感悟動態(tài)的數(shù)學(xué)美

王曉萍

摘 要： 數(shù)學(xué)中有諸多美學(xué)因素：對稱美、簡單美、奇異美、和諧美、力量美等，只有在動態(tài)的過程中，這些美才能被展示到極致.

關(guān)鍵詞： 對稱美 簡單美 奇異美 和諧美 力量美

數(shù)學(xué)中諸多的美學(xué)因素早已為大家所熟知，比如對稱美、簡單美、和諧美、奇異美等.靜態(tài)地看，它們足可賞心悅目、陶情冶趣，而在動態(tài)的過程中觀之，則更能看出它的流暢美和力量美.事實上只有在動態(tài)的過程中，這些美才能在形式上和內(nèi)涵上都被展示到極致，才能讓人在體會美的同時感受到一種生命力：這是一種超越欣賞（可以實用）、甚至也超越功利（不但實用）生動的美.

一、對稱美：運動帶來新觀念

說起對稱美，我們不妨舉最簡單的對稱圖形，即等腰三角形.

初中《幾何》第二冊上有這樣一條定理：

圖1

例1：等腰三角形的兩個底角相等.

課本上的證明是：作角A的平分線交BC于D點（圖1），然后證明△ABD≌△ACD（SAS），從而∠B=∠C.

圖2

在今天看來，這是個初中生也能理解的題目.但是數(shù)學(xué)文化史專家克萊因（代表作是《古今數(shù)學(xué)思想》）認(rèn)為它“特別有趣”，一是因為歐幾里得在他的體系里比較早地給出了這個結(jié)果；二是一直到文藝復(fù)興之前的1000多年時間里，它代表了大學(xué)中幾何學(xué)習(xí)的水平.在歐洲中世紀(jì)的大學(xué)里，這個定理被稱為“笨蛋的難關(guān)”，也叫“驢橋”，因為笨蛋證明不了這個問題，就再也無法前進(jìn)了.歐幾里得選擇角A的平分線AD為輔助線，是充分考慮到了圖形的對稱性的自然結(jié)果（后來我們知道AD也是BC邊上的高，因而是對稱軸）.恰恰是“輔助線”這種無中生有的東西成了很多人難以逾越的障礙.如果我們換個角度，讓圖形動起來，將△ABD繞AD旋轉(zhuǎn)（圖2），則它可與△ACD重合.一種奇異的景象展現(xiàn)在我們面前：△ABC與△ACB重合.于是一種新的巧妙證法翩然而至，而它只依靠這個三角形本身，不需要輔助線.

另證：在△ABC與△ACB中（如圖2中的（1）和（3）），

AB=AC（已知）

AC=AB（等式性質(zhì)）

又∠A=∠A（同角）

故△ABC≌△ACB（SAS）

從而∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

靜態(tài)的對稱具有形象美，動態(tài)的對稱則有韻律美，前者在心理上產(chǎn)生吸引力，后者則可能產(chǎn)生震撼力.本題的兩種思維結(jié)果（證明過程），其實代表著不同水平的心智活動.

二、簡單美：前后聯(lián)系辯證看

一般地講，繁與難會造成一種心理上的恐慌，簡潔則能給人以安全感和舒暢感，這就是簡單美的心理基礎(chǔ).數(shù)學(xué)上對簡單規(guī)律的追求，以及對難題的簡潔解法的追求始終是一種不可遏制的趨勢.愛因斯坦說：“如果兩種理論都能解釋同一個現(xiàn)象，則簡單的那個就是好的.”

三、奇異美：變化帶來新奇觀

一個奇妙的想法、一個優(yōu)美的結(jié)果本身就夠令人神往的了，如果這種奇異性不是在于一處兩處，而是一個過程中，時時處處奇招迭出、妙景頻現(xiàn)，那解題者會有什么樣的情感體驗?zāi)兀?/p>

橢圓的形象對稱優(yōu)美，上述的等式也具有對稱性，而且非常簡潔，按理說這已達(dá)到了數(shù)與形的和諧，似乎可以滿足.但上述的和諧只是靜態(tài)的，真正用①式解題時，常有不方便之處.而且①式?jīng)]有實現(xiàn)橢圓與坐標(biāo)及方程之間的高度完美的這就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，b也又確實具有確定的幾何意義（半短軸的長）.不僅本身和諧簡潔，而且與解析幾何的整個知識體系和方法體系相適應(yīng)，達(dá)到了更高層次的和諧.

五、力量美：只有在活動中才能得到體現(xiàn)

從古至今，數(shù)學(xué)一直在生產(chǎn)和生活中發(fā)揮著巨大作用.特別是現(xiàn)在，數(shù)字化技術(shù)日新月異地發(fā)展，使得數(shù)學(xué)直接在人類實踐的各個方面發(fā)揮著它獨有的效力，給我們以技術(shù)上的支持和心理上的保障，自然也就在我們心頭產(chǎn)生了新的美感——力量美.當(dāng)然，這種美在靜態(tài)下是無以領(lǐng)會的，只有在使用它進(jìn)行創(chuàng)造性工作的過程中才能認(rèn)識到它那無堅不摧的力量.

例5：靠什么發(fā)現(xiàn)了“筆尖上發(fā)現(xiàn)的行星”？

多數(shù)天文學(xué)家認(rèn)為可能在天王星之外還有一顆未知行星，人們發(fā)現(xiàn)對太陽系其他行星都適用的開普勒定律和牛頓引力理論對天王星總有不大的一點偏差，觀測與預(yù)報的位置總有偏離.正是它對天王星的攝動力才造成天王星運動的反常.人們毫不懷疑數(shù)據(jù)，同時也堅信開普勒和牛頓理論的正確性.有人建議，可以從這種偏差去估計攝動的大小，從而推算出未知行星的位置.然而這種工作在數(shù)學(xué)上有著巨大的困難，令人望而卻步.

當(dāng)時有兩個青年——英國的亞當(dāng)斯（Adams）和法國的勒威耶（LeVerrier）在互不知曉的情況下分別進(jìn)行了整整兩年的工作.1845年亞當(dāng)斯先算出結(jié)果，并把計算結(jié)果報告給格林尼治天文臺，希望他們在指定的位置進(jìn)行觀察.但格林尼治天文臺卻把他的論文束之高閣.1846年9月18日，勒威耶把結(jié)果寄到了柏林，受到了重視.柏林天文臺的伽勒（J.G.Galle）于第二晚就進(jìn)行了搜索，并且在離勒威耶預(yù)報位置不遠(yuǎn)的地方發(fā)現(xiàn)了這顆新行星.雖然是伽勒第一個“看見”海王星，但是人們（包括伽勒本人）仍然公認(rèn)海王星是由勒威耶發(fā)現(xiàn)的，也可以加上亞當(dāng)斯.并從此稱海王星是“筆尖上發(fā)現(xiàn)的行星”.

時至今日，借助于數(shù)學(xué)而實現(xiàn)的類似發(fā)現(xiàn)已成常態(tài)，那種靠偶然“撞見”而實現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)，雖然也可能有價值，但是已很難被冠以“重大”兩個字了.

數(shù)學(xué)中，美的素材是無窮無盡的，美的形式是多姿多彩的，而動態(tài)的美尤其具有獨特的神韻與活力.那是流淌著的詩意、那是縈繞著的樂曲、那是噴發(fā)著的激情、那是轟鳴著的步履.在動態(tài)的過程中，我們更能產(chǎn)生美的體驗、激起美的情感、挖掘美的內(nèi)涵、創(chuàng)造美的結(jié)果、陶冶美的情操.斯圖利亞爾說“數(shù)學(xué)教學(xué)其實是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”，就讓我們在這一活動中盡情領(lǐng)略美的風(fēng)致，感悟美的真諦.

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.解題分析——引爆靈感的一根撞針[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998.10.

[2]田星，劉云章.數(shù)學(xué)美的哲學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1999.8.

[3][美]M.克萊因著.張組貴譯.西方文化中的數(shù)學(xué)[M].北京：商務(wù)印書館，2013.6.