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    期權(quán)類衍生金融工具的多期二項式定價數(shù)學(xué)模型*

    2015-09-09 09:45:28凌春英
    關(guān)鍵詞:市價標的現(xiàn)貨

    凌春英

    (黑龍江財經(jīng)學(xué)院)

    0 引言

    期權(quán)是買方向賣方支付一定數(shù)額的期權(quán)費后獲得的一種選擇權(quán),即買方擁有在一定時間內(nèi)以一定的價格出售或購買一定數(shù)量的標的物的權(quán)利[1].二項式定價模型是給期權(quán)類衍生工具定價的基本方法,它已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)定價模型的基本手段.

    1 模型假設(shè)

    (1)市場沒有摩擦,市場是競爭性的.

    (2)市場參與者沒有對手風(fēng)險,認為財富越多越好.

    (3)不存在無風(fēng)險套利機會.

    (4)允許使用全部所得賣空衍生證券.

    (5)無風(fēng)險利率r為常數(shù),且對所有到期日都相同.

    2 符號說明

    S—標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格;

    C—看漲期權(quán)的期初價值;

    K—執(zhí)行價格;

    B—投資到無風(fēng)險資產(chǎn)上的資金數(shù)量;

    r—無風(fēng)險利率;

    n—買進現(xiàn)貨的數(shù)量;

    u—期貨價格上升率,u>1;

    d—期貨價格下降率,d<1;

    p—價格上升的概率.

    3 單期模型

    將期權(quán)的有效期分為2個時間段,如從0期到1期[2].標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值S分別以p和1-p隨機移動到兩個新值Su和Sd中的某一個,則從S到Su是價格上升運動,而從S到Sd是價格下降運動.在1期,看漲期權(quán)的價值分別為Cu和Cd兩種(如圖1),則

    圖1

    構(gòu)造一個與看漲期權(quán)的收益相同的投資組合[3].買m單位現(xiàn)貨并借款投資B到無風(fēng)險資產(chǎn)上,則在0期投資組合的價值為

    若到1期標的資產(chǎn)市價為Su,則投資組合的收益也應(yīng)為Cu,即

    若到1期標的資產(chǎn)市價為Sd,則投資組合的收益也應(yīng)為Cd,即

    由(1)式和(2)式,可得

    則求得相應(yīng)的0期期權(quán)定價公式為

    4 多期模型

    從單期模型拓展到多期模型時,需要將標的資產(chǎn)價格變動的期限分割為兩個或兩個以上的期限[4].下面以兩個時間期限為例,推導(dǎo)出兩個時間間隔的期權(quán)定價公式.

    將期權(quán)的有效期分為3個時間段,如從0期到2期,如圖2.

    圖2

    ①標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值Su分別以p和1-p隨機移動到兩個新值Suu和Sud中的某一個,若到2期標的資產(chǎn)市價為Suu,則投資組合的收益也應(yīng)為Cuu,即

    若到2期標的資產(chǎn)市價為Sud,則投資組合的收益也應(yīng)為Cud,即

    由(3)式和(4)式,可得

    則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價公式為

    ②標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值Sd分別以p和1-p隨機移動到兩個新值Sdu和Sdd中的某一個,若到2期標的資產(chǎn)市價為Sdu,則投資組合的收益也應(yīng)為Cdu,即

    若到2期標的資產(chǎn)市價為Sdd,則投資組合的收益也應(yīng)為Cdd,即

    由(6)式和(7)式,可得

    則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價公式為

    由(5)式和(8)式可得相應(yīng)的0期期權(quán)定價公式為

    5 案例應(yīng)用

    假設(shè)標的資產(chǎn)為不付紅利股票,當前市場價格為100元,波動率為每年30%,無風(fēng)險年利率為8%.該股票2個月期的看跌期權(quán)協(xié)議價格為100元.求該期權(quán)的價值.

    為了構(gòu)造二叉樹,把期權(quán)有效期分為二段,每段一個月(等于0.0833年).則可以算出

    由(9)式,可得該期權(quán)的價值為

    [1]葉永剛.衍生金融工具[M].北京:中國金融出版社,2004.

    [2]孟生旺.金融數(shù)學(xué):第三版[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2011.

    [3]鄭振龍,陳蓉.金融工程:第三版[M].北京:高等教育出版社,2012.

    [4]孟生旺,袁衛(wèi).利息理論及其應(yīng)用[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2001.

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