淺析高等代數(shù)多項式理論的教學(xué)

張孝金　楊興東　昝立博

摘 要： 高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門基礎(chǔ)課，它在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著至關(guān)重要的作用.但其中的多項式理論因極強(qiáng)的抽象性令眾多同學(xué)非?？鄲?本文從整數(shù)環(huán)的角度解釋高等代數(shù)中的多項式理論，通過對比學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠更好地掌握多項式理論.

關(guān)鍵詞： 多項式 整數(shù)環(huán) 整環(huán) 素數(shù) 不可約多項式

一、引言

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，它強(qiáng)調(diào)邏輯的嚴(yán)密性和計算的準(zhǔn)確性.正因為如此，它在代數(shù)學(xué)、數(shù)值計算、最優(yōu)化等學(xué)科中有著重要的應(yīng)用.相對于計算的準(zhǔn)確性，邏輯的嚴(yán)密性讓剛走進(jìn)大學(xué)校門的新生倍感吃力.造成這一現(xiàn)象的最初原因就是多項式理論太抽象了.學(xué)生不知道這些理論從哪里來？為何會有如此多的定理？

注意到高等代數(shù)的教材中提到了多項式環(huán)的概念，并沒有給出相應(yīng)的解釋，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定的困擾.本文將從環(huán)論的角度重新解釋多項式理論，使該理論更容易被更多學(xué)生接受.通過對比的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠更好地掌握多項式的互素，最大公因式，不可約多項式，以及因式分解定理.

本文共分為兩部分，在第一部分，我們將回顧環(huán)的定義整環(huán)的定義及整數(shù)環(huán)的基本性質(zhì).在第二部分，我們將對照第一部分給出的有關(guān)整數(shù)環(huán)的結(jié)果給出多項式環(huán)的相關(guān)結(jié)果.

二、整環(huán)與整數(shù)環(huán)

在本節(jié)中我們將首先回顧環(huán)和整環(huán)的定義，然后給出整數(shù)環(huán)的性質(zhì).為了解決教材中的多項式環(huán)留下的疑問，我們需要給出以下定義：

定義 2.1 設(shè)R為一個非空集合，記RXR={（r，s）|r，s 為R中的元素}，設(shè)a： RXR------> R的映射使得a（r，s）=rs，則R被稱為群如果a滿足

（1）結(jié)合律成立，即對于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（2）左單位元存在，即存在R中的元素e使得對任意的R中的元素r ， er=r.

（3）左逆元存在，即對于R中任何的元素r存在r使得rr=e.

注記：非零有理數(shù)關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群.形如a的映射可以看成集合上的一種運算.

定義2.2 設(shè)R，RXR，a同上且b：RXR------> R的映射使得b（r，s）=r+s. R 被稱為一個環(huán)如果 a，b滿足：

（1）R關(guān)于加法構(gòu)成一個ablian 群，也就是說R關(guān)于定義的′+′構(gòu)成一個交換群.

（2）R關(guān)于乘法滿足結(jié)合律，即對于R中任意的r，s，t有（rs）t=r（st）.

（3）分配率成立，（a+b）c=ac+bc； c（a+b）=ca+cb.

注記：整數(shù)集關(guān)于通常的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán).所有的一元多項式的集合關(guān)于多項式的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán).

為了說明我們的主要結(jié)果，給出整環(huán)的定義.

定義2.3 一個環(huán)R成為整環(huán)如果它滿足：

（1）它的乘法可交換.

（2）它含有一個幺元 I，即Ia=a 對任意的R中的元素a成立.

（3）任意R中的非零元素a，b，ab≠0.

注記： 特別地，如果一個交換有幺元環(huán)R中的非零元素關(guān)于它的乘法構(gòu)成一個群，則稱R為域.注意域必為整環(huán)，實數(shù)域，有理數(shù)域是域，都也是整環(huán).

為了給出本文的主要結(jié)果，下面我們回顧整數(shù)環(huán)作為整環(huán)具有的性質(zhì).

定理2.4 設(shè)R整數(shù)環(huán)，則R滿足：

（1）對于任意的R中的元素m，n≠0存在q，r∈R使得m=qn+r其中0≤r

（2）對于任意的R中的元素m，n ，它們的最大公因子（m，n）存在且（m，n）=lm+pn，其中l(wèi)， p 為R中的元素.

（3）對于任意素數(shù)p和任意的n， 都有p|n或者（p，n）=1.

三、一元多項式環(huán)的性質(zhì)

本節(jié)中我們將研究數(shù)域P上的一元多項式環(huán)的性質(zhì).注意到P上的所有的一元多項式關(guān)于多項式的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán)P[X].下面證明P[X]是一個整環(huán).

命題3.1 P[x]是一個整環(huán).

證明：由定義2.3，我們只需要證明P[x]中交換有幺元且非零元之積不為零.由多項式的乘法可知，幺元為零次多項式 1且f（x）g（x）=g（x）f（x）.再由多項式乘法的定義可知若f（x），g（x）不為零，則f（x）g（x）≠0.

注意到整數(shù)環(huán)是整環(huán)，自然地問題是整環(huán)是否有類似定理2.1的性質(zhì)呢？此部分近世代數(shù)將詳細(xì)講解.而多項式環(huán)也是特殊的整環(huán)，本文將考慮如下問題.

問題3.2 P[x]是否有類似定理2.4的性質(zhì)？

下面我們給出高等代數(shù)第一章的主要定理.但我們不給出定理的證明，只給出如何與定理2.1對比.

定理 3.3 設(shè)P為一數(shù)域，P[x]為其一元多項式環(huán).

對比說明：

（1）提示學(xué)生思考有沒有類似定理2.4（1）的結(jié)論.然后學(xué)生考慮如何改善定理2.4（1）中的余數(shù)比較大小的問題.這里要聲明多項式是沒法比較大小的，但是次數(shù)是可以的.

（2）這里要提示學(xué)生對比寫出類似的結(jié)論并用類似的方式證明.需要注意這里的最大公因式并不唯一，因此引進(jìn)了首1的最大公因式.

（3）結(jié)合素數(shù)的定義，由學(xué)生給出對應(yīng)的不可約多項式的概念，然后類似地證明相似的性質(zhì).

（4）有了（3）的引入，誘導(dǎo)學(xué)生自然地思考本命題的表達(dá)形式.并參考素數(shù)的證明給出證明.

四、結(jié)語

通過本文的論述，學(xué)生很容易知道這一章的所有結(jié)果不是憑空而來的，而是仿照整數(shù)環(huán)的理論類比而來的，同時學(xué)生也知道了環(huán)和域的概念.此外，關(guān)于整環(huán)上的問題3.2，給學(xué)生留下了懸念.

參考文獻(xiàn)：

[1]北大代數(shù)組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社， 2013，1-50.

[2]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978：1-85.

致謝：感謝國家自然科學(xué)基金青年基金（11101217）及江蘇省自然科學(xué)基金青年基金（BK20130983）的支持.