錯例剖析走出誤區(qū)

劉德廣

“圖形的相似”內容涉及成比例線段、黃金分割、探索三角形相似的條件、相似三角形的性質、圖形的位似以及用相似三角形解決問題. 同學們在學習本章內容時，難免會出現這樣或那樣的問題. 本文舉例分析同學們在學習過程中常出現的錯誤，以期能夠從錯例中得到啟迪，走出誤區(qū).

一、 誤用比例的性質

例1 已知2x=3y（x≠0），求■的值.

【錯解】∵ 2x=3y（x≠0），

∴x∶y=2∶3.

設x=2k，則y=3k，

∴■=■=■.

【錯因】根據比例的性質“如果a∶b=c∶d，那么ad=bc”，可以將“2x=3y”轉化為“x∶y=3∶2”，進而應用參數分別表示x、y，再求得代數式的值. 由于有的同學誤用比例的性質，導致x∶y的求值出現錯誤.

【處方】解答這類問題時，需要我們熟練掌握比例的性質，靈活對條件中提供的“積式”轉化為“比式”，進而解決問題.

二、 沒有正確掌握相似圖形的性質

例2 已知，AB是⊙O的直徑，且C是圓上一點，小聰透過平舉的放大鏡從正上方看到水平桌面上的三角形圖案的∠B（如圖1所示），那么下列關于∠A與放大鏡中的∠B關系描述正確的是 （ ）.

A. ∠A+∠B=90°

B. ∠A=∠B

C. ∠A+∠B>90°

D. ∠A+∠B的值無法確定

【錯解】C.

【錯因】圖形放大或縮小后，形狀沒有發(fā)生變化，結合相似三角形的性質，可判定∠A+∠B=90°. 有的同學認為圖像放大后不僅僅是邊長發(fā)生變化，導致出現錯誤. 究其原因，是沒有正確理解圖形相似的概念和性質.

【正解】A.

【處方】解答這類問題時，先確定圖形變化前后之間的變換關系，再確定對應角之間的大小關系.

三、 不能正確識別圖形中相似三角形

例3 如圖2，平行四邊形ABCD中，F是CD上一點，BF交AD的延長線于G，則圖中的相似三角形對數共有（ ）.

A. 8對 B. 6對

C. 4對 D. 2對

【錯解】C.

【錯因】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，AB∥CD，所以△BEC∽△GEA，△AEB∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，所以△GAB∽△BCF，還有△ABC≌△CDA，則圖形中共有6對相似三角形.

【正解】B.

【處方】確定圖形中的相似三角形時，既不可漏，也不可疏忽圖形中的全等三角形，全等三角形是特殊的相似三角形.

四、 不能正確確定位似圖形位似中心的位置

例4 如圖3，在平面直角坐標系中， △ABC的頂點坐標分別為（4，0），（8，2），（6，4）. 已知△A1B1C1的兩個頂點坐標分別為（1，3），（2，5）. 若△ABC和△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為_______.

【錯解】（3，4）.

【錯因】已知線段與線段AC是對應線段，所以點A和點C的對應點都有兩個，依次連接如圖4，對應點的連線交于一點，這一交點即為位似中心，連接位似中心與點B得到直線，由線段AC與已知線段的長度之比為2∶1，知相似比為2∶1. 在連線上找到相似比為2∶1的點，從而確定第三點的坐標分別為（3，4）或（0，4）. 究其原因，只考慮兩個圖形位于位似中心同側的情況，忽視這兩個圖形位于位似中心兩側的情形，從而導致漏解.

【正解】（3，4）或（0，4）.

【處方】對于這類問題，應先根據位似圖形或對應線段確定位似中心的位置，再確定對應點出現的位置.

五、 未能正確理解圖形相似的對應關系

例5 如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）. 若以CEF為頂點的三角形與以ABC為頂點的三角形相似且AC=3，BC=4時，則AD的長為_______.

【錯解】1.8.

【錯因】若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CE∶CF=3∶4，如圖5所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CF∶CE=3∶4，如圖6所示，由相似三角形角之間的關系及折疊性質，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點. 由于有的同學僅僅考慮圖5中的△CEF∽△CAB時AD的長，忽視圖6中的△CEF∽△CBA時AD的長，導致漏解.

【正解】1.8或2.5.

【處方】解答這類問題時，如果題設中將三角形相似以文字敘述形式呈現，由于邊角的對應關系不確定，往往需要分類討論加以解答.

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團近湖校區(qū)）