唯一分解環(huán)的元素的模g同因分類*

趙鳳鳴，張隆輝

(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院)

0 引言

文獻(xiàn)［1］在整數(shù)集Z上定義了模n同因關(guān)系，研究了整數(shù)的模n同因分類，得到整數(shù)的模n同因分類Z(n)，證明了:Z(n)的元素個(gè)數(shù)是T(n)(其中T(n)是n的正因數(shù)個(gè)數(shù));Z(n)關(guān)于乘法［a］［b］=［ab］作成以［0］為零元，文獻(xiàn)［1］為單位元的交換半群，且除文獻(xiàn)［1］外其余的元都沒有逆元.由于最大公因子是唯一分解環(huán)的重要概念，整數(shù)環(huán)Z是唯一分解環(huán)，故在一般的唯一分解環(huán)中研究同因關(guān)系，而把Z中的同因關(guān)系作為它的特例，從而文獻(xiàn)［1］的相關(guān)結(jié)論就得到了統(tǒng)一和推廣.

1 預(yù)備知識

定義1［2］一個(gè)整環(huán)I叫做一個(gè)唯一分解環(huán)，假如I的每一個(gè)既不等于零又不是單位的元都有唯一分解.

唯一分解環(huán)I的任意兩個(gè)元a，b在I里一定有最大公因子，并且a，b的任意兩個(gè)最大公因子相伴，a，b的任一最大公因子的相伴元仍是a，b的最大公因子.將a，b的所有最大公因子的集合記為(a;b)，因此(a;b)是由a，b唯一確定的I的一個(gè)子集.在I里元g生成的主理想記為(g)，商環(huán)或剩余類環(huán)I/(g)的元記為，a∈I，=a+(g).

引理1 設(shè)I是一個(gè)唯一分解環(huán)，g是I中的一個(gè)給定元，?a，b∈I，規(guī)定a～b當(dāng)且僅當(dāng)(a;g)=(b;g)，則～是I的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

證明～是I的元間的一個(gè)關(guān)系，因?qū)θ我饨o定的a，b∈I，(a;g)和(b;g)是否相等是唯一確定的.?a，b，c∈I，由(a;g)=(a;g)，有a～a;若a～b，則(a;g)=(b;g)，故(b;g)=(a;g)，從而b～a;若a～b，b～c，則(a;g)=(b;g)，(b;g)=(c;g)，故(a;g)=(c;g)，從而a～c.故～是I的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

定義2 設(shè)I是一個(gè)唯一分解環(huán)，g是I中的一個(gè)給定元，?a，b∈I，由a～b?(a;g)=(b;g)確定的I的元間的等價(jià)關(guān)系～叫做I的模g同因關(guān)系，它所決定的I的分類叫做I關(guān)于模g的同因分類，記為I(g)，其中每一個(gè)類都叫做模g的一個(gè)同因類，a所在的同因類記為［a］.

由定義2有［a］={x∈I|(x;g)=(a;g)}，I(g)={［a］|a∈I}.

引理2［3］設(shè)I是一個(gè)唯一分解環(huán)，?a，b，c∈I，如果a|bc，且a與b互素，則a|c.

引理 3［1］設(shè) α，β，α'，β'，γ 都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且

min{α，γ}=min{α'，γ}，min{β，γ}=min{β'，γ'}，則

min{α+β，γ}=min{α'+β'，γ'}.

2 結(jié)果及其證明

定理1 唯一分解環(huán)I關(guān)于模g的同因分類I(g)具有如下性質(zhì):

(1)［a］= ［b］?(a;g)=(b;g);

(2)若a，b相伴，則［a］= ［b］.

(3)［a］= ［0］?g|a.

(4)［a］=［1］?a與g互素.

(5)若a，g互素，則［ab］= ［b］，從而［εb］= ［b］，其中 ε 是I的單位.

證明 (1)由定義2直接得出.

(2)由a，b相伴，則存在I的單位ε使a=εb，故d|a?d|b，d∈(a;g)?d∈(b;g)，所以(a;g)=(b;g)，由(1)得［a］= ［b］.

(3)由(1)［a］=［0］?(a;g)=(0;g)={εg|ε是I的單位}?g|a，故結(jié)論成立.

(4)由(1)［a］=［1］?(a;g)=(a;1)={ε|ε是I的單位}，故結(jié)論成立.

(5)?d∈(ab;g)，則d|ab，d|g.又因a與g互素，則d與a互素，由引理2有d|b，故d是b，g的一個(gè)公因子.又設(shè)d'是b，g的任一公因子，則d'也是ab，g的一公因子，而d是ab，g的一最大公因子，故d'|d，從而d∈(b;g).

反之，?d∈(b;g)，類似可證得d∈(ab;g)，故(ab;g)=(b;g)，從而［ab］= ［b］.

定理2 設(shè)I是一個(gè)唯一分解環(huán)，記I*是I的元按相伴關(guān)系分成的等價(jià)分類，給定模g∈I.

(1)若g=0，則I(g)=|I*|，即I(0)與I*的階相等.

(2)若g≠0，記g的互不相伴的因子的個(gè)數(shù)為T(g)，則

①|(zhì)I(g)=T(g)|，從而|I(ε)|=1，其中ε是I的單位.

②［d1］，［d2］，…，［dT(g)］就是I(g)的全部元，其中d1，d2，…，dT(g)是g的T(g)個(gè)互不相伴的因子.

證明 (1)在I中，元間的相伴關(guān)系顯然是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，將I中所有與a相伴的元的集合記為a*，則I*={a*|a∈I}.令 σ(［a］)=a*(?［a］∈I(0))，則σ是I(0)到I*的雙射，因?yàn)槟=0，故［a］=［b］?(a;0)=(b;0)?a與b相伴?a*=b*.

(2)因g≠0，且I是唯一分解環(huán)，故g的互不相伴的因子的個(gè)數(shù)T(g)是一個(gè)確定的正整數(shù).如果存在di，dj(i≠j)使［di］= ［dj］(1 ≤i，j≤T(g))，則(di;g)=(dj;g)，又di|g，dj|g，故di∈ (di;g)，dj∈ (dj;g)，從而di與dj相伴，矛盾.所以［d1］，［d2］，…，［dT(g)］是I(g)的T(g)個(gè)不同元.?［a］∈I(g)，取d∈(|a;g|)，則d|g，故(a;g)=(d;g)，所以［a］= ［d］且d與d1，d2，…，dT(g)之一相伴，不妨設(shè)d與某個(gè)

dk(1≤k≤T(g))相伴，則(d;g)=(dk;g)，故［d］= ［dk］，從而［a］= ［dk］，所以I(g)?{［d1］，［d2］，…，［dT(g)］}，故I(g)={［d1］，［d2］，…，［dT(g)］}.從而 ①、② 成立.

定理3 設(shè)I是一個(gè)唯一分解環(huán)，給定g∈I，則|I(g)|≤|I/(g)|.

?A∈I(g)，存在a∈I使［a］=A，則σ)= ［a］=A，故 σ是I/(g)到I(g)的一個(gè)滿射，從而存在一個(gè)I(g)到I/(g)的單射，由文獻(xiàn)［4］知|I(g)|≤|I/(g)|.

定理4 設(shè)I是一個(gè)唯一分解環(huán)，給定模g∈I，在同因分類I(g)中規(guī)定:

則(*)是I(g)的一個(gè)乘法運(yùn)算，I(g)關(guān)于此乘法作成一個(gè)以文獻(xiàn)［1］為單位元的交換半群，并且除了文獻(xiàn)［1］以外其它元都沒有逆元.

證明 (1)?a'∈［a］，b'∈［b］，則(a';g)=(a;g)，(b';g)=(b;g)，［a'］［b'］= ［a'b'］，需證(a'b';g)=(ab;g)，即得［a'b'］=［ab］，從而(*)是I(g)的乘法運(yùn)算.

①若g=0，則a'與a相伴，b'與b相伴，從而a'b'與ab相伴，有(a'b';g)=(ab;g).

②若g是單位，則(a'b';g)=(ab;g)={ε|ε是I的單位}.

③若g既不是0也不是單位，

Ⅰ.若a，b中有一個(gè)是0，不妨設(shè)a=0，則(ab;g)=(a;g)={εg|ε是I的單位}.又(a';g)=(a;g)，故g|a'，g|a'b'，從而(ab;g)={εg|ε是I的單位}=(a'b';g).

Ⅱ.若a'，b'中有一個(gè)是0，類似于Ⅰ可得(ab;g)={εg|ε是I的單位}=(a'b';g).

Ⅲ.若a，b，a'，b'均不為0，則可設(shè)b=εbpβ11pβ22…pβnn，b'=εb'pβ1'1pβ2'2…pβn'n

其中εg，εa，εa'，εb，εb'都是單位，p1，p2，…，pn是互不相伴的元素，γi，αi，αi'，βi，βi'都是非負(fù)整數(shù)，

γi不全為0，1≤i≤n，則εaεb，εa'εb'是單位，且

由最大公因子的求法得

由引理3得min{αi+βi，γi}=min{α'i+β'i，γi}，即δ'i=δi(1≤i≤n)，故(a'b';g)=(ab;g).

(2)由于I的元對乘法適合結(jié)合律、交換律，并且單位元是1，故?［a］，［b］，［c］∈I(g)(a，b，c∈I)，有

(［a］［b］)［c］=［ab］［c］=［(ab)c］=［a(bc)］=［a］［bc］=［a］(［b］［c］)，

［a］［b］=［ab］=［ba］=［b］［a］，［1］［a］=［1a］=［a］=［a］［1］

(3)若［a］∈I(g)有逆元，即存在［b］∈I(g)，使［a］［b］=［1］，即［ab］=［1］，由定理1之(4)有ab與g互素，從而a與g互素，同樣由定理1之(4)有［a］=［1］.

3 結(jié)束語

在整數(shù)環(huán)Z中只有1和－1是單位，通常限定模n＞0，a和n的最大公因子就取為數(shù)論意義的最大公因數(shù)，記為(a，n)(＞0)，n的T(n)個(gè)互不相伴的因子可就取作n的T(n)個(gè)互異正因數(shù)d1，d2，…，dT(n).因此，Z關(guān)于模n(＞0)的同因類是［d1］，［d2］，…，［dT(n)］，其中［di］={x∈Z|(x，n)=di}.這樣，只要給定n＞0，Z(n)={［di］|1≤i≤T(n)}關(guān)于同因類的乘法就是一個(gè)確定的、除了單位元［1］以外其它元都沒有逆元的交換半群，Z(n)的乘法為:［di］［dj］=［didj］=［dij］，其中dij=(didj，n)，［n］=［0］.

該文利用模g同因關(guān)系構(gòu)造出了一個(gè)含單位元且僅單位元有逆元的T(g)階交換半群I(g).由于I是抽象的唯一分解環(huán)，所以含單位元且僅單位元有逆元的有限交換半群是很廣泛的，比如，對任意給定的正整數(shù)n，Z(pn－1)就是這樣的n階交換半群(p是素?cái)?shù)).

［1］魏國祥，徐志軍.整數(shù)的模n同因分類［J］.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，24(6):143–145..

［2］張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)(1978年修訂本)［M］.北京:人民教育出版社，1978.130.

［3］張隆輝，石化國，廖輝，等.整環(huán)是唯一分解環(huán)的充要條件［J］.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2012，28(1):25－27.

［4］陸少華.近世代數(shù)［M］.上海:上海交通大學(xué)出版社，1992.16.