一類(lèi)二次曲面在正交變換作用下的幾何解釋

孫衛(wèi)衛(wèi)

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院)

1 二維空間中一類(lèi)正交變換的幾何意義

定理1 正交變換Y=PX相當(dāng)于在平面直角坐標(biāo)系中將以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量X沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度θ得到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.

圖1

例1xy=1是由什么樣的二次曲線，并且從幾何角度解釋它是如何由標(biāo)準(zhǔn)的二次曲線旋轉(zhuǎn)得到的.

2 三維空間中一類(lèi)正交變換的幾何意義

設(shè)正交矩陣P即向量X、Y為:

并給出正交變換Y=PX，則有如下定理.

定理2 正交變換Y=PX相當(dāng)于在空間直角坐標(biāo)系中保持與x軸夾角不變的情況下，從x軸正向看去，將以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量X沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度θ得到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.

證明 由Y=PX知x1=x，故向量Y與x軸的夾角與向量X與x軸的夾角相同，對(duì)于向量X、Y其余的兩個(gè)分量則有，故由定理1知Y=PX相當(dāng)于在空間直角坐標(biāo)系中保持與x軸夾角不變的情況下，從x軸正向看去，將以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量X沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度θ得到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.證畢.

設(shè)正交矩陣:

在許沁這兒碰壁，并不感到意外，這事不經(jīng)幾個(gè)回合，是不會(huì)有結(jié)果的。雨落和玉敏在路上分析，若讓許沁補(bǔ)款是勉為其難，可許沁為什么堅(jiān)持不退貨呢？是貪心所致，還是另有隱情？?jī)扇硕颊f(shuō)不清。雨落說(shuō)許沁如果堅(jiān)持說(shuō)寄國(guó)外了，下次你讓她出示郵局存根。

可以將此定理2的結(jié)論推廣到如下的正交變換

Y=P1X與Y=P2X，可有如下結(jié)論:正交變換Y=P1X(Y=P2X)相當(dāng)于在空間直角坐標(biāo)系中保持與y(z)軸夾角不變的情況下，從y(z)軸正向看去，將以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量X沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度θ1(θ2)得到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.

3 一類(lèi)二次曲面在正交變換下的幾何解釋

給定二次曲面方程為:

設(shè)

方程(1)可等價(jià)為:

通過(guò)計(jì)算，A的特征值必有0，并設(shè)A的其他兩個(gè)特征值為λ1、λ2，A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故必定存在正交矩陣P，有

當(dāng)A的特征值為0時(shí)，可得0的特征向量必定會(huì)有一個(gè)為，故此正交矩陣可寫(xiě)為以下形式:

令X=PY代入方程(2)中得:

由定理2的結(jié)論可得如下定理.

定理3 方程(1)所表示的圖形，可由方程(3)所表示的圖形按照從z軸正向看去逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α1而得到.也可將此結(jié)論推廣到以下形式的二次曲面方程:

通過(guò)具體例題看定理3如何運(yùn)用.

例2 分析下列方程分別表示什么樣的二次曲面，并且從幾何角度解釋它是如何由標(biāo)準(zhǔn)的二次曲面旋轉(zhuǎn)得到的:

解 (1)z=xy，設(shè):

則z=xy可寫(xiě)為z=XTAX，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在正交矩陣P，有:

其中通過(guò)計(jì)算p可寫(xiě)為如下形式:

令X=PY，代入z=XTAX得到:

把下標(biāo)去掉即有:

因此由定理3知z=xy為雙曲拋物面，并且它是由雙曲拋物面按照從z軸正向看去逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度45°而得.

(2)x=y2+z2+yz+1，設(shè):

則x=y2+z2+yz+1可寫(xiě)為x=XTAX+1，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在正交矩陣P，有:

其中通過(guò)計(jì)算P可寫(xiě)為如下形式:

令X=PY，代入x=XTAX+1，得到:

把下標(biāo)去掉即有:

因此由定理3知x=y2+z2+yz+1為橢圓拋物面，并且它是由橢圓拋物面按照從x軸正向看去逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度45°而得.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):下冊(cè)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:下冊(cè)［M］.北京;高等教育出版社，2010.

［3］徐森林.數(shù)學(xué)分析:第三冊(cè)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007.

［4］吳贛昌.線性代數(shù):理工類(lèi)［M］.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.

［5］黃益生.高等代數(shù)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2014.

［6］楊文茂.空間解析幾何［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2004.