雙棒在不同情景下的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

石端明

在電磁感應(yīng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)問題中，兩個(gè)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最終速度大小及關(guān)系問題是學(xué)生的難點(diǎn)，不同的情景帶來不同的狀態(tài)，但是解決此難點(diǎn)的方法很簡(jiǎn)單，那就是從分析受力入手，分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就會(huì)水到渠成。

例：如圖1所示，在水平面內(nèi)有平行的光滑導(dǎo)軌MN和PQ，不計(jì)電阻、它們間距為L(zhǎng)，在其上橫放著兩根金屬棒ab和cd，質(zhì)量分別為m■和m■，金屬棒單位長(zhǎng)度電阻為R，整個(gè)裝置處在豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中?，F(xiàn)在給金屬棒ab一個(gè)平行導(dǎo)軌向右的瞬時(shí)初速度V■而開始運(yùn)動(dòng)起來，求最終棒ab和cd的最終速度？

圖1

解析：ab棒開始切割磁感線運(yùn)動(dòng)、產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E■=BLV■，在兩棒和導(dǎo)軌組成的回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，cd棒在安培力作用下向右運(yùn)動(dòng)、切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E■=BLV■，等效電路如圖2所示，其中r=LR、電路中電流I=■。

圖2

ab棒在安培力F=BIL=B■L■（V■-V■）/（2Lr）作用下做減速運(yùn)動(dòng)、cd棒在安培力F作用下作加速運(yùn)動(dòng)，在速度相等時(shí)，加速度a均為0，所以最終兩金屬棒以共同速度V運(yùn)動(dòng)。

對(duì)兩棒，水平方向上動(dòng)量守恒有：

m■V■=（m■+m■）V，解得V=■

因此最終狀態(tài)為：以■勻速運(yùn)動(dòng)。

變式1：若例題中ab棒的初速度V■為0，而受到一個(gè)向右的水平恒力F作用，其他條件不變，如圖3所示，再求最終棒ab和cd的最終運(yùn)動(dòng)情況？

圖3

解析：有些學(xué)生不假思索、想當(dāng)然地認(rèn)為和例題一樣，最終以共同速度運(yùn)動(dòng)。其實(shí)要搞清楚兩棒的最終運(yùn)動(dòng)情況應(yīng)從每個(gè)棒受力情況入手。

在開始經(jīng)過一小段時(shí)間，設(shè)ab和cd的速度分別為V■、V■，回路中的電動(dòng)勢(shì)為E=BL（V■-V■）、電流為I=E/（2LR）、兩導(dǎo)體棒受到的安培力均為F■=BIL，即F1=B■L■（V■-V■）/（2LR），

應(yīng)用牛頓第二定律可知，

ab棒的加速度a■=（F-F■）/m■，

cd棒的加速度a■=F■/m■，

在開始階段，a■>a■，（V■-V■）增大、安培力F■增大，a■減小、a■增大，則ab棒做加速度a■越來越小的加速度運(yùn)動(dòng)、cd棒做加速度a■越來越大的加速度運(yùn)動(dòng)，一定會(huì)出現(xiàn)加速度相等的時(shí)刻，即a■=a■，此后（V■-V■）保持不變，他們以共同加速度運(yùn)動(dòng)而收尾，共同加速度a=F/（ m■+m■），以上各式聯(lián)立解得：V■-V■=■。

因此：它們的最終狀態(tài)是做加速度相同的勻加速運(yùn)動(dòng)，保持速度差為■不變。

變式2：在例題中，把導(dǎo)軌變成由兩部分m■N■、P■Q■和m■N■、P■Q■構(gòu)成，且M■N■∥P■Q■、導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)1，M■N■∥P■Q■、導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)■，導(dǎo)棒cd放置在M■N■和P■Q■上、且距離Q■N■較遠(yuǎn)，導(dǎo)棒ab放置在M■N■和P■Q■上，如圖4所示，現(xiàn)在給ab一個(gè)向右的初速度V■，判定最終兩棒的運(yùn)動(dòng)？

圖4

解析：ab以V■開始向右切割磁感線運(yùn)動(dòng)，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，cd受到向右的安培力開始向右加速運(yùn)動(dòng)、ab受到向左的安培力而減速運(yùn)動(dòng)，穿過閉合回路的磁通量增加，根據(jù)楞次定律阻礙磁通量增加可知，最終回路磁通量不變，兩棒都做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)此過程中通過回路橫截面的電荷量為q，設(shè)ab、cd的速度分別為V■、V■，根據(jù)最終穿過回路的磁通量不變，有

L■V■=L■V■ ①

對(duì)ab，從V■開始到V■，應(yīng)用動(dòng)量定理有：

-BL■q=m■V■-m■V■ ②

對(duì)cd，從0到V■，應(yīng)用動(dòng)量定理有：

BL■q=m■V■ ③

②/③再除以①可得V■=■，V■=■。

因此，ab、cd最終分別以V■=■，V■=■勻速運(yùn)動(dòng)。

總之，對(duì)于電磁感應(yīng)問題還是要從基本的方法分析起，從動(dòng)力學(xué)知識(shí)、電路等方面把握，問題就會(huì)迎刃而解。