凌春英
(黑龍江財經(jīng)學(xué)院)
期權(quán)是買方向賣方支付一定數(shù)額的期權(quán)費后獲得的一種選擇權(quán),即買方擁有在一定時間內(nèi)以一定的價格出售或購買一定數(shù)量的標的物的權(quán)利[1].二項式定價模型是給期權(quán)類衍生工具定價的基本方法,它已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)定價模型的基本手段.
(1)市場沒有摩擦,市場是競爭性的.
(2)市場參與者沒有對手風(fēng)險,認為財富越多越好.
(3)不存在無風(fēng)險套利機會.
(4)允許使用全部所得賣空衍生證券.
(5)無風(fēng)險利率r為常數(shù),且對所有到期日都相同.
S—標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格;
C—看漲期權(quán)的期初價值;
K—執(zhí)行價格;
B—投資到無風(fēng)險資產(chǎn)上的資金數(shù)量;
r—無風(fēng)險利率;
n—買進現(xiàn)貨的數(shù)量;
u—期貨價格上升率,u>1;
d—期貨價格下降率,d<1;
p—價格上升的概率.
將期權(quán)的有效期分為2個時間段,如從0期到1期[2].標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值S分別以p和1-p隨機移動到兩個新值Su和Sd中的某一個,則從S到Su是價格上升運動,而從S到Sd是價格下降運動.在1期,看漲期權(quán)的價值分別為Cu和Cd兩種(如圖1),則
圖1
構(gòu)造一個與看漲期權(quán)的收益相同的投資組合[3].買m單位現(xiàn)貨并借款投資B到無風(fēng)險資產(chǎn)上,則在0期投資組合的價值為
若到1期標的資產(chǎn)市價為Su,則投資組合的收益也應(yīng)為Cu,即
若到1期標的資產(chǎn)市價為Sd,則投資組合的收益也應(yīng)為Cd,即
由(1)式和(2)式,可得
則求得相應(yīng)的0期期權(quán)定價公式為
從單期模型拓展到多期模型時,需要將標的資產(chǎn)價格變動的期限分割為兩個或兩個以上的期限[4].下面以兩個時間期限為例,推導(dǎo)出兩個時間間隔的期權(quán)定價公式.
將期權(quán)的有效期分為3個時間段,如從0期到2期,如圖2.
圖2
①標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值Su分別以p和1-p隨機移動到兩個新值Suu和Sud中的某一個,若到2期標的資產(chǎn)市價為Suu,則投資組合的收益也應(yīng)為Cuu,即
若到2期標的資產(chǎn)市價為Sud,則投資組合的收益也應(yīng)為Cud,即
由(3)式和(4)式,可得
則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價公式為
②標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值Sd分別以p和1-p隨機移動到兩個新值Sdu和Sdd中的某一個,若到2期標的資產(chǎn)市價為Sdu,則投資組合的收益也應(yīng)為Cdu,即
若到2期標的資產(chǎn)市價為Sdd,則投資組合的收益也應(yīng)為Cdd,即
由(6)式和(7)式,可得
則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價公式為
由(5)式和(8)式可得相應(yīng)的0期期權(quán)定價公式為
假設(shè)標的資產(chǎn)為不付紅利股票,當前市場價格為100元,波動率為每年30%,無風(fēng)險年利率為8%.該股票2個月期的看跌期權(quán)協(xié)議價格為100元.求該期權(quán)的價值.
為了構(gòu)造二叉樹,把期權(quán)有效期分為二段,每段一個月(等于0.0833年).則可以算出
由(9)式,可得該期權(quán)的價值為
[1]葉永剛.衍生金融工具[M].北京:中國金融出版社,2004.
[2]孟生旺.金融數(shù)學(xué):第三版[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2011.
[3]鄭振龍,陳蓉.金融工程:第三版[M].北京:高等教育出版社,2012.
[4]孟生旺,袁衛(wèi).利息理論及其應(yīng)用[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2001.