基于因子分析和序貫概率比檢驗(yàn)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

閔志華，孫利民，王英

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基于因子分析和序貫概率比檢驗(yàn)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

閔志華1，孫利民2，王英1

(1. 上海師范大學(xué) 建筑工程學(xué)院，上海，201418；2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，200092)

提出一種基于因子分析和序貫概率比檢驗(yàn)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。基于健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)提取的結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征不僅受結(jié)構(gòu)狀態(tài)的影響，而且受環(huán)境因素、測(cè)量噪聲、分析誤差的影響。當(dāng)影響結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征的環(huán)境因素未知或者不能完全測(cè)量時(shí)，基于因子分析可以提取結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征場(chǎng)的公共因子作為環(huán)境影響效應(yīng)的映射，并結(jié)合序貫概率比檢驗(yàn)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。首先對(duì)因子分析的基本理論進(jìn)行介紹，并建立因子分析的矩陣擴(kuò)展法，在此基礎(chǔ)上討論基于Mann-Whitney秩和的序貫概率比檢驗(yàn)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)判別。最后通過(guò)1個(gè)斜拉橋的數(shù)值算例驗(yàn)證方法的可行性，結(jié)果表明該方法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別較小的結(jié)構(gòu)損傷。

因子分析；序貫概率比檢驗(yàn)；結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別；健康監(jiān)測(cè)

近年來(lái)，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)越來(lái)越受關(guān)注。世界各國(guó)已經(jīng)在許多大型橋梁上設(shè)計(jì)和安裝了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，如香港的青馬大橋、韓國(guó)的Seohae橋和中國(guó)的東海大橋等[1]。大多數(shù)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)不僅測(cè)量結(jié)構(gòu)響應(yīng)，如位移、加速度、應(yīng)力等，而且監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)所處的環(huán)境狀況，如溫度、風(fēng)速/風(fēng)向、相對(duì)濕度、車輛荷載等。這些健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)大多已運(yùn)營(yíng)了一段時(shí)間，積累了大量的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，如何基于這些監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的評(píng)估尤其是結(jié)構(gòu)損傷的識(shí)別是工程技術(shù)人員面臨的一道難題?；谡駝?dòng)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法具有實(shí)時(shí)性以及不需要封閉交通等優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛關(guān)注，其中結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)及其導(dǎo)出量是最常用的基于振動(dòng)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別指標(biāo)之一。已有的研究發(fā)現(xiàn)在某些情況下由于環(huán)境因素變化引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變比由于結(jié)構(gòu)損傷引起的模態(tài)參數(shù)的改變更大，如Peeters等[2]通過(guò)研究Z24橋1 a的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，由環(huán)境變化導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的前4階模態(tài)頻率的年相對(duì)變化比為14%~18%，尤其是當(dāng)溫度低于0 ℃時(shí)其影響程度更大。Sohn等[3]基于線性模型分析了由環(huán)境因素(溫度和濕度)引起的Alamosa Canyon橋動(dòng)力特性的改變。Xia等[4]分析了1個(gè)兩跨鋼筋混凝土連續(xù)板在2 a內(nèi)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)改變，發(fā)現(xiàn)當(dāng)溫度每升高1 ℃時(shí)模態(tài)頻率降低0.13%~0.23%，濕度每增加1%時(shí)模態(tài)頻率降低0.03%。Ni等[5]基于支持向量機(jī)分析了香港Ting Kau橋(四跨斜拉橋)的模態(tài)頻率和溫度變化間的相關(guān)關(guān)系。Abe等[6]對(duì)日本白鳥(niǎo)大橋進(jìn)行了2周的環(huán)境振動(dòng)監(jiān)測(cè)，其結(jié)果表明結(jié)構(gòu)頻率隨著風(fēng)速的增大而降低，而阻尼比隨著風(fēng)速的增大而增大。Zhang等[7]對(duì)徐浦大橋進(jìn)行了連續(xù)24 h動(dòng)力測(cè)試，認(rèn)為在風(fēng)和溫度相對(duì)穩(wěn)定的情況下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性的改變是由于交通流的變化所引起的。Li等[8]對(duì)某一斜拉橋連續(xù)4 d的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，認(rèn)為在溫度和風(fēng)對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和阻尼比具有較大的影響。閔志華等[9]對(duì)東海大橋主航道斜拉橋1 a的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)和環(huán)境因素?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行了分析，通過(guò)相干性和相關(guān)性分析揭示了在1 a監(jiān)測(cè)期內(nèi)環(huán)境溫度和交通荷載是影響結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)變化的主要環(huán)境因素，但短暫的強(qiáng)風(fēng)荷載也會(huì)較為明顯地改變結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)[10]?；诮Y(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別時(shí)，需要考慮到基于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)提取的結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征受環(huán)境因素(包含荷載狀況)、測(cè)量噪聲、分析誤差的影響，因此，閔志華[11]提出了基于健康監(jiān)測(cè)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)特性概率性分析方法。該方法將結(jié)構(gòu)狀態(tài)分析過(guò)程分為結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征提取、環(huán)境因素識(shí)別、環(huán)境影響效應(yīng)分析和結(jié)構(gòu)狀態(tài)概率性判別這4個(gè)子過(guò)程。其中在環(huán)境影響效應(yīng)分析子過(guò)程中，當(dāng)環(huán)境因素已知時(shí)可以采用基于回歸分析的方法，當(dāng)環(huán)境因素未知或者無(wú)法完全測(cè)量時(shí)可以采用基于公共特征提取的方法?；诨貧w分析的方法主要有線性回歸、外輸入自回歸模型(auto-regressive model with exogenous inputs，ARX)、典型相關(guān)性分析、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，而基于公共特征提取的方法主要有主成分分析和非線性主成分分析。結(jié)構(gòu)狀態(tài)概率性判別子過(guò)程可以采用統(tǒng)計(jì)模式控制、假設(shè)檢驗(yàn)、異常分析和概率密度估計(jì)等方法，其中假設(shè)檢驗(yàn)又可以分為固定樣本量檢驗(yàn)和序貫分析。本文作者針對(duì)當(dāng)環(huán)境因素未知或者無(wú)法測(cè)量時(shí)提出了基于因子分析和序貫概率比檢驗(yàn)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。首先對(duì)因子分析理論進(jìn)行介紹，在此基礎(chǔ)上提出因子分析的矩陣擴(kuò)展法，接著對(duì)用于狀態(tài)判別的序貫概率比檢驗(yàn)方法進(jìn)行闡述，最后基于斜拉橋數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的可行性。

1 基于因子分析的環(huán)境影響效應(yīng)分析

1.1 因子分析的基本理論

主成分分析(principal components analysis，PCA)最早是由Pearson[12]提出的，其后由Hotelling[13]于1963年進(jìn)行了擴(kuò)展，主成分分析是利用降維的思想，將多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)指標(biāo)的多元統(tǒng)計(jì)方法，即通過(guò)尋找多維空間的主軸來(lái)代表原始空間的信息。圖1所示為二維空間上散點(diǎn)形成1個(gè)橢圓型輪廓的點(diǎn)陣，可由2個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示。主成分分析就是尋找到橢圓點(diǎn)陣的主軸來(lái)代替原有坐標(biāo)，此時(shí)可以通過(guò)1主軸獲得空間的大部分信息，從而實(shí)現(xiàn)了降維。

圖1 二維空間的PCA示意圖

因子分析(factor analysis，F(xiàn)A)是主成分分析的推廣，是從研究矩陣的內(nèi)部依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)共同因素的一種多元統(tǒng)計(jì)方法。多變量之間的共同因素稱為公共因子，每一個(gè)分量的特定因素稱為特殊因子，因子分析就是用較少的公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來(lái)表達(dá)原變量場(chǎng)的分量。因子分析除了能夠簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)、降低分析問(wèn)題的維數(shù)外，還能分析變量間的基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)有1個(gè)維數(shù)據(jù)，其具有個(gè)公共因子(≤)，即[14]

式中：1,2, …,f為中各分量的公共因子；f的均值為0，方差為1且相互獨(dú)立；為的特殊因子，只對(duì)起作用，各的均值為0，方差為且相互獨(dú)立。式(1)可以寫為

若x經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化，則表示x和f之間的相關(guān)系數(shù)。

因子載荷陣的計(jì)算方法有主成分分析法、主因素法、最大似然法和模型擬合度評(píng)估等。

因子分析的目的不僅是找出公共因子，更重要的是分析每個(gè)公共因子的意義。因此，在實(shí)際分析中為了使每個(gè)公共因子的意義更加明確，一般對(duì)已經(jīng)得到的載荷陣乘以1個(gè)階的正交矩陣：

從主成分分析和因子分析的理論中可以看出主成分分析是尋找原始變量間的線性組合，使線性組合得到的主成分的方差達(dá)到最大，并使觀測(cè)值在這些成分上顯示出最大的個(gè)體差異。而因子分析是解釋原始變量間的相關(guān)關(guān)系，能夠提供一些新變量對(duì)原始數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行解釋，可以看成是主成分分析的擴(kuò)展。兩者的差異可以歸納如下：

1) 主要目標(biāo)不同。主成分分析是為了減少變量的個(gè)數(shù)，以較少的變量來(lái)解釋原變量間的大部分變異，而因子分析則是尋找變量間的相關(guān)性和潛在的共同 因素。

2) 側(cè)重點(diǎn)不同。主成分分析強(qiáng)調(diào)的是解釋數(shù)據(jù)變異的能力，而因子分析強(qiáng)調(diào)的是變量之間的相關(guān)性。

3) 變異的解釋程度不同。主成分分析將所有的變量變異考慮在內(nèi)，而因子分析則會(huì)由于選擇的因子個(gè)數(shù)不同而會(huì)產(chǎn)生不同的誤差項(xiàng)。

4) 表示方法不同。主成分分析是將主成分表示為原始變量的線性組合，而因子分析是將原始變量表示為公共因子和特殊因子的線性組合，用公共因子來(lái)解釋變量間的內(nèi)部依賴關(guān)系。

從上述分析可以看出：因子分析用于環(huán)境影響效應(yīng)分析比主成分分析具有更加明確的物理意義和更好的解釋效果。

1.2 因子分析的矩陣擴(kuò)展法

基于健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可以提取結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征，多個(gè)結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征可以構(gòu)成結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征場(chǎng)，如多階模態(tài)頻率可構(gòu)成模態(tài)頻率場(chǎng)。由環(huán)境因素的影響機(jī)理可知：環(huán)境因素對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征的影響一般是對(duì)結(jié)構(gòu)整體狀態(tài)的影響，而結(jié)構(gòu)損傷或者結(jié)構(gòu)狀態(tài)的微小改變更多的是對(duì)結(jié)構(gòu)局部狀態(tài)的影響。對(duì)結(jié)構(gòu)整體狀態(tài)的影響導(dǎo)致對(duì)狀態(tài)特征場(chǎng)中的各向量具有相似的影響，而對(duì)結(jié)構(gòu)局部狀態(tài)的影響導(dǎo)致對(duì)某些結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征有較大的影響而對(duì)其他一些狀態(tài)特征的影響較小，如結(jié)構(gòu)損傷對(duì)某階模態(tài)頻率的影響要比對(duì)其他階模態(tài)頻率的影響大。由于環(huán)境因素對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征場(chǎng)中各向量具有相似的影響，因此，可以從結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征場(chǎng)中尋找出共同特征作為環(huán)境影響效應(yīng)的映射。

基于因子分析的環(huán)境影響效應(yīng)分析中首先需要基于基準(zhǔn)狀態(tài)的樣本計(jì)算因子載荷陣，然后將未知狀態(tài)樣本代入到因子載荷陣中計(jì)算公共因子，最后由計(jì)算得到的因子載荷陣和公共因子來(lái)重構(gòu)向量場(chǎng)，得到未知狀態(tài)樣本的特殊因子。

因子分析中會(huì)由于選擇的因子數(shù)的不同而存在一定的誤差，同時(shí)荷載陣一般也不是滿秩矩陣，故無(wú)法直接進(jìn)行模型重構(gòu)從而構(gòu)成對(duì)未知狀態(tài)樣本的映射。因此，本文提出因子分析的矩陣擴(kuò)展法，其擴(kuò)展方式及推導(dǎo)過(guò)程如下。

設(shè)有1個(gè)維向量，每個(gè)向量有(＞)個(gè)觀測(cè)值，其因子分析可寫為

式中：為公共因子個(gè)數(shù)。由于式(5)中和不是的完全分解矩陣，因此，無(wú)法由的反向映射估計(jì)，為此需要將矩陣和擴(kuò)展為和的形式：

式中：為左奇異向量矩陣；為右奇異向量矩陣；為奇異值矩陣。，且有。經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，可認(rèn)為的秩為，故可取前面的個(gè)分量來(lái)代替，則可寫為

結(jié)合和的擴(kuò)展式，易得

進(jìn)一步可得

2 序貫概率比檢驗(yàn)

在環(huán)境影響效應(yīng)分析的基礎(chǔ)上，需要基于概率統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)狀態(tài)判別，常用的概率統(tǒng)計(jì)方法有統(tǒng)計(jì)模式控制、假設(shè)檢驗(yàn)、異常分析、概率密度估計(jì)等，其中假設(shè)檢驗(yàn)可以分為固定樣本量檢驗(yàn)和序貫分析。

在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常會(huì)遇到樣本總體的分布狀態(tài)未知或者不易用簡(jiǎn)單函數(shù)進(jìn)行描述，但可以獲得基準(zhǔn)狀態(tài)的樣本集，需要判斷新樣本點(diǎn)是否與基準(zhǔn)狀態(tài)的樣本點(diǎn)服從同一分布的問(wèn)題。對(duì)此本文提出了一種基于Mann-Whitney秩和的SPRT，該方法能夠準(zhǔn)確地判斷出結(jié)構(gòu)狀態(tài)的改變[16]。

當(dāng)出現(xiàn)樣本相等的情況時(shí)，則取秩的均值作為相等樣本點(diǎn)的秩。

2) 分別計(jì)算基準(zhǔn)狀態(tài)的樣本集和未知狀態(tài)的樣本集的秩和為

3) 若2個(gè)樣本集服從同一分布，當(dāng)樣本量和均較大時(shí)，服從均值為和方差為的正態(tài)分布，其概率分布為

5) 對(duì)數(shù)似然比為

，

基于Mann-Whitney秩和的SPRT無(wú)需對(duì)樣本的分布進(jìn)行假定，只需獲得基準(zhǔn)狀態(tài)的樣本即可。這個(gè)條件在處理許多問(wèn)題時(shí)是比較容易滿足的，尤其是在基于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)狀態(tài)評(píng)估時(shí)。由于該方法沒(méi)有對(duì)樣本的分布狀態(tài)進(jìn)行假定，因此其適用范圍會(huì)更加廣泛。

這四首禪詩(shī)的禪意更加明顯，簡(jiǎn)短義精，耐人尋味，深入探索了《青松紅杏圖》中的禪意與禪境。 王詩(shī)在觀此畫(huà)時(shí)營(yíng)造一種清幽意境； 錢詩(shī)說(shuō)到“有相” “無(wú)相”，認(rèn)為智樸小像可為他本人又可為眾人之相，似偶非偶，禪機(jī)流露，且畫(huà)中僧似“瓢笠著支公”，表現(xiàn)遠(yuǎn)離塵囂、佛心清凈的狀態(tài)； 馮詞將焦點(diǎn)置于青松紅杏的色彩對(duì)比上，黑白水墨上有青、紅二色，與恬淡老僧相并，對(duì)比十分強(qiáng)烈。 正是這鮮明突出的色彩表達(dá)著佛教“色即是空”的道理； 孫詩(shī)更進(jìn)一步講到佛性原理——“空”，空無(wú)處不在，即使花紅柳綠奪人眼球，也不過(guò)欲求表達(dá)“空”的根本。 并且佛在我心，心靈可達(dá)到“萬(wàn)物與并生，萬(wàn)物與我為一”的境界，忘卻事物之間的一切分別。

3 數(shù)值算例

3.1 有限元模型修正

為了驗(yàn)證本文所提的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法的有效性，本文基于有限元程序ANSYS建立了東海大橋主航道斜拉橋(主跨420 m)的有限元模型。主梁采用beam188單元，橫梁采用beam4單元，斜拉索采用link10單元，集中質(zhì)量采用mass21單元，邊界支座采用combin14單元。全橋共有312個(gè)beam188單元，2346個(gè)beam4單元，192個(gè)link10單元，467個(gè)mass21單元，42個(gè)combin21單元。有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型

采用梯度法進(jìn)行有限元模型修正，在修正過(guò)程中以模態(tài)頻率的相對(duì)殘差和作為目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)輔以模態(tài)振型進(jìn)行校驗(yàn)。其目標(biāo)函數(shù)如下：

表1 模型計(jì)算值與實(shí)際測(cè)量值間的對(duì)比

3.2 結(jié)構(gòu)損傷和環(huán)境溫度的影響對(duì)比

選用跨中合攏段主梁(長(zhǎng)4 m)發(fā)生剛度損傷作為典型的損傷工況用于分析結(jié)構(gòu)狀態(tài)改變對(duì)結(jié)構(gòu)特征參數(shù)的影響，分別模擬5%，10%，15%，20%，30%和40%不同程度的損傷。在不同損傷程度時(shí)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的相對(duì)改變量如圖3所示。

圖3 不同工況下的結(jié)構(gòu)頻率的改變

從環(huán)境溫度對(duì)結(jié)構(gòu)特征參數(shù)的影響機(jī)理分析中可知：環(huán)境溫度影響材料的物理特性和幾何特性，如材料的彈性模量和線膨脹系數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[17?18]可知：當(dāng)溫度≤100 ℃時(shí)，環(huán)境溫度每改變1 ℃，混凝土材料的彈性模量改變量為?=?4.5×10?30，鋼材的彈性模量的改變量為?=?1.8×10?40。混凝土材料的線膨脹系數(shù)取為1.0×10?5，鋼材的線膨脹系數(shù)取為1.1×10?5。當(dāng)環(huán)境溫度在0~40 ℃變化時(shí)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的改變量如圖4所示。環(huán)境溫度變化40 ℃時(shí)結(jié)構(gòu)的1階橫向?qū)ΨQ側(cè)彎頻率(2階)的變化幅度為7.24%，前8階頻率中其余階模態(tài)頻率的變化幅度為1.34%~2.47%，這與實(shí)際監(jiān)測(cè)結(jié)果相似[8]。從數(shù)值模擬結(jié)果可以看出：由于環(huán)境溫度變化40 ℃引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的改變量要比由于微小結(jié)構(gòu)損傷引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的改變量大，若不進(jìn)行環(huán)境影響效應(yīng)分析，則只有當(dāng)由結(jié)構(gòu)損傷引起的結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征的改變量比由環(huán)境因素引起的結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征的改變量大很多時(shí)才能夠判別出結(jié)構(gòu)狀態(tài)的改變，而此時(shí)結(jié)構(gòu)必定發(fā)生了嚴(yán)重威脅到結(jié)構(gòu)安全性的較大程度的損傷。因此，在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，需要采用環(huán)境影響效應(yīng)分析和結(jié)構(gòu)狀態(tài)概率性分析方法才能對(duì)結(jié)構(gòu)中的微小損傷進(jìn)行判別。

圖4 環(huán)境溫度發(fā)生變化時(shí)結(jié)構(gòu)頻率的改變

由實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可知斜拉橋的環(huán)境溫度分布具有以下典型特征：1) 沿箱梁橫截面存在溫度梯度；2) 環(huán)境溫度沿橋梁長(zhǎng)度方向的分布大致相同；3) 箱梁左、右箱室的溫度略有不同[11]。為了能夠較真實(shí)地模擬環(huán)境溫度的影響，選用一個(gè)[0, 40] ℃均勻分布的隨機(jī)溫度作為箱梁中鋼結(jié)構(gòu)的溫度，箱梁中混凝土橋面板的溫度在鋼結(jié)構(gòu)溫度的基礎(chǔ)上增加1個(gè)服從(3, 4)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，兩側(cè)主塔在鋼結(jié)構(gòu)溫度的基礎(chǔ)上增加1個(gè)服從[0, 5]均勻分布的隨機(jī)溫度，斜拉索溫度在鋼結(jié)構(gòu)溫度的基礎(chǔ)上增加1個(gè)服從[0, 6]均勻分布的隨機(jī)溫度，兩側(cè)橫梁在鋼結(jié)構(gòu)溫度的基礎(chǔ)上增加1個(gè)服從[?2, 2]均勻分布的隨機(jī)溫度。這5個(gè)隨機(jī)溫度能夠有效地考慮實(shí)際結(jié)構(gòu)的溫度分布特點(diǎn)。對(duì)無(wú)損和不同損傷程度時(shí)環(huán)境溫度的影響各模擬10 000次。

在無(wú)損狀態(tài)時(shí)模擬10 000次得到的結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)頻率與鋼結(jié)構(gòu)溫度間的散點(diǎn)圖如圖5所示。從圖5可見(jiàn)：模態(tài)頻率與環(huán)境溫度間具有良好的線性相關(guān)性，同時(shí)，由于隨機(jī)溫度場(chǎng)的影響也具有一定的隨機(jī)性。

(a) 1階頻率；(b) 2階頻率；(c) 3階頻率

圖5 前3階頻率與環(huán)境溫度的相關(guān)性

Fig. 5 Scatter of the first three modal frequencies and environmental temperature

3.4 結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)判別

在環(huán)境溫度場(chǎng)作用下，基于因子分析和序貫概率比檢驗(yàn)分別對(duì)不同損傷程度下的結(jié)構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行判別。分析中取前8階模態(tài)頻率構(gòu)成模態(tài)頻率場(chǎng)，在進(jìn)行因子分析之前首先對(duì)模態(tài)頻率場(chǎng)依據(jù)無(wú)損狀態(tài)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，然后采用公共因子數(shù)為1的因子分析，得到不同損傷程度下的特殊因子，并基于序貫概率比檢驗(yàn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)狀態(tài)判別。

無(wú)損狀態(tài)時(shí)模態(tài)頻率場(chǎng)特殊因子的正態(tài)分布檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。從表2可以看出：除2，4和8階模態(tài)頻率的特殊因子能夠通過(guò)正態(tài)分布檢驗(yàn)外，其余階模態(tài)頻率的特殊因子不能通過(guò)正態(tài)分布檢驗(yàn)。

表2 無(wú)損狀態(tài)特殊因子正態(tài)分布檢驗(yàn)結(jié)果

注：F表示不服從正態(tài)分布；T表示服從正態(tài)分布。

基于本文提出的矩陣擴(kuò)展法計(jì)算因子分析的重構(gòu)矩陣，其重構(gòu)的相對(duì)誤差為4.11×10?15，表明所提出的重構(gòu)方法是非常有效的。

基于無(wú)損狀態(tài)下得到的重構(gòu)模型分別對(duì)各種損傷狀態(tài)下的模態(tài)頻率場(chǎng)進(jìn)行映射分析，得到不同損傷狀況下的特殊因子(如圖6所示)。由于部分階模態(tài)頻率特殊因子不能通過(guò)正態(tài)分布檢驗(yàn)，因此，在分析中采用極值分布理論估計(jì)得到超越概率為1.0%和0.1%的閾值限。從分析結(jié)果可以看出：前8階模態(tài)中除第2階和第4階模態(tài)頻率外，其余階均對(duì)于跨中主梁的損傷較敏感，其特殊因子隨著損傷程度的增大均有較大的變化，這與典型相關(guān)性分析得到的殘差變化不同[19]。還有一個(gè)更主要的不同之處是：在典型相關(guān)性分析中隨著損傷程度的增加殘差的均值是逐漸減小的，但在因子分析中不同階的特殊因子隨損傷程度的變化規(guī)律并不相同，前8階模態(tài)頻率中，第1，3和5階模態(tài)頻率的特殊因子均值隨著損傷程度的增加而減小，其余階的特殊因子均值隨著損傷程度的增加而增加，此時(shí)不能依據(jù)特殊因子均值來(lái)判斷結(jié)構(gòu)狀態(tài)的變化趨勢(shì)。

(a) 1階頻率；(b) 2階頻率；(c) 3階頻率

圖6 不同損傷程度時(shí)前3階模態(tài)頻率特殊因子

Fig. 6 Special factor of the first three modal frequencies in different damage cases

當(dāng)采用因子分析對(duì)環(huán)境影響效應(yīng)分析以后，可基于序貫概率比檢驗(yàn)方法來(lái)判斷結(jié)構(gòu)狀態(tài)的改變。分析時(shí)，首先依據(jù)無(wú)損狀態(tài)特殊因子的統(tǒng)計(jì)值進(jìn)行樣本標(biāo)準(zhǔn)化。由于不同階模態(tài)頻率的特殊因子隨著損傷程度的變化方向不一致，因此，針對(duì)不同階頻率設(shè)定不同的原假設(shè)和備選假設(shè)。第1，2和5階模態(tài)頻率特殊因子的原假設(shè)為，備選假設(shè)為(式中為正常狀態(tài)的特殊因子均值，為未知狀態(tài)的特殊因子均值)。而其余階模態(tài)頻率特殊因子的原假設(shè)為，備選假設(shè)為，第一類錯(cuò)誤概率和第二類錯(cuò)誤概率分別為和。在不同損傷程度下的前3階模態(tài)頻率的對(duì)數(shù)似然比如圖7所示，其判別結(jié)果如表3所示。從表3可以看出：大部分階數(shù)能夠在損傷5%時(shí)判斷出結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生改變，表明該方法能夠識(shí)別較小的結(jié)構(gòu)損傷。但當(dāng)出現(xiàn)較大的結(jié)構(gòu)損傷時(shí)如40%，第3，5，6，7和8階模態(tài)頻率的Mann-Whitney秩和SPRT卻不能夠作出判斷，這是因?yàn)榇藭r(shí)原假設(shè)和備選假設(shè)間的真實(shí)差值比2個(gè)樣本間的差值小很多，此時(shí)僅僅通過(guò)比較排序的秩和檢驗(yàn)就會(huì)失去較多的信息而不能作出準(zhǔn)確判別，但可以通過(guò)增大備選假設(shè)和原假設(shè)的差值來(lái)得到正確的分析結(jié)果。

(a) 1階頻率；(b) 2階頻率；(c) 3階頻率

圖7 Mann-Whitney秩和SPRT分析的結(jié)果

Fig. 7 Result of SPRT based on Mann-Whitney rank sum test

表3 Mann-Whitney秩和SPRT分析的判斷結(jié)果

注：A表示接受原假設(shè)，結(jié)構(gòu)狀態(tài)未發(fā)生改變；R表示拒絕原假設(shè)，結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生改變；N表示未判斷出結(jié)果。

4 結(jié)論

1) 基于因子分析和序貫概率比檢驗(yàn)?zāi)軌驕?zhǔn)確地識(shí)別出較小的結(jié)構(gòu)損傷。

2) 因子分析能夠較好地對(duì)環(huán)境影響效應(yīng)進(jìn)行分析，基于分析得到的特殊因子能夠很好地判別出結(jié)構(gòu)的狀態(tài)的變化。由于因子分析不需要已知環(huán)境因素的測(cè)量值，因此，基于因子分析得到的特殊因子中會(huì)出現(xiàn)部分特殊因子均值減小，而另外一部分特殊因子均值增大的情況，此時(shí)不能夠很好地判斷出結(jié)構(gòu)狀態(tài)的變化趨勢(shì)。

3) 基于Mann-Whitney秩和的SPRT能夠準(zhǔn)確地判斷出結(jié)構(gòu)狀態(tài)的微小改變。若原假設(shè)和備選假設(shè)的差異性要比真實(shí)的樣本差異性小很多時(shí)基于Mann-Whitney秩和的SPRT會(huì)無(wú)法進(jìn)行判斷，此時(shí)需要增大原假設(shè)和備選假設(shè)間的差異性。

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Structural damage identification based on factor analysis and sequential probability ratio test

MIN Zhihua1, SUN Limin2, WANG Yin1

(1. College of Civil Engineering, Shanghai Normal University, Shanghai 201418, China;2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A novel method of structural damage identification based on factor analysis and sequential probability ratio test was proposed. The structural condition features, which were extracted from the monitoring data, were not only affected by structural condition, but also influenced by environmental factors, measurement noise and analysis errors. When the environmental factors which affected structural condition features were unknown or could not be measured, the common factors of structural condition features field, which were calculated by the factor analysis, could be used to express the influences of environmental factors, and structural damage could be identified based on the sequential probability ratio test. The factor analysis theory was introduced firstly and the matrix excluding method of the factor analysis was derived. And then the structural condition was identified correctly by the sequential probability ratio test based on Mann-Whitney rank sum test. Finally, a numerical example of a cable-stayed bridge was used to validate this method, and the results show that the method can correctly identify small structural damage.

factor analysis; sequential probability ratio test; structural damage identification; structural health monitoring

O329；TU317

A

1672?7207(2015)01?0295?09

2014?02?12；

2014?04?02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51308338)；上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13ZR1458900)；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(13YZ060)；上海師范大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目(A-7001-12-002007)；上海師范大學(xué)原創(chuàng)與前瞻性預(yù)研項(xiàng)目(DYL201306) (Project(51308338) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(13ZR1458900) supported by Shanghai Natural Science Foundation; Project(13YZ060) supported by Innovation Program of Shanghai Municipal Education Commission; Project(A-7001-12-002007) supported by Leading Academic Discipline Project of Shanghai Normal University; Project(DYL201306) supported by Originality and Forward-looking Research Project of Shanghai Normal University)

閔志華，博士，講師，從事結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)與狀態(tài)評(píng)估研究；E-mail: zhmin_tj@hotmail.com

10.11817/j.issn.1672?7207.2015.01.040

(編輯 楊幼平)