這道習(xí)題，學(xué)生為啥不肯一一列舉？

毛蓉 嚴(yán)育洪

【“望”：病例觀察】

這節(jié)課是蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”——

出示例題（如下圖）。

教師先讓學(xué)生隨意列舉，在巡視中，選擇展示有遺漏的學(xué)生作品，引導(dǎo)學(xué)生有序列舉。然后，教師讓學(xué)生在下發(fā)的一張5格空表中一一列舉。反饋時(shí)，教師選擇從長(zhǎng)為10米開始列舉的學(xué)生進(jìn)行展示（如下表1），而筆者看到，許多學(xué)生是從長(zhǎng)為1米開始列舉的（如下表2）。

表1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 表2

新授結(jié)束，教學(xué)進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)，當(dāng)屏幕上出示教材安排的這樣一道習(xí)題時(shí)（如下圖）。

不知道是因?yàn)槭韬鲞€是執(zhí)教教師認(rèn)為不重要，竟然漏打了習(xí)題后面括號(hào)里的要求——先填表，再回答。

在學(xué)生埋頭列舉中，教師發(fā)現(xiàn)平時(shí)表現(xiàn)不錯(cuò)的一位女生卻不動(dòng)筆，呆坐著，教師關(guān)切地詢問(wèn)原委：“你怎么了？是不是身體不舒服？”誰(shuí)知這位女生委屈地站起來(lái)說(shuō)：“這道題，不是以前學(xué)過(guò)的一一搭配么？只需要3×4=12就可以很快地算出來(lái)了！”同學(xué)們一陣騷動(dòng)，教師愕然，呆了一會(huì)，猛然發(fā)現(xiàn)自己少打了習(xí)題要求，急忙補(bǔ)上后說(shuō)：“注意：教材要求一一列舉！”這位女生噘著嘴怏怏坐下……

【“問(wèn)”：病歷記錄】

課后，筆者找來(lái)三個(gè)學(xué)生作為代表進(jìn)行了交流。

首先問(wèn)從1開始列舉的學(xué)生：“你是怎么想到從1開始列舉的？”

他答道：“探索問(wèn)題的時(shí)候，不是從最小的開始研究么？”

接著問(wèn)從10開始列舉的學(xué)生：“你是怎么想到直接從10開始列舉的？”

他撓著頭不好意思地說(shuō)道：“書上看到的?！?/p>

最后問(wèn)那個(gè)用乘法計(jì)算的女生：“你為什么選擇用乘法計(jì)算呢？”

她振振有詞：“這道題要求‘一共有多少種不同的搭配’，用一一列舉反而麻煩?。　?/p>

……

問(wèn)完學(xué)生，筆者轉(zhuǎn)而問(wèn)上課教師兩個(gè)問(wèn)題：

一是“對(duì)學(xué)生作品，你為什么選擇性展示？”

上課教師理由充足：“從10開始列舉，這是教材寫著的。何況‘長(zhǎng)=1，寬=10’，這種說(shuō)法多別扭?。∷越滩纳弦獜拈L(zhǎng)到短來(lái)列舉?！?/p>

二是“對(duì)學(xué)生意見，你為什么消極性處理？”

上課教師有些心虛：“用一一列舉的策略解決問(wèn)題，這是教材要求的。只不過(guò)我忘了打上題目要求了?！?/p>

……

【“切”：病理診治】

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生經(jīng)歷用一一列舉策略解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，能通過(guò)有序列舉找到符合要求的答案，感受到一一列舉的特點(diǎn)和價(jià)值，進(jìn)一步發(fā)展思維的條理性和嚴(yán)密性，培養(yǎng)列舉能力，發(fā)展列舉技巧。

在備課時(shí)，我們需要注意的是，這一教學(xué)內(nèi)容被安排在五年級(jí)的教材中，所以在教學(xué)方式的選擇上，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生“已有了什么”。對(duì)照上述教學(xué)片段，不難發(fā)現(xiàn)教師的“要”與學(xué)生的“有”之間至少存在著以下三大問(wèn)題。

問(wèn)題一：在教學(xué)例題時(shí)，教師大多循著條件到問(wèn)題的路線開始一一“列舉”出各個(gè)知識(shí)點(diǎn)、思維點(diǎn)以及注意點(diǎn)：首先由條件“1米長(zhǎng)的柵欄”，讓學(xué)生注意所取數(shù)據(jù)應(yīng)為整數(shù)，然后由條件“22根1米長(zhǎng)的柵欄”，讓學(xué)生想到圍成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為22米，最后由問(wèn)題“面積最大”，讓學(xué)生知道最后比的是面積，并知道面積在發(fā)生著變化。

根據(jù)五年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，在指導(dǎo)解決問(wèn)題的策略時(shí)，教師的教學(xué)要求應(yīng)更多地側(cè)重“執(zhí)果索因”的分析法。也就是對(duì)本節(jié)課的例題，可以讓學(xué)生從條件想起，但更應(yīng)看重從問(wèn)題想起，由“面積”讓學(xué)生想到?jīng)Q定長(zhǎng)方形面積的兩個(gè)要素“長(zhǎng)”和“寬”，從而在周長(zhǎng)不變的情況下，一一列舉出長(zhǎng)和寬的相應(yīng)變化來(lái)求出面積的變化。

問(wèn)題二：在教學(xué)例題時(shí)，許多教師會(huì)像課例那樣，先讓學(xué)生隨意列舉，然后尋找一些無(wú)序列舉的學(xué)生作品進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生有序列舉。其實(shí)，有序思想在學(xué)生之前的學(xué)習(xí)活動(dòng)中（例如從低年級(jí)的“認(rèn)數(shù)”到剛學(xué)不久的“因數(shù)和倍數(shù)”）無(wú)時(shí)無(wú)處不在，并非是“新知識(shí)”。眾多知識(shí)都或隱或現(xiàn)地反映著有序思想，可以說(shuō)，有序性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特征之一，也是數(shù)學(xué)研究的方法之一。所以，本課教學(xué)時(shí)，筆者認(rèn)為，教師不妨基于學(xué)生的“已有”直接指明方向：“當(dāng)列舉比較多的圍法時(shí)，我們?cè)鯓涌梢宰龅讲恢貜?fù)、不遺漏？”引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)調(diào)用經(jīng)驗(yàn)，直接進(jìn)行有序列舉。筆者認(rèn)為，給方向比給方法重要，因?yàn)橛辛朔较?，就有了方法?/p>

如此，學(xué)生的學(xué)習(xí)也就不會(huì)被教師牽著走，也就不會(huì)出現(xiàn)本課教學(xué)中教師對(duì)學(xué)生的“強(qiáng)求”——必須像教材上那樣從10開始列舉，而會(huì)尊重學(xué)生的原始思維，從最小開始一一列舉，例如假設(shè)長(zhǎng)為1米，通過(guò)（22-1×2）÷2求出寬為10米……至于教師擔(dān)心的——“‘長(zhǎng)=1，寬=10’這種說(shuō)法多別扭啊！”，其實(shí)無(wú)需擔(dān)心，因?yàn)椤伴L(zhǎng)”與“寬”是相對(duì)而言的，“長(zhǎng)”未必要長(zhǎng)。如果學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑，教師可以就此解釋，當(dāng)然也可以以長(zhǎng)邊為“長(zhǎng)”，此時(shí)只需把“長(zhǎng)”改成“寬”即可，由此可見，這并不是“教材上從長(zhǎng)到短來(lái)列舉”的根本原因。

在發(fā)給學(xué)生用于一一列舉的表格中，教師不妨改變教材所示樣式，增設(shè)“周長(zhǎng)”一欄（如下表）來(lái)記錄學(xué)生的思考過(guò)程和思考結(jié)果，這樣更有助于學(xué)生從“不變”中去列舉出“變”。在反饋時(shí)，教師再引導(dǎo)學(xué)生采用另一種思路22÷2=11，然后通過(guò)11的分成來(lái)一一列舉，這樣就可以轉(zhuǎn)接到教材從10開始列舉這一思路。

學(xué)生順著原始思維，從小到大列舉到5的時(shí)候，自己會(huì)發(fā)現(xiàn)接下去就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)，從而自動(dòng)停止列舉。由此觀察上述課例，教師也并沒(méi)有給學(xué)生解釋為什么只列舉到6的原因。另外，教師發(fā)給學(xué)生正好有5格的表格讓學(xué)生填空的做法，明顯有著暗示性和包辦性（教師并沒(méi)有站在學(xué)生立場(chǎng)，學(xué)生列舉前怎么就知道只有5種情況呢？）。正確的做法是：表格的格數(shù)不應(yīng)該恰到好處，要么多幾格，要么少幾格，或者干脆沒(méi)有格子，讓學(xué)生有一種情況畫一個(gè)格子。

問(wèn)題三：也就是本文標(biāo)題所反映的問(wèn)題——“這道習(xí)題，學(xué)生為啥不肯一一列舉？”從教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)可以看出，上課教師在備課時(shí)根本沒(méi)有想到這樣的題目學(xué)生以前在學(xué)習(xí)“搭配規(guī)律”時(shí)已經(jīng)有過(guò)。有些學(xué)生觸景生情，會(huì)勾起對(duì)往事的回憶，從而發(fā)現(xiàn)用原有方法“3×4=12（種）”解決問(wèn)題更容易。

教材上在這道習(xí)題問(wèn)題之后的括號(hào)中注明了要求——“先填表，再回答”，由此可以看出教材意圖是讓學(xué)生“拿著新船票登上舊客船”，用新學(xué)知識(shí)解決老問(wèn)題，體會(huì)之前學(xué)的“一一搭配”與今天學(xué)的“一一列舉”方法之間的聯(lián)系。然而，遺憾的是，教師不懂編者的心，在出示這道習(xí)題時(shí)一不小心漏掉了括號(hào)中并非可有可無(wú)的附帶要求，結(jié)果就出現(xiàn)了課中那位女生的“不配合”和“不買賬”。出現(xiàn)這種狀況，不能怪學(xué)生不懂教師的心，課例中教師強(qiáng)行把學(xué)生拉回教材的處理方式，恰恰暴露出教師不懂學(xué)生的心。如果教師具有策略意識(shí)和戰(zhàn)略眼光，就會(huì)趁機(jī)借題發(fā)揮，抓住學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)反應(yīng)，肯定學(xué)生的想法，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，明白“用一種特定的策略解決問(wèn)題，并非總是最優(yōu)的”這樣一種辯證思想，從而提升教學(xué)境界，為全課添上精彩一筆。

然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，這節(jié)課，教師大多只想到策略的優(yōu)越性，而想不到策略的局限性。如果想到了，也抱著“多一事不如少一事”的心理，不愿意去捅破，這樣只會(huì)造成學(xué)生認(rèn)識(shí)的不全面甚至不正確。有意思的是，課例中教師的疏忽，卻換來(lái)了這樣的契機(jī)，可惜沒(méi)有能夠“因禍得?！?，造福于學(xué)生，讓這一生成資源沒(méi)了意思。

如果沒(méi)有教師的疏忽，也沒(méi)有學(xué)生的質(zhì)疑，對(duì)這道習(xí)題，教師可以有兩種處理方式：一是完整出示習(xí)題要求，讓學(xué)生必須使用新方法數(shù)出種數(shù)，然后再比較和溝通新（一一列舉）舊（一一搭配）方法之間的聯(lián)系，從而明白也可以用舊方法直接算出種數(shù);二是把習(xí)題原來(lái)的問(wèn)題“一共有多少種不同的搭配？”改成“有哪幾種不同的搭配？”，迫使學(xué)生只能運(yùn)用新方法解決問(wèn)題，把結(jié)果一一列舉出來(lái)。

好的教學(xué)應(yīng)該能夠瞻前顧后。我們除了可以利用教材這一道習(xí)題“向前（已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)）看”，讓學(xué)生看到用一一列舉策略解決問(wèn)題可能存在的局限性，我們還可以利用教材另一道習(xí)題（如下圖）“向后（還沒(méi)學(xué)過(guò)的知識(shí)）看”，在學(xué)生用一一列舉策略解決問(wèn)題之后，順便把題目中的天數(shù)加大，讓學(xué)生體會(huì)到一一列舉的麻煩，在此教師可適時(shí)告訴學(xué)生：“以后學(xué)了最小公倍數(shù)知識(shí)，不用一一列舉，就可以輕松算出結(jié)果?！?如此，學(xué)生的認(rèn)識(shí)才會(huì)不斷“進(jìn)步”，并最終明白：隨著知識(shí)的不斷“進(jìn)步”，解決問(wèn)題的方法也會(huì)不斷“進(jìn)步”。并逐步形成這樣的策略意識(shí)和策略判斷：首先考慮“能不能”（用一一列舉策略解決問(wèn)題），然后考慮“要不要”（用一一列舉策略解決問(wèn)題）。

任何一個(gè)人在面對(duì)像例題那樣“變化著”的問(wèn)題時(shí)，在沒(méi)有找到新辦法或獲得好辦法之前，首先想到的就是一一列舉這種“笨辦法”。但我們并不能因此而否定一一列舉作為解決問(wèn)題策略的作用，因?yàn)樵谔囟ㄇ榫持校缭诿鎸?duì)教材的又一道習(xí)題（如下圖）時(shí)，這種“笨辦法”可能是解決問(wèn)題的好辦法。

總之，不管有沒(méi)有像課例中那樣的生成，我們都應(yīng)該通過(guò)本節(jié)課讓學(xué)生形成這樣的認(rèn)識(shí)：策略是活的。而要達(dá)到這一教學(xué)境界，教師就必須把策略教活。

（江蘇省無(wú)錫市碩放實(shí)驗(yàn)小學(xué) ? 214142

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 ? 214101）