期權(quán)類衍生金融工具的多期二項式定價數(shù)學(xué)模型*

凌春英

(黑龍江財經(jīng)學(xué)院)

0 引言

期權(quán)是買方向賣方支付一定數(shù)額的期權(quán)費后獲得的一種選擇權(quán)，即買方擁有在一定時間內(nèi)以一定的價格出售或購買一定數(shù)量的標的物的權(quán)利［1］.二項式定價模型是給期權(quán)類衍生工具定價的基本方法，它已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)定價模型的基本手段.

1 模型假設(shè)

(1)市場沒有摩擦，市場是競爭性的.

(2)市場參與者沒有對手風(fēng)險，認為財富越多越好.

(3)不存在無風(fēng)險套利機會.

(4)允許使用全部所得賣空衍生證券.

(5)無風(fēng)險利率r為常數(shù)，且對所有到期日都相同.

2 符號說明

S—標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格;

C—看漲期權(quán)的期初價值;

K—執(zhí)行價格;

B—投資到無風(fēng)險資產(chǎn)上的資金數(shù)量;

r—無風(fēng)險利率;

n—買進現(xiàn)貨的數(shù)量;

u—期貨價格上升率，u＞1;

d—期貨價格下降率，d＜1;

p—價格上升的概率.

3 單期模型

將期權(quán)的有效期分為2個時間段，如從0期到1期［2］.標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值S分別以p和1－p隨機移動到兩個新值Su和Sd中的某一個，則從S到Su是價格上升運動，而從S到Sd是價格下降運動.在1期，看漲期權(quán)的價值分別為Cu和Cd兩種(如圖1)，則

圖1

構(gòu)造一個與看漲期權(quán)的收益相同的投資組合［3］.買m單位現(xiàn)貨并借款投資B到無風(fēng)險資產(chǎn)上，則在0期投資組合的價值為

若到1期標的資產(chǎn)市價為Su，則投資組合的收益也應(yīng)為Cu，即

若到1期標的資產(chǎn)市價為Sd，則投資組合的收益也應(yīng)為Cd，即

由(1)式和(2)式，可得

則求得相應(yīng)的0期期權(quán)定價公式為

4 多期模型

從單期模型拓展到多期模型時，需要將標的資產(chǎn)價格變動的期限分割為兩個或兩個以上的期限［4］.下面以兩個時間期限為例，推導(dǎo)出兩個時間間隔的期權(quán)定價公式.

將期權(quán)的有效期分為3個時間段，如從0期到2期，如圖2.

圖2

①標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值Su分別以p和1－p隨機移動到兩個新值Suu和Sud中的某一個，若到2期標的資產(chǎn)市價為Suu，則投資組合的收益也應(yīng)為Cuu，即

若到2期標的資產(chǎn)市價為Sud，則投資組合的收益也應(yīng)為Cud，即

由(3)式和(4)式，可得

則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價公式為

②標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格從初始值Sd分別以p和1－p隨機移動到兩個新值Sdu和Sdd中的某一個，若到2期標的資產(chǎn)市價為Sdu，則投資組合的收益也應(yīng)為Cdu，即

若到2期標的資產(chǎn)市價為Sdd，則投資組合的收益也應(yīng)為Cdd，即

由(6)式和(7)式，可得

則求得相應(yīng)的1期期權(quán)定價公式為

由(5)式和(8)式可得相應(yīng)的0期期權(quán)定價公式為

5 案例應(yīng)用

假設(shè)標的資產(chǎn)為不付紅利股票，當前市場價格為100元，波動率為每年30%，無風(fēng)險年利率為8%.該股票2個月期的看跌期權(quán)協(xié)議價格為100元.求該期權(quán)的價值.

為了構(gòu)造二叉樹，把期權(quán)有效期分為二段，每段一個月(等于0.0833年).則可以算出

由(9)式，可得該期權(quán)的價值為

［1］葉永剛.衍生金融工具［M］.北京:中國金融出版社，2004.

［2］孟生旺.金融數(shù)學(xué):第三版［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2011.

［3］鄭振龍，陳蓉.金融工程:第三版［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［4］孟生旺，袁衛(wèi).利息理論及其應(yīng)用［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2001.