一類凹凸型函數(shù)的半線性橢圓型方程的非平凡解的個數(shù)問題

張靈琦，趙宇華

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

自然界中許多用來描述反應(yīng)擴散類的數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)態(tài)解方程都被建立成如下形式:

其中，未知函數(shù)u代表某種生物種群的人口數(shù)或化學(xué)反應(yīng)劑的濃度，Ω?Rn，n≥1為有界區(qū)域.關(guān)于方程(1)的研究近幾十年來已經(jīng)取得了大量的結(jié)果.特別是當(dāng)Ω為單位球形區(qū)域時，Gidas G，NiWM 和 Nirenberge L［1］的經(jīng)典結(jié)果至今仍被許多學(xué)者引用.而在非均勻(heterogenous)和0－Dirichlet邊值條件下的平衡解問題，史峻平和Shivaji R［2］給與了更詳細的研究.此外，生態(tài)學(xué)中的模式生成問題(pattern formation)也呈現(xiàn)某種“振蕩”效應(yīng)，其中的非線性函數(shù)經(jīng)常以f(x，u(x))=λu(x)+g(x，u(x))或f(x，u(x))=λu(x)g(x，u(x))的形式出現(xiàn).2006年，史峻平和Shivaji R研究了f呈所謂的弱Allee效應(yīng)條件下的解集結(jié)構(gòu)問題并給出了其精確的分歧圖像.對于更一般的f，在此之前較為著名的結(jié)果還有Clement Ph和Sweers G［3］以及Dancer E N［4］.2009年，劉冠琦，王玉文和史峻平［5］又對后者的條件加以改變，得到了非齊次方程的一系列更確切的不存在性結(jié)果，從而推廣了Clement Ph和Sweers G的結(jié)論.

該文主要討論方程(1)的一種特殊情形:

的精確解個數(shù).現(xiàn)在做出如下基本假設(shè):用符號θ表示常值函數(shù)0.

其中，{λk}是如下0－Dirichlet邊值問題的本征值列:

由橢圓型方程邊值問題的關(guān)于本征值的比較原理可知，方程

的本征值有如下單調(diào)性質(zhì):

(P2)當(dāng)a1≤a2時，λk［a1］≥λk［a2］，k≥1.其中，a，a1，a2∈L∞(Ω).

性質(zhì)(P1)及(P2)的證明詳見文獻［6］或文獻［7］.另外，由條件(H2)知，

即，函數(shù)g按照變元u從小到大順序呈現(xiàn)“凹凸”變化趨勢.

1 主要結(jié)果

設(shè)X=L2(Ω)，K=(－Δ)－1是X上的Green算子，f是函數(shù)f(x，u)的Nemitski算子，S=IK?f.于是方程(2)可等價地化為如下泛函方程:

易見，T=K?f是非線性的緊算子.關(guān)于方程(6)的解的存在性，有如下經(jīng)典結(jié)果:

引理1 (Ambrosetti A［7］)如果1不是算子T'(θ)的特征值，那么θ是方程S(u)=θ，u∈X的孤立解，并且i(S，θ)=(－1)β.其中，β是T'(θ)的僅在區(qū)間(0，1)內(nèi)的所有特征值的代數(shù)重數(shù)之和.

利用Leray－Schauder度關(guān)于孤立解指標(biāo)的計算，本文的主要結(jié)果為如下定理.

定理1 假設(shè)條件(H1)～(H3)成立，并且參數(shù)λ滿足

則方程(2)存在兩個非平凡解.

利用以下幾個引理來分步驟證明定理1.

首先，由條件(H1)，不妨做變換:λu+g(u)=uh(u)，則函數(shù)h有如下性質(zhì).

引理2 ①h關(guān)于u有界;

②對?u≠θ，h(u)＜λ+g'(u);

③對?u∈X，λk＜h(x)＜λk+1.

證明 ①對等式λu+g(u)=uh(u)兩邊關(guān)于u求導(dǎo)，得

即

兩邊同時除以u，得

由條件(H3)，當(dāng)u→∞時有

若h'(u)→C＞0，u→+∞，則h單調(diào)遞增趨于+∞.此時，(10)式意味著

故產(chǎn)生矛盾.同理，若h'(u)→C＜0，u→+∞，則h單調(diào)遞減趨于－∞.此時，(10)式意味著

仍然產(chǎn)生矛盾.因此只能有

類似的討論，可以在u→－∞情形下進行，從而h(u)必有界.

②由(5)式，得

當(dāng)u＜θ時，g'(u)單調(diào)遞減;當(dāng)u＞θ時，g'(u)單調(diào)遞增.故結(jié)論②等價于判定如下關(guān)系式成立，

繼續(xù)對(7)式關(guān)于u求導(dǎo)，得

注意到條件(H2)，進一步得到

這說明，關(guān)于u的函數(shù)u2h'(u)嚴(yán)格單調(diào)遞增且u2h'(u)|u=θ=θ，從而有

當(dāng)u＜θ時，u2h'(u)＜θ;當(dāng)u＞θ時，

換句話說，

即有(14)式成立，于是結(jié)論②得證.

最后，結(jié)論③是結(jié)論①、②的直接結(jié)果.

引理3 設(shè)u0∈X滿足方程(6)，則當(dāng)u0為非平凡解時，i(S，u0)=(－1)k;否則，i(S，θ)=(－1)k－1.

證明 首先討論u0≠θ情形.現(xiàn)對方程(6)兩邊關(guān)于u0求Fréchet導(dǎo)數(shù)，則有

即，

由本征值性質(zhì)(P2)及條件(H4)，得

再應(yīng)用引理2，得到如下關(guān)系

注意到本征值性質(zhì)(P2)，于是又有

結(jié)合(21)及(23)兩式，得

應(yīng)用引理1，得

注意到條件(H4)，平凡解u0=θ情形可類似地重復(fù)上述過程推得，即

記X中的以零元θ為中心，r為半徑的球形集合為

則關(guān)于方程(6)又有以下結(jié)果.

引理4 ?r＞0，使得deg(S，Br(θ)，θ)=(－1)k.

證明 首先證明，必存在某個球Br0(θ)使得

若假設(shè)(27)式不成立，即方程(6)的解集為無界集，則必存在X中點列{un}滿足S(un)=θ，

即

于是當(dāng)vn=‖un‖－1un時，{vn}為有界點列且‖vn‖ =1，?n.此外還有，

即

注意到引理2蘊涵點列{h(un)}的有界性，因此，算子(－Δ)－1的緊性又蘊涵{vn}存在弱收斂子列(不妨仍記作{vn})，即

由橢圓型方程的正則性理論，(32)式的弱收斂蘊涵在X中的強收斂，即

另一方面，對?λ∈(λk，λk+1)定義如下輔助函數(shù)h0:

則當(dāng)n→∞ 時，有

這說明，

另外，對(30)式兩邊同時乘以檢驗函數(shù)，再取Ω上的積分，得

對上式兩邊同時取n→∞極限且注意到(36)式，得

于是，函數(shù)v0是下述問題的解:

由本征值問題(4)的性質(zhì)(P1)及(P2)知，必存在正整數(shù)k0≥1使得

而按照條件(H4)，又得到關(guān)系

這與(40)式產(chǎn)生矛盾，從而(27)式成立.

現(xiàn)在引入同倫映射H:［0，1］×X→X:

則(27)式蘊涵同倫映射H在球Br0(θ)上是容許的，從而應(yīng)用Leray－Schauder度的同倫不變性，得

另外(41)式還蘊涵，算子I－Kh0在開區(qū)間(0，1)內(nèi)的特征值至多為k個.那么當(dāng)再次應(yīng)用引理1時，得

現(xiàn)在可以完成對定理1的證明了.

定理1的證明 由引理3知，方程(6)的解均為非奇異的，從而應(yīng)用Sard定理知S－1(θ)為有限集.于是，若N為解集S－1(θ)中的非平凡元的個數(shù)，則

那么再應(yīng)用引理4，得

(46)式蘊涵，N=2.

［1］Gidas B，Ni W M，Nirenberge L.Symmetry and related properties via the maximum principle［J］.Comm Math Phys，1979，68:209–243.

［2］Shi J，Shivaji R.Semilinear elliptic equations with generalized cubic nonlinearities［J］.Discrete Contin Dyn Syst Proceedings of the Fifth AIMS International Conference on Dynamical Systems and Differential Equations，Pomona，CA USA，2005:798–805.

［3］Clément Ph，Sweers G.Existence and multiplicity results for a semilinear elliptic eigenvalue problem［J］.Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci，1987，14(4):97–121.

［4］Dancer E N，Yan S.Construction of various types of solutions for an elliptic problem［J］.Calculus Variations and Partial Differential Equations，2004，20(1):93–118.

［5］Liu G，Wang Y，Shi J.Existence and nonexistence of positive solutions of semilinear elliptic equation with inhomogeneous strong Allee effect［J］.Appl Math Mech Engl Ed，2009，30(11):1461－1468.

［6］鐘承奎，范先令，陳文塬.非線性泛函分析引論［M］.蘭州大學(xué)出版社，1998.67–153.

［7］Ambrosetti A，Malchiodi A，Nonlinear analysis and semilinear elliptic problems［M］.Cambridge University Press，2007.38－42.