數(shù)學(xué)史隨談

崔雪莉

摘 要： 數(shù)學(xué)史涵蓋數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想等方面的演變過程，以及影響其發(fā)展的社會(huì)與人文因素.本文先是對(duì)數(shù)學(xué)史具有代表性的經(jīng)典算學(xué)著作的內(nèi)容總結(jié)，然后闡述現(xiàn)在教材中展現(xiàn)的古代數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)史 中國(guó)數(shù)學(xué)史 算學(xué)著作 弦圖

數(shù)學(xué)在人類歷史發(fā)展和社會(huì)生活中發(fā)揮著不可替代的作用，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具.然而，相對(duì)于其他數(shù)學(xué)專業(yè)來說，高校往往忽略了對(duì)數(shù)學(xué)史的研究，有數(shù)學(xué)史專業(yè)的高校很少.很多大學(xué)生，甚至是數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生都很少知道數(shù)學(xué)史這個(gè)專業(yè).對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生及中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，掌握必要的數(shù)學(xué)史知識(shí)，不僅是完成教學(xué)任務(wù)所必需的，而且是對(duì)學(xué)生思想教育所不可或缺的，對(duì)讓學(xué)生被數(shù)學(xué)的神奇魅力吸引，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣有很大的幫助.

一、數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)史的全稱是中國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)史，是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，簡(jiǎn)單地說，就是研究數(shù)學(xué)的歷史.其是世界文化史的一部分.其不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)人類文明所帶來的影響.因此，數(shù)學(xué)史研究對(duì)象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容，是一門交叉性學(xué)科.對(duì)數(shù)學(xué)史的研究是我們了解過去，總結(jié)現(xiàn)在，展望未來的重要方法，是我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的必要基石.

二、中國(guó)數(shù)學(xué)史

回望歷史，作為自然科學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的中國(guó)數(shù)學(xué)，在其獨(dú)立創(chuàng)造和發(fā)展過程中取得了輝煌成就.正如錢寶琮先生所說：“中國(guó)數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)發(fā)展過程中占有重要的地位，形成了自身的特點(diǎn).”從現(xiàn)存的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作來看，古代數(shù)學(xué)家的造詣?lì)H深，有些成就是超越當(dāng)時(shí)西方數(shù)學(xué)的.在輾轉(zhuǎn)相傳的眾多數(shù)學(xué)典籍中，一批經(jīng)典著作集中了中國(guó)算學(xué)的輝煌成就，體現(xiàn)了中國(guó)算學(xué)的特點(diǎn)和風(fēng)格.尤以我國(guó)漢唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的是數(shù)學(xué)著作總集“算經(jīng)十書”和南宋數(shù)學(xué)家所著《數(shù)書九章》最寶貴，可謂是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的瑰寶.

《周髀算經(jīng)》是一部成書于西漢或更早時(shí)期的推崇蓋天說和四分歷法的天文歷算著作，天文內(nèi)容是我國(guó)最早的天文學(xué)著作.書中引用的數(shù)學(xué)名詞很多，有的一直沿用至今，如勾股、徑、乘、除、開方、倍、法（分母或除數(shù)）等.

《張丘建算經(jīng)》由南北朝時(shí)期北魏數(shù)學(xué)家張丘建撰.共3卷，收92題，均為測(cè)量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程等各種應(yīng)用題.其突出的數(shù)學(xué)成就有：①分?jǐn)?shù)研究，書中收入很多分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題，并提出最小公倍數(shù)概念和通分、約分方法.②等差級(jí)數(shù)問題，他提出了六七個(gè)等差數(shù)列求和公式.③百雞問題，卷下最后一題是世界著名的“百雞”問題研究：“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”張丘建在這個(gè)問題中提出了不定方程的解法問題，是世界數(shù)學(xué)史上最早提出的，在世界上影響深遠(yuǎn).

《數(shù)書九章》由南宋數(shù)學(xué)家秦九韶著（1247年），又稱《數(shù)術(shù)大略》.全書分為大衍類、天時(shí)類、田域類、測(cè)望類、賦役類、錢谷類、營(yíng)建類、軍旅類和市易類九大類問題.書中的大衍總數(shù)術(shù)系統(tǒng)敘述了一次同余式解法；改進(jìn)了線性方程組解法；其三斜求積公式與海倫公式等價(jià)；使用了完整的十進(jìn)小數(shù)記法.這本書概括了宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就，代表了中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流和最高水平，也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰標(biāo)志.

《緝古算經(jīng)》成書于630年左右，唐初王孝通撰.有天文問題、土木工程中的數(shù)學(xué)問題，地窖和倉(cāng)庫(kù)的容積問題及勾股問題四類.問題雖不多但難度很大，一直被用來做教材，后又流傳到日本等亞洲國(guó)家，是中國(guó)古代解數(shù)字三次方程現(xiàn)存最古老的著作.

三、現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的古代數(shù)學(xué)

如果你了解一些數(shù)學(xué)史，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，中學(xué)課本封面的圖形就是中國(guó)數(shù)學(xué)史上著名的“弦圖”（圖1，由四個(gè)全等的直角三角形圍成），北京中科院數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的標(biāo)志也是這個(gè)圖形.這一簡(jiǎn)單的圖形凝結(jié)著中國(guó)古代很多位數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶，不知道當(dāng)學(xué)生手中拿著數(shù)學(xué)教科書時(shí)，老師們有沒有告訴他們這圖形背后的故事.

圖1

“弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》“勾股圓方圖”注中運(yùn)用“出入相補(bǔ)”原理給出一個(gè)勾股定理的證明而畫.他說：“按，弦圖又可以勾相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四.以勾股之差自乘為中黃實(shí).加差實(shí)亦成弦實(shí).”意思是，直角三角形勾的平方為兩個(gè)直角三角形的面積，再翻倍為四個(gè)直角三角形的面積.用直角三角形的股減去勾的差再平方就是中間正方形的面積.則兩數(shù)相加即為以直角三角形弦為邊的正方形面積.

圖2

用代數(shù)式表示即：設(shè)勾股形勾a、股b、弦c，則c■=4×■ab+（b-a）■=a■+b■.

后來歷代數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的證明均有研究，其中清末數(shù)學(xué)家華蘅芳在《算草從存》中的“青朱出入圖說”，設(shè)有22圖，都是由弦圖變化而來，對(duì)應(yīng)著勾股定理證明的22種證明，圖為其一.

如果對(duì)此稍加深入了解，那么我們的中學(xué)教學(xué)及試題內(nèi)容就會(huì)豐富很多.

中國(guó)古代數(shù)學(xué)有勾股形基本3事勾a，股b，弦c逐漸形成包括它們?cè)趦?nèi)的13事.即還有五和五較分別是勾弦和c+a，股弦和c+b，勾股和b+a，弦和和b+a+c，弦較和b-a+c，勾弦較c-a，股弦較c-b，勾股較，弦和較，弦較較.又由這13事構(gòu)成的具有比例四率（若x，y，z，w，滿足x∶y=y∶z=z∶w，則成為比例四率）或比例三率（若x，y，z滿足x∶y=y∶z，則稱三者為連比例三率，x為首率，y為中率，z為末率）形式的勾股恒等式有20個(gè)，如：（c-b）（c+b）=a■，（c-b+a）（b-a+c）=2ab等，看似簡(jiǎn)單的式子，都是歷代數(shù)學(xué)家逐漸發(fā)現(xiàn)的.

如果在教學(xué)中學(xué)生能對(duì)這些多少有些了解，那么他們就會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)多一分好奇，多一分興趣，并且數(shù)學(xué)史中還涉及影響數(shù)學(xué)發(fā)展的社會(huì)和人文因素，在教學(xué)過程中，如果教師能講一講與所學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián)的歷史上的某個(gè)事件或某個(gè)故事，那么課堂和學(xué)生的學(xué)習(xí)就會(huì)少一些枯燥乏味，同時(shí)也拓展了學(xué)生的知識(shí)面.了解數(shù)學(xué)史多姿多彩豐富的內(nèi)容，有助于我們對(duì)數(shù)學(xué)形成更深刻的認(rèn)識(shí)，并且對(duì)老師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有很大的幫助.

參考文獻(xiàn)：

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