新課程下化歸思想在解題中研究的反思

于洋+傅海倫+王劍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法[1]”.而化歸是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法，它是許多其它數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，所以數(shù)學(xué)教育家們常常把它稱為數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一.化歸的思路是“在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候?qū)⑦@個(gè)問題通過一定的方式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗獾膯栴}，通過對另外一個(gè)問題的求解來得到原問題的解答[2]”.它能夠?qū)⒁粋€(gè)原本困難的或復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡單的或便于操作的數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決中的化難為易，化繁為簡，有利于提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.綜上所述，筆者認(rèn)為有必要對新課改十年來化歸思想在解題中的研究進(jìn)行反思，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，思考不足，提升化歸思想研究的水平.

關(guān)于化歸思想方法的研究文獻(xiàn)資料較多，本研究使用的文獻(xiàn)源基本為中國知網(wǎng)期刊全文數(shù)據(jù)庫.

1 國內(nèi)化歸思想在解題中的應(yīng)用的研究

國內(nèi)近些年來很多工作在一線的教師、學(xué)者和專家對化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，取得了一些成果.其研究大致可分為以下3類：化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用、應(yīng)用在解題的化歸思想的分類、運(yùn)用化歸思想解題的原則和策略.

1.1 化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

由于小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，所以小學(xué)數(shù)學(xué)化歸思想的研究集中在學(xué)生的計(jì)算技巧與幾何形狀的變換.例如：有的學(xué)者提出“在小學(xué)階段，對于新圖形的認(rèn)識，最好的辦法就是將它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形[3]”.在初中階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維開始向邏輯思維發(fā)展，雖然“這時(shí)期還是以學(xué)生的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，傾向于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維[4]”；而到了高中階段，數(shù)學(xué)思維逐漸向理論型邏輯思維和辯證邏輯思維發(fā)展.所以，整個(gè)中學(xué)階段化歸思想研究的深度與廣度都要強(qiáng)于小學(xué)階段.有的學(xué)者對中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行研究，提出了初中數(shù)學(xué)解題轉(zhuǎn)化的新路徑：“把問題元素轉(zhuǎn)化到新圖形中解決；把原問題轉(zhuǎn)化為新定義型問題解決；把問題元素轉(zhuǎn)化到全等圖形中解決；把問題元素適當(dāng)作二次轉(zhuǎn)化解決[5]”還有的學(xué)者經(jīng)過中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)得出“化歸的關(guān)鍵是夯實(shí)基礎(chǔ)知識[6]”.大學(xué)階段，學(xué)者們則從高等數(shù)學(xué)及專業(yè)數(shù)學(xué)課程的角度出發(fā)研究化歸思想對大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響.有學(xué)者[7]闡述了在微分方程教學(xué)中滲透化歸思想的價(jià)值，探究了在解具體的微分方程時(shí)如何使用化歸方法及其意義，以及大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課的教學(xué)中進(jìn)行化歸思想方法滲透的心得與體會，提出在實(shí)際教學(xué)過程中教師應(yīng)不斷反思化歸教學(xué)的路徑.有工作在一線的大學(xué)數(shù)學(xué)教師[8]就極限、微分學(xué)以及積分學(xué)三個(gè)方面的問題討論了化歸思想在數(shù)學(xué)分析解題中的廣泛應(yīng)用.

1.2 應(yīng)用在解題的化歸思想分類研究

對在解題中的化歸思想的分類，一類是根據(jù)題目的類型及特點(diǎn)進(jìn)行分類，例如將其分為代數(shù)化歸思想、幾何化歸思想和綜合問題的化歸思想等.有學(xué)者將其細(xì)化為“主客轉(zhuǎn)化、方程與函數(shù)、對立轉(zhuǎn)化、局部與整體、動靜轉(zhuǎn)化[9]”.另外一種分類方式是根據(jù)化歸思想的本質(zhì)及特點(diǎn)進(jìn)行分類：任爽[10]提出了中學(xué)數(shù)學(xué)解題的化歸思想分為三種形式：化大為小、化繁為簡；等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；不等價(jià)的轉(zhuǎn)化思想.陳欣龍[11]指出數(shù)學(xué)中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸：數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化——以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).

1.3 運(yùn)用化歸思想解題的原則和策略研究

首先，根據(jù)學(xué)生成長的特點(diǎn)與思維發(fā)展的階段性特征，不同的學(xué)者針對不同年齡階段的學(xué)生提出了不同的化歸思想解題的原則與策略.沈濤[12]根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)提出了化歸思想的解題策略如下：1.模式識別，化生為熟；2.探尋規(guī)律，以退為進(jìn)；3.數(shù)形結(jié)合，化難為易.董秋霞[13]則指出：轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，尋求簡單方法從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略.常見有五條基本原則：1.熟悉化原則；2.簡單化原則；3.和諧統(tǒng)一性原則；4.形象化原則；5.正難則反原則.其次，根據(jù)化歸思想掌握的程度及其在實(shí)際教學(xué)中的影響因素，不同的學(xué)者也提出了不同的化歸思想解題的原則與策略.吳艷麗[14]提出了關(guān)于化歸思想掌握的三個(gè)階段的策略.潛意識階段的教學(xué)策略：1.使初中生明確學(xué)習(xí)化歸思想方法的意義；2.引入數(shù)學(xué)史，滲透化歸思想方法；3.鼓勵學(xué)生進(jìn)行觀察和聯(lián)想，培養(yǎng)化歸思維的靈活性.明朗化階段的教學(xué)策略：1.根據(jù)初中生特點(diǎn)、數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和教材內(nèi)容設(shè)計(jì)化歸思想方法的教學(xué)；2.通過具體案例的教學(xué)揭露化歸的過程，采用螺旋深入的方法掌握化歸思想方法；3.采用螺旋深入的方法掌握化歸思想方法，精心設(shè)計(jì)練習(xí)，提高化歸能力.深刻化階段的教學(xué)策略：1.反思問題本質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生整理化歸過程，尋找關(guān)鍵所在；2.重視知識間的聯(lián)系和綜合，不斷提高知識的結(jié)構(gòu)化和網(wǎng)絡(luò)化水平；3.通過專題講座的形式深化對化歸思想方法的認(rèn)識.楊文華[15]根據(jù)實(shí)際教學(xué)總結(jié)了具體的化歸原則（熟悉化原則、簡單化原則、和諧化原則、直觀化原則、標(biāo)準(zhǔn)化原則、低層次化原則、正難則反原則等）和化歸策略（化陌生為熟悉、化困難為容易、化未知為已知、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化、高維與低維的轉(zhuǎn)化、整體化方法、進(jìn)與退的轉(zhuǎn)化、反客為主等）.

2 化歸思想在解題中應(yīng)用研究的幾點(diǎn)思考

綜觀化歸思想在解題中的應(yīng)用的研究，取得了不少的成果，但是有些不足之處也值得思考.

其一，研究的局限性.一方面是視野面較窄.比如，新課改強(qiáng)調(diào)“從注重教法轉(zhuǎn)向注重學(xué)法”和學(xué)生的因材施教，而國內(nèi)關(guān)于化歸思想在解題中的應(yīng)用的研究主要集中在如何教學(xué)和題型的分類上，而對學(xué)生如何更好的學(xué)習(xí)化歸思想在解題中的應(yīng)用缺乏必要的探討，對不同地區(qū)和不同類型的學(xué)生導(dǎo)致的化歸思想在解題中的應(yīng)用的差異性需要研究；國內(nèi)許多老師和學(xué)者缺乏國際視角，尤其是國外化歸思想在解題中的應(yīng)用的研究與我國的相關(guān)研究的聯(lián)系和啟示缺乏分析與探討.另一方面是研究的問題的層面較低.研究者所關(guān)心的是化歸思想應(yīng)用在哪些類型的題目上或是學(xué)生學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容或做的哪些題目體現(xiàn)了化歸思想，而對學(xué)生在運(yùn)用化歸思想解題的過程（尤其是心理過程）和化歸思想在解題中的應(yīng)用的理論上缺乏有效的研究和深入的探討；同時(shí)需要結(jié)合心理學(xué)進(jìn)行研究數(shù)學(xué)化歸能力與注意力、邏輯思維能力、空間想象能力、創(chuàng)新意識、還有自信心、意志力等非智力因素有什么關(guān)系、有多大關(guān)系？最后，就是研究內(nèi)容的局限性.比如，缺乏對化歸思想在解題中的反思的研究和化歸思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)該注意的問題；化歸思想在解題中的研究，無論小學(xué)、中學(xué)還是大學(xué)都有老師對其進(jìn)行深入探討，但是其化歸思想在小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)三個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的階段的不同和其銜接的問題卻鮮有人對其研究；數(shù)學(xué)的思想方法有很多，比如數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、數(shù)學(xué)歸納、幾何變換、數(shù)學(xué)模型、極限等等，但是縱觀所查閱的文獻(xiàn)，當(dāng)前國內(nèi)的研究人員鮮有對多種思想方法在解題中相互之間的關(guān)系進(jìn)行分析與研究.眾所周知，在中學(xué)階段，尤其是高年級，數(shù)學(xué)的許多題目都是綜合性很強(qiáng)的，運(yùn)用多種思想方法才能解決，所以對這個(gè)問題的研究有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義[16].

其二，概念界定混亂.化歸思想方法在不同的文章和專著中表述不統(tǒng)一，主要出現(xiàn)了以下幾種：“化歸思想”“轉(zhuǎn)化與化歸”“轉(zhuǎn)化的思想”“化歸方法”等.通過查閱相關(guān)的文獻(xiàn)，少數(shù)人認(rèn)為化歸是一種方法，一部分人認(rèn)為化歸是一種思想，大部分人認(rèn)為應(yīng)該把化歸當(dāng)作一種思想方法.筆者認(rèn)為，化歸應(yīng)更側(cè)重于思想方面，即使是方法，也屬于抽象度非常高的一種方法.不僅如此，化歸還是一般的科學(xué)思維方法，小學(xué)時(shí)期學(xué)生形成了化歸意識，就為形成良好的數(shù)學(xué)思維方法打下了基礎(chǔ).關(guān)于化歸思想在原則上的研究大家基本得到了共識，基本原則如下：1.熟悉化原則；2.簡單化原則；3.和諧統(tǒng)一性原則；4.形象化原則；5.正難則反原則.但是關(guān)于化歸思想在解題中的策略缺乏有效的整合與歸類，這是值得研究者深思的.

其三，研究方法單一.第一，很多教師根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出了化歸思想在教學(xué)中解題的題型、方法、策略等，缺乏有效的定量研究和思辨色彩，理論性不強(qiáng).筆者認(rèn)為對任何一個(gè)問題的研究都應(yīng)該基于大量的資料上，一類是實(shí)驗(yàn)性資料，另一類是非實(shí)驗(yàn)性資料.我們對化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的研究應(yīng)該綜合以上兩類資料，做出定量和定性的分析、判斷.第二，現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展對各種研究化歸思想在解題的研究所起的作用起到了深刻的影響，而縱觀這幾十篇相關(guān)的文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)很多作者缺乏運(yùn)用相關(guān)的現(xiàn)代信息技術(shù)對課題進(jìn)行分析與論證[17].例如；我們可以用計(jì)算機(jī)的SPSS程序來分析化歸思想與解題的相關(guān)性分析及因素分析.

其四，研究者比較單一.國內(nèi)專業(yè)研究“化歸思想方法”這一問題的學(xué)者較少，專著也不是很多.很多書中對化歸思想方法只是以一章的篇幅作以概括性的論述.研究者主要以一線教師為主，雖然一線教師對此問題論述較多，但都缺乏從理論上去認(rèn)識這個(gè)問題，更多的是經(jīng)驗(yàn)之談.而且大多是以“化歸的定義”加“例題”的模式展開，實(shí)為解題方法的介紹，缺乏系統(tǒng)性的研究.

其五，對化歸思想方法在解題中作用的認(rèn)識不全面.幾乎所有文章中提到化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的積極意義，而回避了化歸思想方法的消極面這個(gè)問題.馬艷[18]系統(tǒng)性地提到了這一問題.化歸思想方法在科學(xué)研究中取得了巨大成功，但這種成功恰恰掩蓋了以舊方法處理新事物的化歸思想在方法上的局限性和在觀念上的保守性.在研究中如何認(rèn)識化歸思想方法的這種保守與創(chuàng)新，在問題解決中如何處理“化不歸”的現(xiàn)象等等問題值得進(jìn)一步思考.另外，我們?yōu)槭裁匆诮虒W(xué)中滲透化歸思想呢？那是因?yàn)榛瘹w思想在學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和個(gè)人思維的發(fā)展方面起到了巨大的作用，所以我們對化歸思想在解題中的研究應(yīng)該高于解題的境界，從學(xué)生個(gè)人思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高來研究化歸思想在解題中的作用.最后，筆者還想談一談化歸的局限性.首先，并不是所有的問題都可以通過化歸而得到解決.例如，所說的“由難到易，由繁到簡”的化歸，顯然就不可能永遠(yuǎn)無限的繼續(xù)下去，即化歸不可能永無止境.其次，盡管化歸最終主要表現(xiàn)為一種解決問題的方法，但是，它的成功應(yīng)用是以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為前提，化歸以“先知”為基礎(chǔ)的.過多地強(qiáng)調(diào)化歸，不利于數(shù)學(xué)的發(fā)展.哲學(xué)上告訴我們，任何事物的推廣與發(fā)展都需要掌握一個(gè)“度”的問題.如果我們過多過重地強(qiáng)調(diào)化歸，不利于學(xué)生思維的創(chuàng)新，當(dāng)然數(shù)學(xué)在未來也就難以發(fā)展了.因此，就數(shù)學(xué)思想與方法論的研究而言，我們也就不能停留于化歸的分析，而必須去從事新的研究.

正如有的學(xué)者[19]提出，未來的化歸思想研究將更加科學(xué)與多樣，注重實(shí)踐研究，立足本土，放眼世界，理論思辨加實(shí)踐研究的充分結(jié)合，將促進(jìn)新課程改革背景下數(shù)學(xué)化歸思想的研究向更加深入、更加專業(yè)、更加科學(xué)的方向發(fā)展.

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