高中數(shù)學(xué)中恒成立問題解析

賴杭珍

高中數(shù)學(xué)的恒成立問題一直以來(lái)都是重點(diǎn)、難點(diǎn)，尤其是含參數(shù)的函數(shù)恒成立和不等式恒成立問題更是高考熱點(diǎn)題型之一.此類問題往往涉及面廣、難度大、綜合性強(qiáng)，解決此類問題所需的數(shù)學(xué)思想、方法較多，是衡量考生綜合能力素質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo)，并且這類問題沒有辦法用固定的思維方式解決，在各類考試甚至高考中都屢見不鮮.

函數(shù)是不等式恒成立問題的主要載體，通常通過不等式恒成立問題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)的最值或值域等知識(shí)，對(duì)涉及已知函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍、證明不等式等問題，大多數(shù)題目可以利用分離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題.本文就此作探討.

“主元”型這類題型是指題目中出現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)，通常給出其中一個(gè)參數(shù)的范圍，求另一個(gè)參數(shù)的范圍或用已知參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，其解題途徑是以所求參數(shù)為“主元”，利用函數(shù)圖像或分離變量法求解.

反思：求函數(shù)的最小值時(shí)，由于含有參數(shù)m，因此要分類討論，并結(jié)合函數(shù)的圖像進(jìn)行考慮，過程比較復(fù)雜，因此分離變量后求函數(shù)最值應(yīng)是解題的首選，但求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間會(huì)有一定的阻礙.

【評(píng)注】研究不等式f（x）>0在區(qū)間A上恒成立，求其中參數(shù)a的取值范圍問題，一般有兩種方法：

第一種方法，直接轉(zhuǎn)化為研究帶參數(shù)的動(dòng)態(tài)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間A上的最值.由于函數(shù)y=f（x）帶有參數(shù)，它在區(qū)間A上的單調(diào)性會(huì)由于參數(shù)a的不同而變化，因此需要分類討論.由于函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性和其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間A上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，問題最后都?xì)w結(jié)為就函數(shù)y=f′（x）在區(qū)間A上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論.

第二種方法，將不等式f（x）>0作變形，將參數(shù)a和變量x進(jìn)行分離，將不等式轉(zhuǎn)化為h（a）>g（x）（或h（a）zL/UIQki+gQqJp7tuK3zY/k7HB2Gi+mYwRcEAQWQnKw=

值）的問題，即“大于最大值，小于最小值”.由于y=g（x）不含參數(shù)，其在區(qū)間上的單調(diào)性是確定的，就不需要分類討論.但要注意的是，有時(shí)候由于函數(shù)y=g（x）形式比較復(fù)雜，研究起來(lái)也不一定方便.

反思：通過上述幾個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，在恒成立問題中首選方法是利用分離參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題，但是分離參數(shù)并不是萬(wàn)能的，有些函數(shù)在分離變量后較復(fù)雜，不易求最值，甚至有些函數(shù)在分離變量的時(shí)候具有一定的難度.如果分離參數(shù)比較復(fù)雜或者不能分離參數(shù)時(shí)，一般選擇函數(shù)的方法，通常利用函數(shù)的最值解決.

【評(píng)注】本題的題型是含參恒成立問題，關(guān)鍵一是求的x是的取值范圍，所以應(yīng)該把x看為參數(shù);關(guān)鍵二是靈活創(chuàng)造，

恒成立問題是函數(shù)內(nèi)容的精華，是數(shù)學(xué)試題中的重要題型，涉及數(shù)學(xué)中各部分知識(shí)，如導(dǎo)數(shù)，函數(shù)最值和值域，不等式，等等.涉及題型一般是已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍.常見的方法有最值法，分離變量法，變換主元法等.但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，只有抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷地領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié).