換種思路教“方程”

吳雷霞

對于人教版教材中“實際問題與方程（1）”的教學，教師往往會感到比較棘手，究其原因，從其他各版本的教材中可以發(fā)現(xiàn)，這塊內(nèi)容大多是直接從形如“ax±b=c”的有關問題解決入手，這樣可以讓學生體會到方程的優(yōu)越性。而人教版教材則安排了形如“a±x=b”的實際問題，對于這樣的“一步計算的實際問題用方程解決”，學生是體會不到“用方程”的便利，而煩瑣的“解”與“設”，反而會使學生產(chǎn)生抵觸情緒。

然而，無論選用哪個版本的教材，學生通過學習“方程”這一單元后都很難形成主動運用方程解決問題的意識。學生在做作業(yè)、習題的時候經(jīng)常會習慣性地詢問教師是否需要運用方程解題，在他們心目中方程并沒有成為一種首選的方法，用方程解答僅僅是因為題目或者教師的要求而迫于無奈的選擇。其最主要的原因還是由于教師和學生都沒有領悟到用方程解決問題這一思考方式的真諦所在。因此在設計與執(zhí)教“實際問題與方程（1）”一課時，筆者嘗試換種思路教學“方程”。

【教學案例】

一、尋找本質(zhì)，初步體會方程思維的特點

教師出示實際問題：爸爸今年45歲，比小紅大30歲，小紅今年多少歲？（學生獨立解決，并說想法）

教師隱去問題，出示：爸爸今年45歲，比小紅大30歲。

師：爸爸和小紅的年齡存在怎樣的關系？

生：爸爸比小紅大了30歲。

師：對，你能用一個數(shù)學式子表達小紅和爸爸兩人的年齡關系嗎？

生：45-x=30。

生：x+30=45。

生：45-30=x。

師：這三個式子都能表示小紅和爸爸的年齡關系，哪個關系式最直接明白？

生：我認為第1個，直接就是“爸爸的年齡-小紅的年齡=相差的30歲”。

生：我覺得第2個也行，就是“小紅的年齡+爸爸大的30歲=爸爸的年齡”。

師：你們認為呢？（學生也表示認同）比較一下，第3個相對不直接點，是嗎？

師：通過解這個方程能夠解決什么問題？

生：小紅今年多少歲？

教師小結：是的，剛才我們并沒有解決問題，就是用式子表示小紅和爸爸的年齡關系，自然就得到了方程。而通過解這個方程，恰好能幫助我們解決這個問題，對嗎？這就是方程的奧秘所在。

【設計意圖】學生在用算術思維來解決實際問題時，他們往往會根據(jù)問題，馬上條件反射地依據(jù)解決問題所需要的條件來進行思考，從而解決問題。而方程思維的關鍵是先用語言表達相等關系，然后將語言表達抽象出數(shù)學符號，形成方程。因此方程并非為了解決某個問題而產(chǎn)生，而是為了表達某種關系而產(chǎn)生，而產(chǎn)生的方程恰好能解決某個數(shù)學問題。

為了讓學生感受到這一過程，教學從“有問題”（生活中的實際問題，用自己的方法解決，一般學生都是用算術方法）到“沒有問題”（讓學生用最直接明白的式子來表達數(shù)量關系），在對比中讓學生感受到算術方法是將思維直接引向問題的解決，而方程則是順著題意表達數(shù)量關系，在這個過程中自然而然地產(chǎn)生方程，從而給學生解題提供一種新的思路：不用圍繞問題找信息、想算式，只需順著題意來表達數(shù)量關系，寫出方程，通過解方程，恰好可以解決某個實際問題。

二、建立模型，進一步強化方程思維的特點

【片段一】

教師出示：小王有72張郵票，是小紅的3倍。請你用最直接、明白的式子來表示兩者的數(shù)量關系。

學生呈現(xiàn)：72÷x=3或者3x=72。

繼續(xù)提問：如果解這兩個方程，恰好可以解決哪個問題？

完整呈現(xiàn)：小王有72張郵票，是小紅的3倍。小紅有多少張郵票？

教師出示：白貓釣了128條魚，白貓釣的魚比花貓釣的少14條。用式子表示白貓和花貓釣魚數(shù)量的關系。

學生呈現(xiàn)：x-14=128，x-128=14。

繼續(xù)提問：如果求這兩個方程的解，又可以解決哪個問題呢？

完整呈現(xiàn)：白貓釣了128條魚，白貓釣的魚比花貓釣的少14條?；ㄘ堘灹硕嗌贄l魚？

小結：剛才我們?yōu)榱吮硎緮?shù)量之間的關系，寫出了相等關系的方程。而這些方程又恰好幫助我們解決了某個實際問題，看來方程就是用來表達某種數(shù)量關系的。

【設計意圖】學生學習用方程解決問題的最大障礙是習慣了的算術方法。為了淡化這種條件反射，進一步強化方程思維方式的特點，特意在第二環(huán)節(jié)安排了兩個強化練習，讓學生繼續(xù)用數(shù)學式子來表達數(shù)量關系，慢慢引導學生走進方程，進一步體會方程是表示數(shù)量之間相等關系的，這就是強化習得的過程，努力在學生頭腦中植入方程思想。

【片段二】

教師出示：女生有60人，女生人數(shù)比男生的2倍多10人。請你用式子表示出男生和女生人數(shù)的關系。

學生呈現(xiàn)：2χ+10=60；60-2χ=10；60÷2-10=χ。

分別解讀三個方程，學生感悟到前面兩個方程能夠清楚明白地表示出男女生人數(shù)關系，而第三個式子很費力地想求出男生的人數(shù)，但通過畫線段圖分析發(fā)現(xiàn)還是錯的。

提問：學到這里，你對方程又有什么新的認識？

小結：看來今天又給我們提供了一種新的思路，不用圍繞問題來想算式，而是可以順著題意，表示數(shù)量關系。

【設計意圖】方程思維優(yōu)勢在于：無論題目中的條件有多么復雜，用方程解決問題只需要一個等量關系。無論什么問題，一旦使用方程方法，無需“步步為營地逼近問題”，只要理順題中已知與未知的關系，用字母代替未知量即可，思維難度大大降低，這個實際情境就很好地體現(xiàn)了這一特點。

學生在分析這題的數(shù)量關系時，盡管最初并沒有問題，但想到的還是用算術方法來解決問題，但對于究竟是“60+10”還是“60-10”，又或是“60÷2-10”猶豫不決。而此時如果尋找題中的數(shù)量關系，“男生人數(shù)×2+10人=女生人數(shù)”或者“女生人數(shù)-男生人數(shù)×2=10人”，用數(shù)學符號來表達關系就自然產(chǎn)生方程。通過對比，可以很清楚地看到，用算術方法解決這樣的問題是需要逆向思考的，解決起來難度較大。而方程思維則比較順暢：只要用數(shù)學的式子表示出題目中的等量關系，方程也隨之產(chǎn)生，通過解方程問題也就迎刃而解了。通過這樣的一個比較，學生從中感受到了方程的“好”，這也是教學最終要達到的目的。

三、嘗試應用，初步建立方程思想

師：老師這兒還有兩個實際問題，你能解決嗎？（見下圖）

要求：先獨立完成，再交流；方程或算術方法都可以。然后規(guī)范用方程解決問題的基本格式：

【設計意圖】結合上面兩個環(huán)節(jié)，應該說學生對方程思維的特點有了一定的認知，對方程的“好”也有所體會。那么用方程解決問題的基本格式也是本課的一個教學內(nèi)容，因此當學生對方程的“好”有所體會，愿意接受這一形式后，再告知其基本格式，并提出相應要求，也能解決學生“為什么要學方程”的問題，同時也是檢測學生能否初步建立方程思想的手段。

【課后反思】

史寧中教授曾經(jīng)說過，以往的方程教學設計思想的一個誤區(qū)，在于把思路搞反了：方程的教學本應該“先是進行生活中的提煉，然后到數(shù)學表達，到形式化的過程，再到最終解決方程問題”，而不是“先給出形式化的方程定義，然后解形式化的方程，最后再進行方程的應用”。本課的教學努力凸顯的正是這一種思維模式。

1.植入并強化。 如果把方程視作解決問題的一種策略，那么學生喜歡算術方法也無可厚非，因為方程和算術同樣是解決問題的策略，更何況算術方法是習得已久的策略，駕輕就熟。因此如果把方程視作解決問題的一種策略，學生勢必會習慣于算術方法而不采用方程。從某種程度上說，方程僅僅是用數(shù)學符號來表示兩件等價的事情，方程的“=”表示相等的關系，而算術中的“=”是求得某個結果。因此教學中不是直接指向問題的解決（學習用方程來解決問題），而是關鍵讓學生體會到：用數(shù)學符號把要說的事情（即兩件事情等價）表達出來，即形成方程。而這個方程恰好可以解決某個問題，在頭腦中植入方程思維方式，繼續(xù)再通過幾個習題進行強化鞏固。

2.比較并內(nèi)化。方程的“解”“設”以及利用等式性質(zhì)解方程的煩瑣常常令學生對方程敬而遠之，然而作為方程，它具有化逆為順、易想易列的特點，因此有必要讓學生感受這一優(yōu)勢，掃除學生心理障礙。簡單的題目學生并不能感受到這一優(yōu)勢，因此教學中選擇了“女生有60人，女生人數(shù)比男生的2倍多10人，男生有多少人？”這一素材能充分體現(xiàn)方程思維優(yōu)于算術方法；同時通過獨立做課本“做一做“的第1題和第2題，嘗試檢測學生能否將方程思想有所內(nèi)化。

當然，本課僅僅是通過兩三個典型的問題，再現(xiàn)方程建模的過程，努力讓學生了解用方程解決問題的過程。方程思想的建立是一個長期的、不斷深化的過程，并非一節(jié)課的教學就能形成，教師應當有意識地滲透在平時的教學實踐中。

（浙江省桐鄉(xiāng)市實驗小學教育集團振東小學 314500）