E.Ghys猜想的注記

郭亞曉，楊將

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安　710127)

E.Ghys猜想的注記

郭亞曉，楊將

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127)

通過(guò)類(lèi)比自治動(dòng)力系統(tǒng)中拓?fù)潇刂笖?shù)收斂的定義，給出了非自治拓?fù)潇刂笖?shù)收斂的定義及非自治Lipschitz系統(tǒng)中E.Ghys猜想成立的充分條件與必要條件，推廣了自治動(dòng)力系統(tǒng)中的相關(guān)結(jié)論.

非自治動(dòng)力系統(tǒng)；拓?fù)潇兀混鼐S數(shù)；Lipschitz系統(tǒng).

1　引言

1965年，文獻(xiàn)[1]定義了緊致拓?fù)淇臻g上的連續(xù)自映射拓?fù)潇?，它是一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)復(fù)雜程度的不變量.1971年，文獻(xiàn)[2]引入生成集和分離集的概念，對(duì)緊度量空間上的連續(xù)自映射定義了等價(jià)的拓?fù)潇?，使人們?duì)這一概念有了更直觀清晰的認(rèn)識(shí).

對(duì)于有限維緊無(wú)邊黎曼流形M，若f：M→M 是C1映射，Kushnirenko定理[3]給出了拓?fù)潇氐纳辖?/p>

對(duì)于更一般的 Lipschitz系統(tǒng)，則 htop(f)≤dimEX·lnL(f)，其中 (X，d)是緊度量空間，f：X→X是Lipschitz映射，dimEX是熵維數(shù)，L(f)是映射f的Lipschitz常數(shù).

對(duì)于給定的動(dòng)力系統(tǒng)(X，f)，由于拓?fù)潇嘏c度量無(wú)關(guān)，故

其中D是誘導(dǎo)相同拓?fù)涞亩攘康募?，Ld(f)為相對(duì)于度量d的Lipschitz常數(shù).

不等式(1)給出了拓?fù)潇亍㈧鼐S數(shù)及Lipschitz常數(shù)三者的關(guān)系.之后，E.Ghys給出E.Ghys猜想，將不等式(1)變?yōu)榈仁?/p>

2009年，文獻(xiàn)[4]給出了等式(2)成立的充要條件為拓?fù)潇刂笖?shù)收斂.

本文所做的工作是在文獻(xiàn)[4]的研究基礎(chǔ)上引入非自治拓?fù)潇刂笖?shù)收斂的概念，并且給出非自治Lipschitz系統(tǒng)中E.Ghys猜想成立的一個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件.

2　預(yù)備知識(shí)

定義 2.1設(shè)(X，f1，∞)為非自治緊動(dòng)力系統(tǒng)，若任意fi都是Lipschitz映射，則(X，f1，∞)為非自治Lipschitz動(dòng)力系統(tǒng).

記Sd(r)為半徑為r的開(kāi)球所形成X覆蓋的最小基數(shù).

定義 2.2[6]設(shè)(X，d)為緊度量空間，其熵維數(shù)定義為：

定義2.3[5]設(shè)n∈Z+，任意ε＞0，稱(chēng)X的一個(gè)子集F為X的相對(duì)度量d的(n，ε)生成集，如果任意x∈X，存在y∈F使得

記Md(f1，∞，n，ε，X)為相對(duì)度量d的(n，ε)生成集的最小基數(shù).

定義 2.4[5]設(shè)(X，f1，∞)為非自治動(dòng)力系統(tǒng)，映射f1，∞的拓?fù)潇囟x為：

定義2.5設(shè)(X，f1，∞)為非自治動(dòng)力系統(tǒng)，非自治拓?fù)潇刂笖?shù)收斂是指任意δ＞0，存在與原度量d等價(jià)的度量dδ和常數(shù)Cδ＞0，εδ＞0，使得對(duì)于任意0＜ε＜εδ，N＞Cδ·|lnε|，不等式

成立.

3　非自治動(dòng)力系統(tǒng)中E.Ghys猜想成立的充分與必要條件

文獻(xiàn)[5]給出非自治Lipschitz動(dòng)力系統(tǒng)中拓?fù)潇?、熵維數(shù)、Lipschitz常數(shù)三者不等關(guān)系式

(其中L′d(fi)=max{1，Ld(fi)}，而Ld(fi)為fi相對(duì)于度量d的Lipschitz常數(shù))的證明.為了證明的完整性，下面給出證明過(guò)程.

定理 3.1[5]設(shè)(X，f1，∞)為非自治Lipschitz動(dòng)力系統(tǒng)，則

其中L′d(fi)=max{1，Ld(fi)}.

推論 3.1對(duì)于任意r＞0和λ∈(0，1)，設(shè)

則Smλ(r)≤Md(f1，∞，Nλ(r)，ελ(r)，X).

引理 3.2設(shè) (X，f1，∞)為非自治動(dòng)力系統(tǒng)，若非自治拓?fù)潇刂笖?shù)收斂，則存在常數(shù)λδ＞ 0，rδ＞0，對(duì)于任意0＜r＜rδ，λδ＜λ＜1，下列不等式成立

因此存在λδ＞0，rδ=min(r1，r2)＞0，對(duì)于任意0＜r＜rδ，λδ＜λ＜1時(shí)，不等式(7)(8)同時(shí)成立.

定理 3.2設(shè)(X，f1，∞)為非自治Lipschitz動(dòng)力系統(tǒng)，若非自治拓?fù)潇刂笖?shù)收斂，且對(duì)任意λ∈(0，1)時(shí)，存在與原度量d等價(jià)的度量mλ，若對(duì)于任意i∈Z+，映射fi相對(duì)度量mλ的Lipschitz常數(shù)則等式

成立，其中L′d(fi)=max{1，Ld(fi)}.

下面給出等式(11)式成立的必要條件.

定理3.3設(shè)(X，f1，∞)為非自治Lipschitz系統(tǒng)，等式

[1]Adler R L，Konheim A G，McAndrew M H.Topological entropy[J].Trans.Amer.Math.Soc.，1965，114：309-319.

[2]Bowen R.Topological entropy and Axiom A[J].Proc.Sympos.Pure.Math.，1971，14：23-42.

[3]Kushnirenko A G.An upper bound for the entropy of a classical system[J].Dokl.Akad.Nauk.SSSR.，1965，161：360-362.

[4]Saltykov P S.On the relation between topological entropy and entropy dimension[J].Matematicheskie Zametki，2009，86：280-289.

[5]Zhu Yujun.Entropy of nonautonomous dynamical systems[J].J.Korean Math.Soc.，2012，1：165-185.

[6]Kenneth Falconer.Fractal Geometry：Mathematical Foundations and Applications[M].America：Wiley，2013.

The remark on E.Ghys conjecture

Guo Yaxiao，Yang Jiang
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China)

In this paper，through analogy to the definition of topology entropy exponential convergence of the automomous dynamical system，we obtain the nation of nonautonomous topological entropy exponential convergence，and we also give the sufficient condition and the necessity condition of E.Ghys conjecture in the nonautonomous Lipschitz dynamical systems，such that we expand the related solution of application of the automomous dynamical system.

nonautonomous dynamical systems，topological entropy，entropy dimension，Lipschitz system

O189

A

1008-5513(2015)01-0065-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.008

2014-09-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301417).

郭亞曉(1989-)，碩士生，研究方向：拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng).

2010 MSC:37B40