四電平互補(bǔ)序列的研究

張嬌蓉，李忠玉（西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院，成都　610039）

四電平互補(bǔ)序列的研究

張嬌蓉，李忠玉
（西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院，成都610039）

0　引言

互補(bǔ)序列具有理想的自相關(guān)和互相關(guān)特性，與以往通信系統(tǒng)中普遍使用的單個(gè)序列不同，互補(bǔ)序列由若干個(gè)子序列構(gòu)成。在理論上，若通信系統(tǒng)中應(yīng)用互補(bǔ)序列是可以完全消除其多址干擾和多徑干擾。因此，互補(bǔ)序列成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)。1961年，Golay［1］第一次提出了互補(bǔ)序列的概念并介紹了它的一些數(shù)學(xué)特性，后來的一些學(xué)者對(duì)二進(jìn)制非周期互補(bǔ)序列對(duì)的定義、性質(zhì)以及構(gòu)造方法做了深入的研究，并將互補(bǔ)序列用于雷達(dá)、同步、信道估計(jì)，信號(hào)檢測(cè)等領(lǐng)域。后來對(duì)互補(bǔ)序列的研究方向也逐漸由二進(jìn)制擴(kuò)展到多相，非周期互補(bǔ)擴(kuò)展到周期互補(bǔ)，序列對(duì)擴(kuò)展到序列集上。1988年，Darnell［2］提出了多電平非周期互補(bǔ)集的概念并給出其構(gòu)造方法。1990年，Budisin［3］介紹了非周期多電平互補(bǔ)對(duì)的構(gòu)造方法，并將其應(yīng)用在雷達(dá)脈沖壓縮技術(shù)和噪聲生成中。雖然有很多學(xué)者對(duì)多電平的互補(bǔ)集、互補(bǔ)對(duì)做了深刻的研究，但這些對(duì)多電平的研究都是在比較大的大字符集上?，F(xiàn)實(shí)中，在小字符集上研究多電平序列更有實(shí)用價(jià)值。2010年，李旭東［4］就在小字符集上對(duì)四電平Z互補(bǔ)序列做了深入的研究。本文研究的重點(diǎn)也是小字符集上的四電平互補(bǔ)序列。

1　定義

四電平序列是指序列的元素取自于四個(gè)字符組成的字符集。本文研究的四電平序列是特指在字符集｛± 1，±2｝上定義的序列。

定義1令a=（a0，a1，…，aN-1）和b=（b0，b1，…，bN-1）是周期為N的序列，他們的周期互相關(guān)函數(shù)被定義為以下形式：

其中b*n+τ表示bn+τ的共軛。當(dāng)a=b時(shí)，上式表示序列a的周期自相關(guān)函數(shù)，數(shù)學(xué)表示如下：

定義2令a和b是周期為N的序列，他們的非周期互相關(guān)函數(shù)被定義為以下形式：

當(dāng)a=b時(shí)，上式表示序列a的非周期自相關(guān)函數(shù)，數(shù)學(xué)表示如下：

定義3令序列集a=（a1，a2，…，ap）的序列數(shù)目為P，每個(gè)序列長(zhǎng)度為N且序列元素的取值是在字符集｛± 1，±2｝的四電平序列，若滿足：

其中E為正整數(shù)，則序列集a就是周期四電平互補(bǔ)集。當(dāng)P=2時(shí)，則a就是周期四電平互補(bǔ)對(duì)。

定義4令序列集a的序列數(shù)目為P，每個(gè)序列長(zhǎng)度為N且序列元素的取值是在字符集｛±1，±2｝的四電平序列，若滿足：

則序列集a就是非周期四電平互補(bǔ)集。當(dāng)P=2時(shí)，則a就是非周期四電平互補(bǔ)對(duì)。

2　四電平互補(bǔ)序列的變換

在序列設(shè)計(jì)中，如果一個(gè)序列經(jīng)過一定的變換得到的新序列的相關(guān)函數(shù)和變換前序列的相關(guān)函數(shù)保持一致，那么這種變換就叫做序列的初等變換。

初等變換方法一：

經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，二進(jìn)制互補(bǔ)序列對(duì)的某些初等變換也同樣適用于四電平互補(bǔ)對(duì)。

令（S1，S2）是一對(duì)長(zhǎng)度均為N的四電平互補(bǔ)序列。通過如下的變換仍然是四電平互補(bǔ)序列。

（1）交換操作：（S1，S2）→（S2，S1）；

（2）倒序操作：（S1，S2）→（1，S2）；

（3）S1和S2奇數(shù)位置上的元素取負(fù)，偶數(shù)位置上的元素不變。

初等變換方法二：

設(shè)a=（a0，a1，…，aN-1）是長(zhǎng)度為N的四電平序列。經(jīng)過如下的變換得到的序列的非周期自相關(guān)函數(shù)函數(shù)和原來的保持一致，

其中，當(dāng)a=（a0，a1，…，aN-1）的元素僅取于｛±1｝時(shí)，c可取于｛-1，±2｝；當(dāng)a的元素僅取于｛±2｝時(shí)，c可取于｛-1，±1/2｝。

3　例子

設(shè)a=（1，1，-1，-2），b=（1，2，-1，2），進(jìn)過計(jì)算得到

Ca（τ）+Cb（τ）=（17，0，0，0）

Ra（τ）+Rb（τ）=（17，0，0，0）

其中0≤τ≤3。

將序列a中的元素倒置，變?yōu)樾蛄?a=（-2，-1，1，1），計(jì)算得到

將序列a和b中的奇數(shù)元素取負(fù)，偶數(shù)元素不變，得到新的序列a*=（-1，1，1，-2），b*=（-1，2，1，2）。計(jì)算得到：

Ca*（τ）+Cb*（τ）=（17，0，0，0）

Ra*（τ）+Rb*（τ）=（17，0，0，0）

設(shè)a=（1，-1，1，2，-2）是一個(gè)四電平序列，其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。將a的元素進(jìn)行倒置，得到序列=（-2，2，1，-1，1），其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。

經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，在2≤N≤9這一區(qū)間里，四電平非周期互補(bǔ)序列只存在于N=2，4，8中，周期互補(bǔ)序列的代表在表1中給出。

表1　周期四電平互補(bǔ)對(duì)的代表及其相關(guān)函數(shù)

4　結(jié)語

本文重點(diǎn)介紹了四電平互補(bǔ)序列，對(duì)其通過變換得到的新的序列的性質(zhì)進(jìn)行了討論并舉例證明，這些變換的方法對(duì)于構(gòu)造長(zhǎng)度更長(zhǎng)的四電平互補(bǔ)序列對(duì)以及構(gòu)造四電平互補(bǔ)序列集有著重要作用，最后給出了通過程序搜索的四電平周期互補(bǔ)序列對(duì)的代表。

［1］M.J.E.Golay.Complementary Series.IEEE Transactions on Information Theory，1961，7（2）：82～87

［2］M.Darnell，A.H.Kemp.Synthesis of Multilevel Complementary Sequences，Electronic Letters，1988，24，9：1251～1252

［3］S.Z.Budisin，New Multilevel Complementary Pairs of Sequences，Electronic Letters，1990，26，13：881～883

［4］L.Xudong，L.Hao，Synthesis of Four-Level Z-Complementary Sequences，2010 3rd International Congress on Image and Signal Processing（CISP），Yantai，China，2010，10：.4463～4466

［5］李玉博，許成謙，李剛，劉凱.四元零相關(guān)區(qū)周期互補(bǔ)序列集構(gòu)造法［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2013，09（35）：2180～2186

Sequence Design；Four-Level Sequence；Periodic Complementary；Aperiodic Complementary

Research on the Four-Level Complementary Sequence

ZHANG Jiao-rong，LI Zhong-yu
（School of Computer Software Engineering，Xihua University，Chengdu 610039）

1007-1423（2015）10-0003-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.10.001

張嬌蓉（1988-），女，四川巴中人，碩士研究生，研究方向?yàn)樾蛄性O(shè)計(jì)

2015-03-26

2015-04-01

以前對(duì)多電平的研究多集中在大字符集上，考慮到小字符集上的多電平序列的應(yīng)用價(jià)值，重點(diǎn)研究四電平互補(bǔ)序列，其所指的四電平序列是指序列元素的取值來自于字符集｛1，-1，2，-2｝。

序列設(shè)計(jì)；四電平序列；周期互補(bǔ)；非周期互補(bǔ)

李忠玉（1990-），男，四川成都人，碩士研究生，研究方向?yàn)榍度胧较到y(tǒng)

Previous research on multilevel more focuses on large character set.Considering the application of multilevel sequence based on the small character set is more useful，the research emphasis is four-level complementary sequences.And the elements of four-level sequence refers to the alphabet｛1，-1，2，-2｝.