基于多級維納濾波器降維的STAP處理算法性能分析

洪成洋，盛驥松

（1.江蘇科技大學(xué)，鎮(zhèn)江212003；2.中國船舶重工集團(tuán)公司第723研究所，揚(yáng)州225001）

0 引 言

雜波抑制是機(jī)載雷達(dá)下視工作時(shí)首要解決的問題。空時(shí)自適應(yīng)處理（STAP）能夠充分利用空域與時(shí)域信息，在對目標(biāo)信號進(jìn)行相干積累的同時(shí)，通過空時(shí)二維濾波濾除地面雜波，從而有效地提高機(jī)載雷達(dá)檢測目標(biāo)能力［1］。1973年Brennan等人根據(jù)最大似然比理論導(dǎo)出了最優(yōu)濾波器結(jié)構(gòu)。最優(yōu)濾波器性能優(yōu)越，但計(jì)算量龐大，且難以獲得估計(jì)協(xié)方差矩陣所需的足夠樣本數(shù)，實(shí)際工程難以應(yīng)用。在此背景下，多種降維算法被提出。常見的降維算法有特征干擾相消器、主特征值法、交叉譜法、多級維納濾波器法等［2］。

主分量法和互譜法均是基于協(xié)方差矩陣的特征值分解方法，其運(yùn)算量較大，在時(shí)變信號和在快拍數(shù)較少的情況下，所估計(jì)的協(xié)方差矩陣不準(zhǔn)確，會使得特征值和特征矢量的估計(jì)存在較大的誤差。而且主分量法在降維子空間的維數(shù)小于信源數(shù)的情況下，性能會大大下降［3］。互譜法雖然允許降維子空間的維數(shù)小于信源數(shù)，但與性能優(yōu)良、運(yùn)算量很小的多級維納濾波器相比，在快拍數(shù)較小時(shí)，其降維效果仍然差強(qiáng)人意［4］。下面主要探討多級維納濾波器在空時(shí)自適應(yīng)處理中的應(yīng)用及性能。

1 理論分析

1.1 空時(shí)自適應(yīng)處理

空時(shí)自適應(yīng)處理的實(shí)質(zhì)是一維空域?yàn)V波技術(shù)在空時(shí)二維域中的推廣和應(yīng)用，利用目標(biāo)和雜波在角度－多普勒域上分布的差異性，通過對能使目標(biāo)信號增益最大的權(quán)值計(jì)算，實(shí)現(xiàn)雜波的抑制［5］。

假設(shè)雷達(dá)天線為N陣元的線陣，一個(gè)相干處理間隔內(nèi)的脈沖數(shù)為K，則雷達(dá)天線接收的某一距離單元的空時(shí)采樣信號可以用一組N×K維的快拍數(shù)據(jù)表示，即：

式中：n＝1，2，…，N；k＝1，2，…，K ；xn，k，l為雷達(dá)第n個(gè)陣元、第k個(gè)脈沖、在第l次快拍時(shí)的空時(shí)二維采樣數(shù)據(jù)。

則全空時(shí)二維自適應(yīng)處理結(jié)構(gòu)即“最優(yōu)處理器”的原理如圖1所示，wnk（n＝1，2，…，N；k＝1，2，…，K）為空時(shí)二維權(quán)系數(shù)。

圖1 全空時(shí)自適應(yīng)信號處理原理圖

處理過程中，可以按先時(shí)后空的順序?qū)l表示為NK×1的矢量，即：

式中：Xn，l＝ ［xn，1，l…xn，k，l…xn，K，l］。

也可以按先空后時(shí)的順序同樣表示為NK×1的矢量，即：

式中：Xk，l＝ ［x1，k，l…xn，k，l…xN，k，l］Τ。

同時(shí)，用先時(shí)后空排列的NK×1維W表示該處理器的權(quán)矢量，則：

該處理器可以描述為如下的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題：

最優(yōu)空時(shí)自適應(yīng)性能優(yōu)越，但計(jì)算量龐大，且難以獲得估計(jì)協(xié)方差矩陣所需的足夠樣本數(shù)［6］，在實(shí)際工程中難以應(yīng)用。因此需要采用降維算法來進(jìn)行準(zhǔn)最優(yōu)空時(shí)處理，目前比較常用的降維算法是主分量法和多級維納濾波，下面分別對這2種算法進(jìn)行理論分析。

1.2 主分量法

主分量法是對觀測數(shù)據(jù)X的協(xié)方差矩陣作特征值分解，挑選出與大特征值相對應(yīng)的特征矢量，構(gòu)成降維子空間的一個(gè)基，然后把觀測數(shù)據(jù)投影到該子空間中，得到降維的觀測數(shù)據(jù)［7］，因?yàn)槿S空時(shí)最優(yōu)濾波器權(quán)矢量為：

對Rx特征值分解后為：

式中：λi，Vi分別為協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量；N為自由度的總個(gè)數(shù)。

PC算法是保留r個(gè)大的特征值及其特征向量，舍去剩余特征值，式中特征值按從大到小排列，即：

式中：rPC比N小，選擇rPC的策略是保留高于噪聲基底的特征值。

圖2為主分量法的一種常用結(jié)構(gòu)（PC－SD）。

圖2 主分量法（PC－SD）結(jié)構(gòu)圖

PC－SD算法需考慮目標(biāo)導(dǎo)量。圖中B為一系列與目標(biāo)空時(shí)導(dǎo)量s正交的矢量，則PC－SD的空時(shí)導(dǎo)量為：

1.3 多級維納濾波

多級維納濾波器（MWF）是維納濾波器的一種等效多級實(shí)現(xiàn)形式，利用一序列的正交投影將輸入信號X0（K）多級分解，再進(jìn)行維納濾波，綜合出維納濾波器輸出誤差信號ε0（k）［8］。結(jié)構(gòu)如圖3所示。

上面為廣義旁瓣相消器架構(gòu)，下邊為多級維納濾波器結(jié)構(gòu)。X（k）為陣列數(shù)據(jù)向量，s為方向?qū)Я?，B0為s的阻塞矩陣，即B0＝0，d0＝sHX（k）。Bi為第i級阻塞矩陣，hi為Xi－1（k）和di－1（k）互相關(guān)向量。多級維納濾波器分前向分解濾波器組和后向綜合濾波器組［9］。前向分解是通過依次對前一級觀測數(shù)據(jù)Xi（k）進(jìn)行正交投影分解得到后一級的觀測數(shù)據(jù)Xi＋1（k）和參考信號di＋1（k），其中Xi（k）為 （N－i）×1維向量，Xi＋1（k）為 （N－i－1）×1向量，即觀察數(shù)據(jù)的維度依次降低1維。后向綜合指的是由一組逐級遞推的標(biāo)量維納濾波器輸出和相應(yīng)的期望信號疊加得到輸出誤差信號ε0（k）。

圖3 無失真響應(yīng)多級維納濾波器結(jié)構(gòu)體

現(xiàn)做簡略推導(dǎo)：由前向分解可得：

由后向綜合可得：

式中：d（k）＝ ［d1（k），d2（k），…，dN（k）］T。

又因?yàn)椋?/p>

所以：

代入ε0（k）＝d0（k）－WHdd（k），求的多級維納濾波器的等效自適應(yīng)權(quán)矢量為WMWF＝Wx0＝LHWd；從而得到本文所描述的無失真響應(yīng)多級維納濾波器（DR－MWF）的權(quán)矢量為：

當(dāng)做r級截?cái)鄷r(shí)即降秩多級維納濾波器。在r級分解處令dr（k）＝εr（k），且上面用r替換N可得：

1.4 降維算法性能比較分析

采用主分量法的協(xié)方差矩陣為：

可用特征基向量把協(xié)方差矩陣改寫為：

而MWF并沒有使用特征基向量；而是用Krylov子空間表示：

式中：rxd為輸入信號X和期望輸出d的互相關(guān)矢量；rMWF為空間的秩。

展開rxd可得：

式中：αi為有用信號與特征向量vi的互相關(guān)系數(shù)；rxd為Krylov子空間的第1個(gè)基，第2個(gè)為Rx0rxd。

再展開Rx0rxd：

因?yàn)樘卣飨蛄渴窍嗷フ坏模矗?/p>

所以公式（25）可以簡化為：

由公式（24）與（25）推導(dǎo)得任意Krylov基矢量可表示為：

從公式（29）發(fā)現(xiàn)每個(gè)Krylov基矢量都是特征向量的一個(gè)加權(quán)求和。這與主分量法類似。事實(shí)上，當(dāng)所有的αi＝1，則 MWF降維后的秩等于PCSD降維后的秩。又因?yàn)棣羒≤1，所以MWF的秩總是小于或等于PC－SD。因此在Krylov子空間，如果rMWF＝N，則所有Krylov基都會被保留，即空時(shí)濾波器維度為N；而當(dāng)rMWF＜N時(shí)，則Krylov子空間維數(shù)可以因?yàn)樘卣髦递^小或相關(guān)性較低而減小。實(shí)際上，研究表明存在低功率的干擾環(huán)境，因?yàn)棣羒值小，所以更適合用MWF算法降維。此外，MWF算法同樣更適用于密集干擾源的環(huán)境，因?yàn)楦蓴_源緊密相靠會使主特征向量產(chǎn)生較小的特征值，這些特征值給MWF降秩提供了更多選擇［10］。

2 仿真分析

設(shè)機(jī)載相控陣為8×8的平面陣經(jīng)微波合成的等效線陣，正側(cè)視放置天線。雷達(dá)單重頻工作，脈沖重復(fù)頻率為fPRF＝1kHz，載頻fc＝1GHz，發(fā)射脈沖寬度為0.2μs，雷達(dá)工作波長λ＝0.2m，陣元間距d＝λ／2，設(shè)定噪聲功率為0dB，雜噪比σCNR＝10dB；有效干擾源個(gè)數(shù)為3，到達(dá)方向分別為25.8°、47.2°、－39.0°。并設(shè)初始時(shí)刻σJNR＝40dB，β＝1，風(fēng)速設(shè)定為10Mph。

圖4為方向圖對比；圖5為MWF與PC－SD性能比較。2種算法法均在雜波和干擾處均形成了較深的凹口，而 MWF的凹口更低，抑制雜波效果更好。

PC－SD在秩選16時(shí)達(dá)到最小MSE，這意味著PC－SD算法需要16個(gè)自適應(yīng)自由度（ADOF）才能抑制干擾；而MWF僅需要9個(gè)ADOF就能達(dá)到同樣的效果。此外，MWF在維度選擇方面更加靈活。如圖4所示，MWF的秩取5～17，其性能損失都不超過3dB，這意味著MWF的秩選擇5～17均可行。

現(xiàn)保持σCNR不變，改變σJNR，即σJNR從30dB變到50dB。表1、表2顯示了2種算法對應(yīng)的MSE性能。

圖4 方向圖對比（2fd／fr＝0.5）

圖5 MWF與PC－SD性能比較

表1 JNR變化時(shí)有效的秩值

由表1數(shù)據(jù)可見，σJNR從30dB增長到50dB時(shí)，PC－SD維度變化不大，而 MWF的維度能自適應(yīng)改變，且可選維度范圍明顯小于PC－SD維度。

當(dāng)保持σJNR為50dB，改變σCNR時(shí)，即將σCNR從20dB增大到40dB。

由表2中數(shù)據(jù)可見，σCNR從20dB增長到40dB，2種算法可選的秩值基本不變，但 MWF的可選維度范圍仍明顯小于PC－SD算法。

表2 CNR變化時(shí)有效的秩值

由實(shí)驗(yàn)可推得：MWF結(jié)構(gòu)的空時(shí)自適應(yīng)處理技術(shù)能自適應(yīng)干擾功率的變化而變化，干擾功率越小，濾波器所需的自由度越少；且與主分量法相比，MWF系統(tǒng)運(yùn)算需要的自由度更少，收斂所需的快拍數(shù)更低，更能適應(yīng)實(shí)際復(fù)雜多變的環(huán)境。

3 結(jié)束語

先從理論上論述了STAP降維算法——MWF算法和PC－SD算法，然后從理論上分析比較了兩者的性能，接著對2種算法進(jìn)行數(shù)值仿真。理論分析和數(shù)值仿真的結(jié)果表明：MWF算法相對于PC－SD算法對雜波與干擾的抑制能力強(qiáng)；且不需計(jì)算特征向量，系統(tǒng)運(yùn)算需要的自由度更少，收斂所需的快拍數(shù)更低，降維性能更好；并且能夠自適應(yīng)干擾功率的變化而變化。由此可知，MWF在降維性能、算法計(jì)算量以及自適應(yīng)環(huán)境等方面具有明顯優(yōu)勢。

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