銳角三角函數(shù)內(nèi)容解讀

朱紹志

銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，掌握銳角三角函數(shù)的概念及性質(zhì)更是學(xué)好解直角三角形的關(guān)鍵，因此學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意掌握以下幾個(gè)要點(diǎn)：

一、 銳角三角函數(shù)的定義

研究銳角三角函數(shù)的定義，是將銳角放在直角三角形中，用直角三角形的邊之間的比值來定義的. 即如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，則

溫馨提示：

（1） 弄清“對(duì)邊”“鄰邊”“斜邊”的含義，這是理解定義的基礎(chǔ). 如在Rt△ABC中，∠C=90°，對(duì)∠A來說，BC是對(duì)邊、AC是鄰邊，而對(duì)∠B來說，BC是鄰邊、AC是對(duì)邊，無論怎樣，“邊”一定要分清.

（2） 為了記憶方便，可以用口訣進(jìn)行記憶，即“正弦等于對(duì)比斜，余弦等于鄰比斜，正切等于對(duì)比鄰”.

（3） 從定義可以看出，銳角三角函數(shù)的值是隨著角度的變化而變化的，當(dāng)角度固定不變時(shí)，無論邊怎樣變，三角函數(shù)的值是確定的.

（4） 三角函數(shù)的符號(hào)是一個(gè)整體數(shù)學(xué)符號(hào)，不能看成是sin和A相乘的關(guān)系，而是“∠A的正弦”，同加減乘除一樣，相當(dāng)于一個(gè)運(yùn)算符號(hào).

二、 特殊角的三角函數(shù)值

任意角的三角函數(shù)值都可以利用計(jì)算器求得，但對(duì)于特殊角（即30°、45°、60°）的三角函數(shù)值應(yīng)當(dāng)熟練掌握，這樣便于運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算、求值或解直角三角形. 常用的記憶方法有三種：

1. 列表法，就是利用課本上的表格記憶，如下圖表格.

2. 尋找規(guī)律法，從課本表格中尋找數(shù)字間的規(guī)律熟練記憶. 如30°、45°、60°的正弦值，分母都是2，分子依次為而余弦值正好反過來；30°、60°的正切值是互為倒數(shù). 為了記憶方便，可以用口訣進(jìn)行記憶，即“正弦123，余弦321，正切313”.

3. 圖形推導(dǎo)法，當(dāng)記憶不準(zhǔn)確時(shí)，如圖2可在含有特殊角的直角三角形中利用定義進(jìn)行推導(dǎo).

溫馨提示：特殊角的三角函數(shù)值有兩層含義：（1） 由特殊角的度數(shù)可得它的三角函數(shù)值；（2） 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可求得它的度數(shù).

由于∠A，∠B均為銳角，因此∠A=60°，∠B=60°，則∠C=60°，故選B.

三、 學(xué)會(huì)利用“數(shù)形結(jié)合”探究性質(zhì)

由銳角三角函數(shù)的定義，利用“數(shù)形結(jié)合思想”可得以下幾個(gè)重要性質(zhì)：

1. 增減趨勢：當(dāng)0°<α<90°時(shí)，sinα、tanα隨著角度α的增大而增大；cosα隨著角度α的增大而減小.

如圖3，在Rt△A3BC中，∠C=90°，若設(shè)∠BA3C=α，當(dāng)A3向A2、A1移動(dòng)時(shí)，α增大，這時(shí)A3B變小，而BC不變，則sinα的值增大；

當(dāng)A3向A2、A1移動(dòng)時(shí)，α增大，這時(shí)A3C變小，而BC不變，則tanα的值增大；

若設(shè)∠A3BC=β，當(dāng)A3向A2、A1移動(dòng)時(shí)，β減小，這時(shí)A3B變小，而BC不變，則cosβ的值增大.

2. 根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合圖形，還可以得到如下的性質(zhì)，同學(xué)們可以自主探究.

（1） 取值范圍：

如果0°<α<90°，那么00.

（2） 比較大?。?/p>

①同名銳角三角函數(shù)值的比較，如果0°<α<β<90°，那么sinαcosβ，tanα

②不同名但同角的銳角三角函數(shù)值的比較，如果0°<α<45°，那么sinαcosα.

（3） 同角三角函數(shù)間的關(guān)系：

①平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1；

②倒數(shù)關(guān)系：tan（90°-α）·tanα=1；

③商式關(guān)系：tanα=.

（4） 互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系：cos（90°-α）=sinα，cosα=sin（90°-α）.

（作者單位：江蘇省泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）