“二次函數(shù)”學(xué)習(xí)指津

殷學(xué)民

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分、中考必考的內(nèi)容，往往以基礎(chǔ)題、能力題和拓展題三種層級的形式呈現(xiàn)，壓軸題多涉及二次函數(shù)，即使在高中數(shù)學(xué)中也常出現(xiàn)，為幫助同學(xué)們唱好初中函數(shù)學(xué)習(xí)的壓軸大戲，特提供如下建議.

一、 理解二次函數(shù)的內(nèi)涵和本質(zhì)

與前面學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣，二次函數(shù)也是源自生活的數(shù)學(xué)模型. 一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做y關(guān)于x的二次函數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項，x為自變量（其取值范圍是一切實數(shù)），y為因變量（其取值范圍并非是一切實數(shù)）.

注意y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）叫做二次函數(shù)的一般式，其等號右邊的自變量的最高次數(shù)是2，但 “變量”不等同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的函數(shù)”，因為“未知數(shù)”只是一個數(shù)，“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值. 當(dāng)一個函數(shù)最高次項是2次且二次項系數(shù)不為零即為二次函數(shù).

例1 已知y=mx2+xm+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的值.

【分析】由于解析式中項xm+1的指數(shù)沒有確定，且m+1不小于1，題目要求是關(guān)于x的二次函數(shù)，所以分兩種情況：

① xm+1是二次項，此時二次項系數(shù)為m+1，所以m？搖+1=2，m+1≠0，解得m=1；

② xm+1是一次項，此時二次項系數(shù)為m，所以m？搖+1=1，m≠0，無解.

綜合上述討論，當(dāng)m=1時，y=mx2+xm+1是關(guān)于x的二次函數(shù).

二、 從平移的角度類比二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)，理解、牢記二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a（x+h）2+k（其中a、h、k為常數(shù)，a≠0）的圖像和性質(zhì)

對某一二次函數(shù)，我們確定其中一個變量，就可利用解析式求出另一個變量，從而得到一組解，一組解就是一個點的坐標(biāo)，而二次函數(shù)的圖像就是由無數(shù)個這樣的點構(gòu)成的圖形.

結(jié)合具體的二次函數(shù)y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2、y=a（x+h）2+k（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中圖像形狀和位置，可發(fā)現(xiàn)后三者均由y=ax2平移而得. 如果兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同，則它們的拋物線形狀相同，由于頂點不同，所以位置不同，拋物線的平移實質(zhì)上是頂點的平移. 平移規(guī)律是：“左加右減，上加下減”，即

特別提醒：“左加右減”是針對h而言，“上加下減”是針對k而言，如果拋物線是一般形式，應(yīng)先化為頂點式再平移.

例2 將y=3x2向右平移2個單位，再向下平移1個單位，求平移后的解析式.

解：平移后的函數(shù)解析式為y=3（x-2）2-1. 反之將y=3（x-2）2-1逆向平移，向左平移2個單位，再向上平移1個單位就是y=3x2.

因為拋物線平移只改變圖像頂點的坐標(biāo)，不改變形狀，所以要充分利用拋物線“頂點”的作用.

1. 要能準(zhǔn)確靈活求出“頂點”

七、 靈活求解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0） .

2. 兩根式（也叫交點式）：當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根x1、x2時，根據(jù)二次三項式分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函數(shù)y=ax2+bx+c可化為兩根式（也叫交點式）y=a（x-x1）（x-x2）.

如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點，則不能這樣表示.

3. 頂點式：y=a（x+h）2+k （a、h、k為常數(shù)，a≠0），（-h，k）為拋物線頂點.

說明：（1） 任何一個一般式都可以通過配方法化為頂點式，兩根式展開合并也可以化為一般式，但一般式不一定能化為兩根式，僅當(dāng)拋物線與x軸有交點時才能化為一般式.

（2） 如拋物線過平面內(nèi)三點時，可設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，將三點坐標(biāo)代入，列方程組求解；如已知拋物線的頂點（-h，k），且拋物線過平面內(nèi)另外一點，則可列頂點式y(tǒng)=a（x+h）2+k，再將另外一點坐標(biāo)代入求a值即可；如拋物線與x軸交點為（x1，0）和（x2，0），且過平面上另外一點，則可設(shè)y=a（x-x1）（x-x2），將另外一點坐標(biāo)代入求a值即可.

例7 已知拋物線過點A（-1，0）、B（3，0）、C（1，5），求拋物線的解析式.

解法一：直接設(shè)y=ax2+bx+c，將點A、B、C坐標(biāo)代入解析式得到三元一次方程組，解出a、b、c即可.

解法二：觀察發(fā)現(xiàn)點A（-1，0）、B（3，0）在x軸上，說明拋物線與x軸有交點A、B，因此可設(shè)y=a（x+1）（x-3），再將點C（1，5）代入求出a即可.

解法三：通過進一步觀察發(fā)現(xiàn)，A（-1，0）、B（3，0）兩點縱坐標(biāo)相同，可知A、B兩點為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點，所以對稱軸為直線x=1，進一步可知點C（1，5）為拋物線的頂點，故可設(shè)y=a（x-1）2+5，然后將點A或B的坐標(biāo)代入求出a即可.

二次函數(shù)總是與其圖像聯(lián)系，這也是函數(shù)的特點之一，學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，一定要注意代數(shù)與幾何的聯(lián)袂，做到數(shù)形結(jié)合，在理解的基礎(chǔ)上，強化記憶一些基礎(chǔ)知識和基本技能，這樣在綜合應(yīng)用時才能游刃有余.

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學(xué)教育集團）