“走進(jìn)圖形世界”錯(cuò)題匯集與解析

陳妹

“走進(jìn)圖形世界”拉開了初中幾何學(xué)習(xí)的序幕，內(nèi)容較為基礎(chǔ)，但也是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.在解決本章節(jié)問題時(shí)，需要有良好的空間想象能力和相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，有的同學(xué)由于忽略限制條件，未能考慮到一切可能，甚至受思維定式的影響，會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤. 為幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，避免解題出錯(cuò)，現(xiàn)將常見的錯(cuò)誤類型分析如下：

例1 一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的表面積是（ ）.

A. 6π B. 5π C. 8π D. 4

【錯(cuò)誤解答】由已知，得2π×2+π×1×1=5π，故選B.

【錯(cuò)因剖析】根據(jù)題意，可判斷出該幾何體為圓柱. 且已知底面半徑以及高，易求表面積，但在求解過程中容易出現(xiàn)漏求表面積情況.

【正確解答】根據(jù)題目的描述，可以判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是個(gè)圓柱，且它的底面圓的半徑為1，高為2，那么它的表面積=2π×2+π×1×1×2=6π，故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題要判斷出幾何體的形狀，然后，再根據(jù)其面積公式進(jìn)行計(jì)算，注意本題中的圓柱有上下底，不要漏掉任何一個(gè).

例2 觀察下圖，把左邊的圖形繞著給定的直線旋轉(zhuǎn)一周后，可能形成的立體圖形是（ ）.

【錯(cuò)誤解答】B.

【錯(cuò)因剖析】根據(jù)“面動(dòng)成體”的原理，左邊的圖形繞著給定的直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是空心圓柱，而不是長(zhǎng)方體.

【正確答案】由圖形可以看出，左邊的長(zhǎng)方形豎直的兩條邊與已知直線平行，這兩條邊旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)柱形表面，因而旋轉(zhuǎn)一周后可能形成的立體圖形是一個(gè)管狀的物體，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查立體圖形的空間想象能力及分析問題和解決問題的能力.

例3 有一個(gè)正方體，將它的各個(gè)面上分別標(biāo)上字母a，b，c，d，e，f. 有甲，乙，丙三個(gè)同學(xué)站在不同的角度觀察，結(jié)果如圖. 問這個(gè)正方體各個(gè)面上的字母各是什么字母？即：a對(duì)面是_______；b對(duì)面是_______；c對(duì)面是_______.

【錯(cuò)誤解答】d；f；e.

【錯(cuò)因剖析】本題在解決問題時(shí)，沒有全面考慮，沒能抓住解決問題的關(guān)鍵，即確定相鄰面的字母.

【正確解答】正方體一共有6個(gè)面，任選一個(gè)面a，其他5個(gè)面當(dāng)中，有4個(gè)面與a相鄰，剩下的面與a相對(duì).根據(jù)這個(gè)原理，從前2個(gè)圖形看，和a相鄰的有f，d，b，c，那么和它相對(duì)的就是e，再按照相鄰和所給圖形得到其他即可. 根據(jù)三個(gè)圖形的數(shù)字，可推斷出a對(duì)面是e；b對(duì)面是d；c對(duì)面是f；d對(duì)面是b；e對(duì)面是a；f對(duì)面是c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生對(duì)正方體結(jié)構(gòu)的理解，同時(shí)考查了學(xué)生的空間想象能力和推理能力，也可動(dòng)手操作得到.根據(jù)相鄰面的情況確定出相鄰的四個(gè)字母是解決問題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn).

例4 由一些相同的小立方體搭成的幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小立方塊有_______個(gè).

【錯(cuò)誤解答】9個(gè).

【錯(cuò)因剖析】本題考查由三視圖判斷幾何體，在解題過程中沒有注意到前排較高層擋住低層的情況，因而出現(xiàn)漏解的情況.

【正確解答】在平面上用立方塊搭建組合圖形，必須從底層開始，因此，此類問題都是從俯視圖入手.根據(jù)主視圖可知，俯視圖的第一列有3層，第二列的最高層是2層，第三、四列都是1層. 根據(jù)左視圖可知，俯視圖第二行是2層，而第三行是1層，第一行與第二列交叉處可以是2層，也可以是1層，因而有兩種情況，故正確答案是有9個(gè)或10個(gè)小立方體.

【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)空間想象能力的考查. 俯視圖中有幾個(gè)正方形，底層就有幾個(gè)小立方體，要注意有可能出現(xiàn)多種情況.

例5 如圖，地面上有一個(gè)長(zhǎng)方體，一只蜘蛛在這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A處，一滴水珠在這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)C′處，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為6 m，寬為5 m，高為3 m，蜘蛛要沿著長(zhǎng)方體的表面從A處爬到C′處，則蜘蛛爬行的最短距離為（ ）.

A. m B. 8 m

C. 10 m D. 14 m

【錯(cuò)誤解答】A.

【錯(cuò)因剖析】本題主要考查長(zhǎng)方體側(cè)面展開圖，長(zhǎng)方體側(cè)面展開圖有三種，且都為長(zhǎng)方形，本題漏考慮了兩種展開圖的情況.

【正確解答】當(dāng)展成長(zhǎng)為6+5=11（m），寬為3 m的長(zhǎng)方形時(shí)，路徑的長(zhǎng)為：=（m）.

當(dāng)展成長(zhǎng)為6+3=9（m），寬為5 m的長(zhǎng)方形時(shí)，路徑的長(zhǎng)為：=（m）.

當(dāng)展成長(zhǎng)為5+3=8（m），寬為6 m的長(zhǎng)方形時(shí)，路徑的長(zhǎng)為：=10（m）.

故爬行的最短距離為10 m. 故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，本題比較典型，展開后得出三種情況，不要漏解，根據(jù)三種情況可求出解，找出最短路徑，建議同學(xué)們畫一下圖形看看.

【綜合點(diǎn)評(píng)】“走進(jìn)圖形世界”在歷年中考命題中多以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，題型較為基礎(chǔ)，涉及基本圖形（如圓柱、圓錐、長(zhǎng)方體、正方體、棱錐等）的展開圖和主視圖、左視圖和俯視圖的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)學(xué)生的空間想象能力有一定的要求.同學(xué)們要能夠通過展開與折疊，從三個(gè)方向觀察物體，從而進(jìn)行平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化，在考慮這些問題的時(shí)候一定要全面，并能靈活運(yùn)用解決實(shí)際問題.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）