(yīng)皆可忽略不計。β粒子的貫穿距離為幾毫米，在計算β劑量率時需要依不同樣品粒徑對其衰減效應(yīng)加以校正[4?5]。圖1為礦物顆粒外層吸收的鈾、釷、鉀β劑量率比重隨粒徑變化圖（數(shù)據(jù)來自文獻[5]），不同粒徑β劑量率吸收比重(Absorption fraction)可使用如下線性方程描述：

(2)

(3)

式(1)?(3)是通過對粒徑為50 μm、100 μm、200μm、300 μm的礦物顆粒數(shù)據(jù)[5]線性擬合得到的，U-β、Th-β、K-β分別表示鈾、釷、鉀β劑量率吸收比重；為樣品顆粒粒徑。β劑量率吸收比重的不確定性可假定具有常量相對標(biāo)準(zhǔn)誤差百分比（如5%）來計算。

圖1 鈾、釷、鉀元素的β劑量率吸收比重隨樣品粒徑變化圖

無限母質(zhì)假說(Infinite matrix assumption)：假定沉積母質(zhì)中的放射性核素釋放的輻射劑量全部為母質(zhì)內(nèi)的樣品所吸收，即母質(zhì)內(nèi)單位質(zhì)量物質(zhì)吸收的劑量與單位質(zhì)量物質(zhì)釋放的劑量相等。根據(jù)該假設(shè)，放射性核素對樣品劑量率的貢獻由其濃度與單位濃度該核素的劑量率之積決定，由此，可使用轉(zhuǎn)換因子[6]將實測的放射性核素濃度轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的β、γ劑量率：

(5)

式中，β為經(jīng)衰減效應(yīng)校正的β劑量率；γ為γ劑量率（無需校正）；U-β、Th-β、K-β分別為樣品顆粒外層吸收的鈾、釷、鉀元素的β劑量率比重；U、Th、K表示樣品的鈾、釷、鉀含量（鈾、釷元素含量的國際單位為mg·kg?1或μg·g?1）；劑量率轉(zhuǎn)換因子U-β、Th-β、K-β、U-γ、Th-γ、K-γ的值分別為0.146、0.0273、0.782、0.113、0.0476、0.243[6]，他們的不確定性也可假定具有常量相對標(biāo)準(zhǔn)誤差百分比（如5%）來獲得。

1.2 宇宙射線劑量率

宇宙射線由于穿透能力強，其衰減效應(yīng)可以忽略。宇宙射線劑量率是使用一系列參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗公式來估算的，這些參數(shù)包括樣品的埋藏深度、海拔高度、經(jīng)緯度等[7]。地磁緯度()與地理經(jīng)度()、緯度()之間的換算關(guān)系為[7]：

北緯與東經(jīng)為正，南緯與西經(jīng)為負(fù)。根據(jù)經(jīng)緯度確定了地磁緯度之后，便可確定參數(shù)、、的值。圖2給出了這三個參數(shù)隨地磁緯度的變化關(guān) 系[7]。圖2中曲線是通過對文獻[7]進行矢量化提取然后使用三階多項式擬合獲得的，參數(shù)、、隨地磁緯度變化的三階多項式逼近結(jié)果為：

(7)

(9)

當(dāng)?shù)卮啪暥戎荡笥?5時，可將參數(shù)、、視為定值，分別取0.231、0.761、4.098。需指出的是：采樣地點地理經(jīng)緯度、的不確定性會對參數(shù)、、造成影響，進而影響到宇宙射線劑量率的估計，但一般情況下這種影響可以忽略，因為通常宇宙射線劑量率對總劑量率的貢獻很小，且參數(shù)、、隨地磁緯度變化非常平緩(圖2)。

圖2 參數(shù)F、J、H隨地磁緯度值變化關(guān)系

因此，在估算宇宙射線劑量率誤差時，可依需要選擇是否并入經(jīng)緯度不確定性()、()的影響。確定了參數(shù)、、之值后，宇宙射線劑量率即可通過以下公式估算[7]：

(11)

(12)

式中，是采樣地點的海拔高度，m；為樣品埋藏深度，m；為樣品密度，g·cm?3；參數(shù)的單位為100 g·cm?2；常數(shù)=5.5×10?4。式(10)?(12)對采樣深度小于104(100 g·cm?2)、海拔高度小于5×103m范圍內(nèi)的樣品都有效。

1.3 含水量校正

水分能吸收輻射劑量，與干燥樣品相比，含有一定水分樣品的劑量率要相對偏低。因此，自然沉積物的劑量率需要依其實際含水量進行校正，否則會導(dǎo)致年齡低估。β、γ劑量率的含水量校正公式可分別表示為[8]：

(14)

式中，β、γ分別為含水量校正后的β、γ劑量率；β-dry、γ-dry分別為干樣的β、γ劑量率，為實測含水量（所含水分質(zhì)量與干樣質(zhì)量之比）。

2 劑量率的誤差估計

誤差傳遞公式是科學(xué)計算中誤差估計使用最為廣泛的方法[9]，以個獨立自變量(x，1, 2, 3, …,)為參數(shù)的因變量函數(shù)的誤差傳遞方程為：

式中，()為目標(biāo)變量的誤差；?/?x為函數(shù)關(guān)于第個自變量x的偏導(dǎo)數(shù)；2(x)表示第個自變量誤差的平方。需要注意的是，由于式(15)假定自變量參數(shù)協(xié)方差為零，故僅適用于獨立自變量誤差分析，當(dāng)某些自變量呈相關(guān)性時，該方法失效。根據(jù)式(1)?(14)的結(jié)果，粗顆粒石英礦物年劑量率方程可表示為：

(16)

式中，包含的自變量參數(shù)包括U、Th、K；U-β、Th-β、K-β、U-γ、Th-γ、K-γ；U-β、Th-β、K-β；、D等。若利用式(15)來估計劑量率的誤差()，則需對所有自變量參數(shù)分別求偏導(dǎo)數(shù)，如目標(biāo)變量對鈾、釷、鉀含量U、Th、K的偏導(dǎo)數(shù)分別為：

(18)

(19)

使用這種方法依次求出因變量對其他參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)式(15)計算不同誤差項對劑量率誤差的累積貢獻?？梢?，使用誤差傳遞公式估計劑量率誤差的過程非常繁瑣。此外，同樣受諸多因素影響的宇宙射線劑量率的誤差貢獻(D)需單獨估計。若忽略經(jīng)緯度、及參數(shù)、、的不確定性影響，則D的誤差主要取決于式(10)?(12)中參數(shù)、、的不確定性，但目標(biāo)變量D對這三個參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的分析表達(dá)式同樣非常復(fù)雜。

另一種不確定性估計方法為Monte Carlo誤差傳遞法，該方法在釋光測年中的應(yīng)用可參考文獻[10?11]。Monte Carlo技術(shù)通過大量重復(fù)性隨機模擬獲得目標(biāo)變量的頻率分布，不需進行繁瑣復(fù)雜的誤差解析式推導(dǎo)，卻能全面地監(jiān)測劑量率計算過程的不確定性傳遞。記實測鈾、釷、鉀含量U、Th、K誤差分別為(U)、(Th)、(K)，假定劑量率轉(zhuǎn)換因子及β劑量吸收比重的相對誤差百分比分別為和，則相關(guān)參數(shù)值與對應(yīng)的相對誤差百分比之乘積即為其實際誤差，如鈾元素含量對β劑量率轉(zhuǎn)換因子誤差(U-β)U-β，鈾元素β劑量吸收比重誤差(U-β)U-β，由此可計算出(U-β)、(Th-β)、(K-β)、(U-γ)、(Th-γ)、(K-γ)、(U-β)、(Th-β)、(K-β)；含水量誤差()取決于待測樣品的沉積環(huán)境（一般可假定為5%?10%）；海拔高度誤差()、埋藏深度誤差()、樣品密度誤差()可用來計算宇宙射線劑量率誤差(D)，甚至經(jīng)緯度誤差()、()也可以并入模擬運算中。確定了所有自變量參數(shù)的誤差之后，便可假定所有參數(shù)均服從均值為給定值、標(biāo)準(zhǔn)偏差為對應(yīng)誤差的正態(tài)分布，例如，在軟件中一組服從均值為U、標(biāo)準(zhǔn)偏差為(U)的隨機鈾含量數(shù)據(jù)可使用代碼rnorm(=1,mean=U,=(U))生成。根據(jù)隨機生成的自變量參數(shù)即可模擬計算隨機劑量率值（一般需重復(fù)該過程1000?10000次），最后將模擬獲得的隨機劑量率數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為實際劑量率的誤差估計。至于對樣品年齡及其誤差的估計，只需在上述模擬中并入使用等效劑量及其誤差()生成的隨機等效劑量數(shù)據(jù)即可。本文利用軟件編寫了劑量率（年齡）計算與Monte Carlo誤差模擬開源函數(shù)calDA()，該函數(shù)已加載到程序包numOSL[12]中，表1列出了該函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。

表1 石英樣品年劑量率Monte Carlo誤差模擬函數(shù)calDA()涉及的自變量參數(shù)符號

3 計算實例

本文使用騰格里沙漠南緣風(fēng)積物樣品[13]的一組實測數(shù)據(jù)來說明劑量率隨機模擬函數(shù)calDA()的用法。安裝并加載程序包numOSL(http://CRAN. R-project.org/package=numOSL)之后，在平臺中輸入以下代碼即可模擬劑量率計算過程：

require(numOSL)

calDA(dose=c(25.04,0.68), minGrainSize=90,

maxGrainSize=180, Ucontent=c(2.86,0.19),

Thcontent=c(8.63,0.34), Kcontent=c(2.00,0.11),

Wct=c(0.05,0.05), depth=c(1.1,0.05),

altitude=c(1170,58.5), latitude=c(37.64,1.88),

longitude=c(103.16,5.16), bulkDensity=c(2.5,0.1),

nsim=10000, rdcf=0.05, rba=0.05)

上述代碼表示待分析樣品的等效劑量值為(25.04±0.68) Gy，顆粒粒徑為90?180 μm，鈾、釷、鉀含量分別為(2.86±0.19) mg·kg?1、(8.63±0.34) mg·kg?1、(2.00±0.11)%，含水量為(5±5)%，采樣深度為(1.1±0.05) m，海拔高度為(1170±58.5) m，緯度為(37.64±1.88)°N，經(jīng)度為(103.16±5.16)°E，樣品平均密度為(2.5±0.1) g·cm?3，Monte Carlo模擬次數(shù)為10000，劑量率轉(zhuǎn)換因子及β劑量吸收比重的相對誤差百分比皆為5%。函數(shù)calDA()計算的樣品劑量率為(3.31±0.23) Gy·ka?1，年齡為(7.56±0.56) ka，模擬生成的劑量率及年齡頻率分布圖見圖3。這與根據(jù)誤差傳遞公式計算的劑量率(3.29±0.24) Gy·ka?1及年齡(7.62±0.59) ka是一致的。Monte Carlo誤差模擬過程具有相當(dāng)高的靈活度，若希望對某自變量參數(shù)(如depth、altitude、latitude、longitude、bulkDensity、alphaValue)的誤差貢獻不予考慮，則模擬過程中無需提供其誤差值。例如，上述代碼若將海拔高度altitude=c(1170, 58.5)更改為altitude=1 170，則模擬過程中海拔高度為固定值，其誤差58.5 m不參與劑量率誤差模擬。

圖3 Monte Carlo方法模擬的劑量率(a)及年齡(b)頻率分布圖

4 結(jié)語

本文介紹了釋光年代學(xué)劑量率計算及誤差傳遞法在劑量率誤差估計中的應(yīng)用。劑量率計算涉及的參數(shù)非常多，造成誤差傳遞公式估計劑量率誤差的過程非常繁瑣。本文使用Monte Carlo誤差傳遞技術(shù)模擬了劑量率計算的誤差傳遞過程，并編寫了執(zhí)行模擬運算的開源函數(shù)calDA()。相對于誤差傳遞公式來說，Monte Carlo誤差模擬技術(shù)具有計算簡便、算法靈活的特點，適用于模擬由多變量參數(shù)耦合不確定性導(dǎo)致的目標(biāo)變量誤差傳遞過程。

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Determining the error of dose rate estimates on luminescence dating using Monte Carlo approach

PENG Jun DONG Zhibao ZHANG Zhengcai

(Cold and Arid Regions Environmental and Engineering Research Institute, Chinese Academy of Sciences, Lanzhou 730000, China)

Background: In luminescence dating, dose rate is the irradiation dose a sample absorbed per unit time. The estimation of a dose rate affects the reliability of the burial age. Quadratic Propagation of Uncertainty (QPU) is routinely used to assess the standard error of a dose rate estimate. However, dose rate calculation involves lots of non-linear transformations between various parameters. This complicates the application of QPU method in dose rate error estimation. Purpose: In the current study, a detailed introduction to the calculation of the annual dose rate in case of coarse quartz sediments is given. A Monte Carlo technique (a “parametric bootstrap” method) is employed to simulate the propagation of uncertainty in dose rate calculation. Methods: An open sourceprogram used for performing the simulation is developed. A practical application of this technique is illustrated using a measured data set. Results & Conclusion: The Monte Carlo method is more flexible and simple in comparison with the QPU approach in dose rate error assessment. The stochastic scheme described in this article can be applied to any field of the analytical sciences.

Luminescence dating, Dose rate calculation, Error propagation, Monte Carlo technique

TL84

TL84

10.11889/j.0253-3219.2015.hjs.38.070201

國家重大科學(xué)研究計劃項目(No.2013CB956000)、國家自然科學(xué)基金項目(No.41130533、No.41171010)資助

彭俊，男，1987年出生，2013年于中國科學(xué)院青海鹽湖研究所獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要從事釋光年代學(xué)研究

2015-04-01，

2015-06-01