基于三質(zhì)量塊模型的失速型風(fēng)機(jī)小信號(hào)建模和模態(tài)分析

婁宇成，解 大，馮俊淇，王西田，楊敏霞

（1.上海交通大學(xué) 電氣工程系，上海 200240；2.華東電力設(shè)計(jì)院，上海 200331）

0 引言

截至2013年底，全球風(fēng)電機(jī)組累計(jì)裝機(jī)容量超過318 GW，預(yù)計(jì)到2050年，風(fēng)電有望占全球電力供應(yīng)的25%～30%[1]。隨著大規(guī)模風(fēng)電場(chǎng)接入電網(wǎng)，風(fēng)電場(chǎng)與電網(wǎng)的相互作用不容忽視，由于風(fēng)能具有明顯的隨機(jī)性、波動(dòng)性、間歇性等特點(diǎn)，電網(wǎng)中發(fā)生低頻振蕩和風(fēng)電機(jī)組軸系扭振的風(fēng)險(xiǎn)也大幅增加[2]。其中，風(fēng)電機(jī)組機(jī)網(wǎng)扭振會(huì)造成風(fēng)機(jī)壽命損耗、甚至直接損壞[3-4]，是制約電力系統(tǒng)穩(wěn)定安全運(yùn)行的重要因素，深入研究風(fēng)電場(chǎng)扭振特性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

建立風(fēng)機(jī)與電網(wǎng)統(tǒng)一模型是風(fēng)電機(jī)組機(jī)網(wǎng)扭振作用研究的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[5]指出定速風(fēng)機(jī)軸系振蕩將會(huì)引起電網(wǎng)功率波動(dòng)和電壓閃變等，并強(qiáng)調(diào)軸系模型對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的重要影響。國(guó)內(nèi)外對(duì)于軸系模型建立也有大量研究。文獻(xiàn)[6]采用集中單質(zhì)量塊模型描述風(fēng)機(jī)機(jī)械傳動(dòng)部分，忽略了軸系剛度和阻尼系數(shù)，模型簡(jiǎn)單，但不適用于風(fēng)機(jī)軸系扭振的研究，一般典型的風(fēng)電機(jī)組軸系均采用兩質(zhì)量塊模型或三質(zhì)量塊模型[7-8]來分析風(fēng)力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定特性。對(duì)于風(fēng)機(jī)仿真研究，文獻(xiàn)[9-10]建立風(fēng)電機(jī)組的小信號(hào)模型，文獻(xiàn)[4，11]基于質(zhì)量塊模型在 PSCAD/EMTDC 中建立失速型風(fēng)電機(jī)組和定槳恒頻風(fēng)電機(jī)組的時(shí)域仿模型，而文獻(xiàn)[12-13]采用模態(tài)分析法研究風(fēng)電機(jī)組的軸系扭振問題。

為全面分析風(fēng)電場(chǎng)接入系統(tǒng)的扭振特性，本文軸系建模采用三質(zhì)量塊模型。由于齒輪箱分別與低速軸和高速軸相連，兩邊齒輪轉(zhuǎn)速不同，與文獻(xiàn)[8，14]三質(zhì)量塊模型不同，本文將齒輪箱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別折算到低速軸和高速軸，從而得到對(duì)應(yīng)的三質(zhì)量塊包括風(fēng)輪葉片、低速軸和高速軸。在軸系模型基礎(chǔ)上，本文進(jìn)而建立了失速型風(fēng)電機(jī)組機(jī)網(wǎng)統(tǒng)一模型，包括三質(zhì)量塊模型、感應(yīng)發(fā)電機(jī)模型、并聯(lián)補(bǔ)償電容模型和輸電線路模型，采用模態(tài)分析法，改變電氣參數(shù)，研究失速型風(fēng)電機(jī)組機(jī)網(wǎng)扭振模態(tài)的變化特性，并將該方法推廣到風(fēng)電場(chǎng)的扭振傳遞研究中。

1 并網(wǎng)風(fēng)電機(jī)組數(shù)學(xué)模型

建立失速型風(fēng)電機(jī)組單機(jī)對(duì)無窮大系統(tǒng)的拓?fù)淙鐖D1所示。風(fēng)機(jī)通過輸電線路連接電壓和頻率恒定的無窮大母線，輸電線路包含變壓器和電纜。由于失速型風(fēng)機(jī)沒有勵(lì)磁回路，需從電網(wǎng)吸收無功，因此并聯(lián)補(bǔ)償電容對(duì)于提高電網(wǎng)功率因數(shù)必不可少。如圖1所示，失速型風(fēng)電機(jī)組單機(jī)對(duì)無窮大母線系統(tǒng)包括4個(gè)模塊：三質(zhì)量塊模型、感應(yīng)發(fā)電機(jī)模型、并補(bǔ)電容模型和輸電線路模型。

圖1 失速型風(fēng)電機(jī)組單機(jī)對(duì)無窮大母線系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of infinite bus system with single stall wind turbine

1.1 三質(zhì)量塊模型

對(duì)于失速型風(fēng)力機(jī)，風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)由五部分組成：葉片、低速傳動(dòng)軸、齒輪箱、高速傳動(dòng)軸和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子。文獻(xiàn)[7，15]提出可采用若干個(gè)等效質(zhì)量塊來描述機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的軸系參數(shù)，且隨著自由度和質(zhì)量塊數(shù)目的增加，旋轉(zhuǎn)軸系參數(shù)的精度也越高。文獻(xiàn)[16]指出不同精度的質(zhì)量塊模型適用于不同的應(yīng)用場(chǎng)合，其中兩質(zhì)量塊模型可用于電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析。

圖2為失速型風(fēng)機(jī)等效軸系三質(zhì)量塊模型。與一般模型等效不同，本文考慮到齒輪箱的兩邊轉(zhuǎn)速不同，將其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別折算到低速傳動(dòng)軸和高速傳動(dòng)軸。另外，將高速傳動(dòng)軸和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子等效為一個(gè)質(zhì)量塊，從而得到三質(zhì)量塊模型包括風(fēng)輪葉片、低速傳動(dòng)軸和高速傳動(dòng)軸三部分。

圖2 失速型風(fēng)機(jī)軸系模型Fig.2 Drive shaft model of stall wind turbine

圖2所示模型中，Tw為風(fēng)力轉(zhuǎn)矩，Te為發(fā)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩，M、D、K分別為質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)，n為齒輪箱變比。多質(zhì)量塊等效模型的動(dòng)力學(xué)方程如式（1）所示：

其中，下標(biāo) 1、2、3 分別表示質(zhì)量塊 1、2、3 標(biāo)號(hào)；θ和ω分別為質(zhì)量塊的機(jī)械旋轉(zhuǎn)角和機(jī)械旋轉(zhuǎn)角速度。

根據(jù)式（1）可建立標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間方程：

其中，下標(biāo)M表示三質(zhì)量塊模型。

1.2 感應(yīng)發(fā)電機(jī)

異步電機(jī)采用兩相同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型[17]，列寫標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間如式（3）所示：

其中，下標(biāo)G表示感應(yīng)電機(jī)模型；Xeq=XsXr+（Xs+Xr）×Xm，Xss=Xs+Xm，Xrr=Xr+Xm，Xs、Xr、Xm分別為定子、轉(zhuǎn)子和勵(lì)磁繞組電抗；Δuds、Δuqs、Δudr、Δuqr分別為定子、轉(zhuǎn)子電壓 d 軸、q 軸分量的微增量；Δids、Δiqs、Δidr、Δiqr分別為定子、轉(zhuǎn)子電流d軸、q軸分量的微增量；Δψds、Δψqs、Δψdr、Δψqr分別為定子、轉(zhuǎn)子磁鏈 d 軸、q 軸分量的微增量；Rs、Rr分別為定子、轉(zhuǎn)子內(nèi)阻；ωb為系統(tǒng)基準(zhǔn)角速度；ωs為同步角速度；s為轉(zhuǎn)差率；Te為感應(yīng)發(fā)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；下標(biāo)“0”的變量表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)的參數(shù)值。

1.3 并補(bǔ)電容

建立并補(bǔ)電容標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間方程如式（4）所示：

其中，下標(biāo)C表示并補(bǔ)電容；ΔuCx、ΔuCy分別為電容兩端電壓 x、y軸分量的微增量；ΔiCx、ΔiCy分別為流過電容的電流x、y軸分量的微增量；xC為電容阻抗值。

1.4 輸電線路

由于變壓器、無窮大母線均可等效為RL模型，輸電線路模型可同時(shí)包括變壓器、無窮大母線等RL模型，考慮超高壓輸電線路一般含有串補(bǔ)電容，因此需要等效為RLC模型。

建立標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間方程如式（5）所示：

其中，下標(biāo)RLC表示含串補(bǔ)輸電線路；ΔuLCx、ΔuLCy分別為串補(bǔ)電容兩端電壓x、y軸分量的微增量；ΔuLx、ΔuLy分別為線路兩端電壓x、y軸分量的微增量；ΔiLx、ΔiLy分別為流過線路的電流 x、y軸分量的微增量；r為線路電阻值；xl為線路電抗值。

2 失速型風(fēng)電機(jī)組小干擾穩(wěn)定分析

2.1 單機(jī)對(duì)無窮大系統(tǒng)小信號(hào)模型

根據(jù)式（2）—（5）數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到三質(zhì)量塊、感應(yīng)發(fā)電機(jī)、并補(bǔ)電容、輸電線路各模塊間輸入輸出參數(shù)關(guān)系，建立統(tǒng)一機(jī)網(wǎng)模型狀態(tài)空間方程如式（6）所示：

其中，X=[XMXGXCXRLC]T。

通過模型等效接口轉(zhuǎn)換，在MATLAB/Simulink中搭建失速型風(fēng)電機(jī)組單機(jī)對(duì)無窮大系統(tǒng)機(jī)網(wǎng)統(tǒng)一模型如圖3所示。

圖3 風(fēng)機(jī)小信號(hào)模型Fig.3 Small-signal model of wind turbine

2.2 模態(tài)分析

為研究風(fēng)電場(chǎng)軸系扭振特性，本文在MATLAB/Simulink中建立2 MW失速型風(fēng)電機(jī)組單機(jī)對(duì)無窮大母線系統(tǒng)模型，機(jī)端電壓690 V，經(jīng)0.69 kV/10 kV變壓器升壓至10 kV連接至無窮大電源。模型參數(shù)見表1、表2，表2中電阻、電抗均為標(biāo)幺值。

表1 三質(zhì)量塊模型參數(shù)Table 1 Parameters of three-mass shaft model

表2 感應(yīng)電機(jī)和輸電線路參數(shù)Table 2 Parameters of induction machine and transmission line

編程計(jì)算式（6）系統(tǒng)狀態(tài)矩陣特征值，表征系統(tǒng)振蕩模態(tài)，如表3所示，其中特征值虛部表征模態(tài)振蕩頻率，特征值實(shí)部表征系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定特性。從表3可知，系統(tǒng)有7個(gè)振動(dòng)模態(tài)，特征值實(shí)部均為負(fù)，系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定。

表3 系統(tǒng)特征根分析Table 3 Analysis of system eigenvalues

各振蕩模態(tài)的相關(guān)因子分析見表4，其中粗體數(shù)據(jù)表示相應(yīng)的狀態(tài)變量在該振蕩模態(tài)中起主導(dǎo)作用。

由表3和表4可知，振蕩模態(tài)1、2的振蕩頻率分別為214.556 Hz和114.612 Hz，其中定子磁鏈和機(jī)端并補(bǔ)電容對(duì)其起主導(dǎo)作用，說明該振蕩模態(tài)主要由感應(yīng)電機(jī)定子電抗以及機(jī)端并補(bǔ)電容的電氣諧振引起。振蕩模態(tài)3、4的振蕩頻率分別為80.975 Hz和19.005 Hz，其中輸電線路電感電流和串補(bǔ)電容兩端電壓對(duì)其起主導(dǎo)作用，表明該振蕩模態(tài)是由輸電線路電感和串補(bǔ)電容的電氣諧振引起。

表4 各振蕩模態(tài)相關(guān)因子Table 4 Participation factors for different oscillation modes

振蕩模態(tài)5的頻率為12.425 Hz，其中低速軸轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速對(duì)其起主導(dǎo)作用，此外，感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速也對(duì)其有一定影響，可見，該振蕩模態(tài)是風(fēng)電機(jī)組軸系的固有振蕩頻率。振蕩模態(tài)6的頻率為1.721Hz，其中感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速對(duì)其起主導(dǎo)作用，此外，感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子磁鏈也起到一定作用，因此，該模態(tài)也是風(fēng)電機(jī)組軸系的固有振蕩頻率。由于質(zhì)量塊模型的固有頻率個(gè)數(shù)等于質(zhì)量塊數(shù)減去 1[8，18]，所以振蕩模態(tài)5和6為軸系模型的2個(gè)固有振蕩頻率，且屬于軸系扭振模態(tài)。

振蕩模態(tài)7的頻率為0.495 Hz，其中風(fēng)電機(jī)組葉片的轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速、感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速、感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子磁鏈均對(duì)該振蕩模態(tài)起主導(dǎo)作用，即該模態(tài)不僅與風(fēng)電機(jī)組機(jī)械參數(shù)有著強(qiáng)相關(guān)性，還與感應(yīng)電機(jī)的電氣參數(shù)有著強(qiáng)相關(guān)性，因此，該振蕩模態(tài)為機(jī)電模態(tài)。

2.3 輸電線路串補(bǔ)對(duì)系統(tǒng)阻尼的影響

定義輸電線路串補(bǔ)率為：

其中，XsC為串補(bǔ)電容等效電抗；XL為輸電線路等效電抗。

保持其他參數(shù)不變，改變系統(tǒng)串補(bǔ)率（0.05～1），軸系扭振模態(tài)5、6的振蕩頻率和阻尼比變化如圖4所示（圖中數(shù)據(jù)表示串補(bǔ)率取值）。

如圖4（a）所示，對(duì)于扭振模態(tài)5，當(dāng)串補(bǔ)率小于0.65時(shí)，隨著輸電線路串補(bǔ)率的逐漸增大，扭振頻率和阻尼比基本不變，正是由于該模態(tài)由低速軸主導(dǎo)，電氣系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)其影響較小；當(dāng)串補(bǔ)率大于0.65時(shí)，隨著串補(bǔ)率的增大，扭振頻率開始減小，阻尼比逐漸增大，正是由于感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子也對(duì)該模態(tài)有一定影響，因此也會(huì)受到感應(yīng)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和電氣參數(shù)的影響；扭振模態(tài)阻尼比始終為正，小干擾穩(wěn)定。

圖4 扭振模態(tài)振蕩頻率和阻尼比隨串補(bǔ)率變化情況Fig.4 Oscillation frequency and damping ratio for different series compensation degrees of torsional vibration mode 5 and 6

如圖4（b）所示，對(duì)于扭振模態(tài)6，隨著輸電線路串補(bǔ)率逐漸增大，扭振頻率逐漸增大，當(dāng)串補(bǔ)率為0.85時(shí)，頻率達(dá)最大，隨后逐漸減小；阻尼比一直減小，當(dāng)串補(bǔ)率大于0.85時(shí)，扭振模態(tài)阻尼比始終為負(fù)，小干擾不穩(wěn)定。這是由于該模態(tài)主要由感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子主導(dǎo)，受感應(yīng)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和電氣參數(shù)影響較大。

2.4 并補(bǔ)對(duì)系統(tǒng)阻尼的影響

定義1/XpC為系統(tǒng)并補(bǔ)率，其中XpC為并補(bǔ)電容標(biāo)幺值，保持其他參數(shù)不變，改變系統(tǒng)并補(bǔ)率（0.05～1），軸系扭振模態(tài)5、6的振蕩頻率和阻尼比變化如圖5所示（圖中數(shù)據(jù)表示并補(bǔ)率取值）。壓器連接至10 kV架空線，最后匯聚到公共連接點(diǎn)。風(fēng)電場(chǎng)內(nèi)部電網(wǎng)參數(shù)由風(fēng)電機(jī)組的電纜阻抗決定，可以根據(jù)風(fēng)機(jī)之間的距離設(shè)定。

圖5 扭振模態(tài)振蕩頻率和阻尼比隨并補(bǔ)率變化情況Fig.5 Oscillation frequency and damping ratio for different parallel compensation degrees of torsional vibration mode 5 and 6

依據(jù)該風(fēng)電場(chǎng)電氣主接線方式及電氣參數(shù)，對(duì)風(fēng)電機(jī)組單機(jī)對(duì)無窮大系統(tǒng)小信號(hào)模型進(jìn)行修改，建立圖6所示 WT11、WT21、WT12和 WT22的四機(jī)的風(fēng)電機(jī)組并網(wǎng)模型。

修改如下。

a.由于串補(bǔ)電容一般用于超高壓輸電線路，以提高線路輸送容量、改善系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性，因此對(duì)于單機(jī)對(duì)無窮大系統(tǒng)小信號(hào)模型，輸電線路使用RLC模型；對(duì)于風(fēng)電場(chǎng)的多機(jī)小信號(hào)模型，0.69 kV/10kV輸電線路采用RL模型，如式（6）所示，220 kV架空線采用RLC模型，如式（7）所示。

b.由于電纜具有很大的對(duì)地電容，因此10 kV電纜采用Γ電路模型，增加對(duì)地電容電壓為一個(gè)狀態(tài)變量 XΓC。

四機(jī)系統(tǒng)模型的狀態(tài)方程如式（8）所示：

如圖5（a）所示，對(duì)于扭振模態(tài)5，由于該模態(tài)由低速軸主導(dǎo)，電氣參數(shù)的變化對(duì)其影響較小，因此當(dāng)并補(bǔ)率發(fā)生變化時(shí)，扭振頻率和阻尼比基本保持不變。

如圖5（b）所示，對(duì)于扭振模態(tài)6，由于該模態(tài)由感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子主導(dǎo)，因此隨著機(jī)端并補(bǔ)率的逐漸增大，扭振頻率逐漸減小，阻尼比逐漸增大且始終為正，系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定。

3 多機(jī)系統(tǒng)小信號(hào)模型

實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)一般由幾十臺(tái)風(fēng)電機(jī)組組成，由于相鄰4臺(tái)風(fēng)電機(jī)組在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上能夠一定程度地反映機(jī)組間的電氣連接，具有一定的代表性，本文選取了實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)中4臺(tái)風(fēng)電機(jī)組，其電氣接線方式如圖6所示，圖中每2臺(tái)風(fēng)電機(jī)組并聯(lián)連接，并通過變

其中，Xji=[XMjiXGjiXCjiXRLji]T為風(fēng)電機(jī)組 WTji的狀態(tài)變量，且狀態(tài)矩陣為上三角為0的分塊稀疏矩陣，利于對(duì)多機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行等值；為兩機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；ARLC為兩機(jī)系統(tǒng)出口輸電線路的狀態(tài)矩陣；Cwti-rlc4×32為兩機(jī)系統(tǒng)與輸電線路間的接口關(guān)系矩陣；AWT1i、AWT2i分別為兩機(jī)系統(tǒng)中風(fēng)機(jī)1和風(fēng)機(jī)2的狀態(tài)矩陣；AΓC為并聯(lián)電容的狀態(tài)矩陣；A′RLC為單臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)出口處的輸電線路狀態(tài)矩陣；Cwt1i-c2×14為單臺(tái)風(fēng)機(jī)與并聯(lián)電容的接口關(guān)系矩陣；Cc-rlc2×2為并聯(lián)電容與輸電線路的接口關(guān)系矩陣。

圖6 實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)電氣主接線圖Fig.6 Main electrical wiring diagram of an actual wind farm

對(duì)模型狀態(tài)方程進(jìn)行模態(tài)分析，得到四機(jī)系統(tǒng)的機(jī)械軸系扭振頻率如表5所示。

表5 系統(tǒng)軸系扭振頻率Table 5 Torsional vibration frequency of shaft system for different modes

由各振蕩模態(tài)相關(guān)因子知，振蕩模態(tài)1的頻率為0.03955 Hz，由風(fēng)電機(jī)組低速軸主導(dǎo)，感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子也起一定作用；振蕩模態(tài)2的頻率為0.00562 Hz，由感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子主導(dǎo)。

4 結(jié)論

本文建立了基于三質(zhì)量塊的失速型風(fēng)電機(jī)組單機(jī)對(duì)無窮大系統(tǒng)的小信號(hào)穩(wěn)定模型，對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，并研究不同的電氣參數(shù)對(duì)系統(tǒng)阻尼的影響，得到以下結(jié)論：

a.風(fēng)電機(jī)組軸系會(huì)受到感應(yīng)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和電網(wǎng)電氣參數(shù)的影響而發(fā)生諧振甚至機(jī)械故障，且軸系扭振的薄弱環(huán)節(jié)在低速軸；

b.系統(tǒng)的串補(bǔ)率和并補(bǔ)率對(duì)系統(tǒng)的阻尼特性有一定影響，本文提出的小信號(hào)模型有助于設(shè)計(jì)合理的電氣參數(shù)或者阻尼器，增加系統(tǒng)在扭振頻率上的小干擾穩(wěn)定性；

本文提出的小信號(hào)模型為模塊化設(shè)計(jì)，有助于進(jìn)行擴(kuò)展和修改，并且在進(jìn)行簡(jiǎn)單修改后可得到風(fēng)電機(jī)組多機(jī)系統(tǒng)的小信號(hào)模型，為以后研究大型風(fēng)電場(chǎng)的機(jī)網(wǎng)軸系扭振奠定基礎(chǔ)。